Identifying Conics 2

Part 2 of identifying and graphing conic sections

La oss gjøre et kjeglesnitt identifikasjon problem.

Så har jeg 4Y squared minus 50x er lik 25x

squared pluss 16 år pluss 109.

Så, er det første jeg liker å gjøre for å gruppere alle x og

y vilkår på den ene siden av ligningen, og la alle

konstanter på den andre siden.

Så la oss gjøre det.

Så, på venstre side skal jeg sette 4Y squared.

4yy squared.

Og, faktisk, jeg også kommer til å gruppere alle de x og

y vilkår i dette trinnet.

Så 4Y squared.

La oss flytte denne 16 år på venstre side.

Så hvis jeg trekke 16 år fra begge sider av denne ligningen, får jeg

minus 16 år, minus 16 år på venstre side og selvfølgelig

det vil forsvinne på høyre side.

Og så vil jeg trekke 25x squared fra begge

sider av denne ligningen.

Så jeg får minus 25x squared minus 50x.

Det er det akkurat der.

Og så skal jeg forlate denne 109 på høyre side.

Det er lik 109.

Og nå som vi har x-og y-er på samme side av

ligningen, vet vi hva slags - vi kjenner den generelle

retning vi skal gå inn

Fordi de er på samme side.

De har forskjellige koeffisienter.

Og en er positiv og en negativ.

Så som lar oss få vite at vi har å gjøre med en hyperbel.

Så la oss fullføre plassen og få den inn

standard skjema.

Så, er den enkleste måten å fullføre plassen hvis du har en 1

koeffisient på y-squared og x squared vilkår.

Så la oss faktor ut en 4, i dette tilfellet.

Så du får 4 ganger y squared minus 4Y.

Jeg kommer til å legge til noe senere, da

Jeg fylle plassen.

Minus 25 ganger x kvadrat, pluss, la oss se, minus 50

delt på minus 25 er 2.

Plus 2x, kommer jeg til å legge noe senere.

Er lik 109.

Og de tingene vi kommer til å legge til, de er hva

fullføre plassen.

Gjør disse tingene et perfekt kvadrat.

Så hvis jeg tar dette, har du en minus 4 her.

Jeg tar halvparten av dette nummeret.

Dette er bare å fylle plassen, oppfordrer jeg deg til å

se videoen på fylle plassen der jeg

forklare hvorfor dette fungerer.

Men jeg tror jeg har et minus 4.

Jeg tar halvparten av det, er det minus 2.

Og så minus 2 squared er pluss 4.

Nå kan jeg ikke gjøre en ting til den ene siden av ligningen

uten å gjøre den til den andre.

Og jeg ikke legge til en 4 til venstre side av ligningen.

Jeg faktisk lagt en 4 ganger 4, ikke sant?

Fordi du har dette 4 multiplisere det ut foran.

Så jeg lagt på 16 til venstre side av ligningen, så jeg

må også legge den til høyre side

av ligningen.

Høyre

Dette tilsvarer også ha et pluss 16 her.

Som kan gjøre litt klarere, ikke sant?

Når du faktor det ut, og det blir en 4.

Og vi ville ha lagt en 16 her oppe også.

Likeledes, hvis vi tar halvparten av dette antallet her.

Halvparten av 2 er 1.

1 squared er ett.

Vi gjorde ikke legge en 1 på venstre side av ligningen,

vi lagt en 1 ganger minus 25.

Så vi ønsker å sette et minus 25 her.

Og på samme måte, ville dette ha vært den samme som

legge til et minus 25 her oppe.

Og du gjør en minus 25 her borte.

Og nå, hva dette bli?

Y vilkårene blir 4 ganger y minus 2 squared.

y minus 2 squared.

Kanskje gjennom factoring et polynom, hvis du fant ut at

litt forvirrende, dette trinnet.

Minus 25 ganger x pluss 1 squared.

Det var det, rett der.

x pluss 1 squared, er lik, la oss se, er 109 pluss 16

25 minus 25, tilsvarer det 100.

Vi er nesten der.

Så vi ønsker en 1 her, så la oss dele begge sider

av denne ligningen med 100.

Så, vil du få y minus 2 squared.

4 delt på 100 er det samme som 1 / 25, så

Dette blir over 25.

Minus, la oss se, er 25/100 det samme som 1 / 4, så dette

blir x pluss 1 squared over 4 er lik 1.

Og det du har det.

Vi har det i standard form og, ja, ja,

vi har en hyperbel.

Nå, la oss graf denne hyperbelen.

Så det første vi vet er hvor senteret

av denne hyperbel er.

Er sentrum for denne hyperbelen er på det punktet x er

lik minus én.

Så det er en x er lik minus en. y er lik 2.

Og la oss finne ut asymptotene til denne hyperbelen.

Så hvis dette var - dette er slik jeg alltid gjør det, fordi jeg

alltid glemmer selve formelen.

Hvis dette var sentrert på 0 og det så noe som dette.

y squared over 25 minus x squared over 4 er lik 1.

Jeg gjør dette for å finne ut hva asymptotene ville vært

om vi var sentrert ved 0.

Fordi det er mye enklere å håndtere disse ligningene

enn å håndtere disse.

Så vi kan løse - vi multipliserer begge sider med 100.

Vi er slags slappe av hva vi nettopp gjorde.

Så hvis du - egentlig, la oss multipliser begge sider med 25.

Så da får du y squared minus 2 over 4x squared

er lik 25.

Og så vil jeg bare gå rett her.

Og så hvis jeg legger 25 over 4x squared til begge sider, får jeg

y squared er lik 25 over 4x squared pluss 25.

Og så er y lik pluss eller minus kvadratroten av 25.

over 4x squared pluss 25.

Og som alltid, asymptoter, hyperbelen vil

aldri lik asymptotene eller krysse asymptoter, men

det er hva grafen tilnærminger som x nærmer seg positive

og negative uendelig.

Så, tilnærminger som x positive og negative uendelig, og

Du vil lære begrepet grenser senere.

Men jeg tror du får det på dette punktet.

Fordi det er det ideen om en asymptote enda er.

Er det slik x blir egentlig større, nærmer denne linjen

- Slik som x nærmer seg positive eller negative uendelighet, som vi har

gjort i forrige video, begynner dette begrepet til

uansett mye mindre.

Fordi dette begrepet er stort.

Så y er omtrent lik pluss eller minus

kvadratroten av nettopp dette begrepet.

Nå er kvadratroten av nettopp dette begrepet 5 / 2 x.

Så de ville bli vår asymptoter hvis vi

var sentrert ved 0.

Men, selvfølgelig, vi er sentrert ved negative 1, 2.

Så la oss graf som.

Og så kunne vi finne ut om det er en oppover-åpning

eller nedover-åpning grafen.

Vi er sentrert på negative 1, 2.

Så jeg ønsker å være i, det er min y-aksen.

Dette er min x-aksen.

Og vi er sentrert ved 1 minus, 1, 2.

Det er midten.

Og dette ville har vært to linjer med asymptotene

om vi var sentrert ved 0.

Men nå dette forteller oss skråningen av de to asymptotene.

Så asymptotene kommer til å krysse i sentrum av

vår hyperbel, så å si.

Så disse er skråningene av de to asymptotene.

Og man er positiv 5 / 2.

Så positive 5 / 2 betyr at hvis vi går over 2, så 1,

2, x, vi går opp 5.

Så, 1, 2, 3, 4, 5.

Så vi vil ende opp rett der borte.

Så jeg kan trekke den linjen, jeg bare trenger to poeng for en linje.

Slik at linjen ville se ut som.

Og den andre asymptoten er minus 5 / 2.

Så for hver 2 vi går over til høyre, går vi ned 5.

Så, 1, 2.

1, 2, 3, 4, 5.

Så vi ender opp rett rundt der.

Og slik at linjen ville se ut som.

God nok.

Så de er de to asymptoter, og de går på

evig i disse retninger.

Og nå kan vi tenke på det på to måter.

Vi kan enten si, OK, hvis vi ser på - faktisk,

se på denne.

Hvis det var sentrert på 0 tilsvarer kunne x 0?

Vel, kunne kontrollere x lik 0.

Hvis x er 0, da y squared over 25 tilsvarer 1. y

squared tilsvarer 25.

y ville være pluss eller minus 5.

Så, i dette tilfellet, kan dette uttrykket være lik 0.

Så vi kan si at x kunne like negativ en.

Hvis x er lik negative 1, og deretter y minus 2 squared over 25

vil tilsvare - la oss gjøre det.

La oss stille.

Hvis x er lik negative 1, er x lik negative 1,

så hva betyr dette uttrykket blir?

Jeg ønsker ikke å miste det, så jeg skal skrive det rett der.

Så da får du y minus 2 squared over 25.

Dette blir 0 minus 0 er lik 1.

Så du får y minus 2 squared over 25 er lik 1.

y minus 2 squared er lik 25.

Bare multiplisert begge sider med 25.

y minus 2 er lik pluss eller minus, jeg bare tar

kvadratroten av begge sider, 5.

Så y minus 2 er lik positiv 5 eller y minus

2 er lik minus 5.

Legg 2 til begge sider av denne, får du y er lik 7.

Legg 2 til begge sider av denne, får du y er lik minus tre.

Så vi vet at punktene minus 1, 7 og minus 1, minus

3, er begge på denne grafen.

Så minus 1 er her.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, minus 1, 7 og minus 1, 1, 2,

3, er begge på denne grafen.

Så som lar oss få vite, siden vi er inne her, forteller denne

oss at dette er en slags vertikal asymptote, og en annen

måten å gjette det, hvis du ser at y squared

sikt er positiv.

Eller den andre måten å tenke på det er, når du tar

positive kvadratrot, når du tar den positive kvadratroten,

du alltid kommer til å være litt over asymptoten.

Det er den andre måten å tenke på dette.

At vi alltid kommer til å være litt - og dette er

den positive kvadratroten.

Den positive kvadratroten er den øverste linjen.

Så vi alltid kommer til å være litt over asymptoten.

Dette er asymptoten.

Men vi er alltid litt over det.

Og tydeligvis så dette tallet blir større, begynner dette å

uansett mye mindre, slik at grafen kommer til å se

noe som dette.

Det kommer til å komme ned og deretter gå av, og aldri helt

berøre asymptoten, men tilnærming det.

Så det kommer til å komme veldig nær asymptoten, og

deretter gå av, og gå av i den retningen.

Uansett, håper du fant det nyttig.

Dette var en litt hairier problem, så det bør

være lærerikt.