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円錐の同定

  • 0:00 - 0:01
    円錐曲線を
  • 0:01 - 0:03
    同定する問題をやってみましょう。
  • 0:03 - 0:15
    4y^2ー50x=25x^2+16y+109
  • 0:15 - 0:22
    25x^2+16y+109
  • 0:22 - 0:25
    まず、x のグループとyのグループを
  • 0:25 - 0:28
    1 つの側にまとめ、
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    定数を、他の側にまとめます。
  • 0:29 - 0:30
    いいですか?
  • 0:30 - 0:35
    左側は 4 y ^2
  • 0:35 - 0:36
    左側は 4 y ^2
  • 0:36 - 0:38
    x とyをついでに
  • 0:38 - 0:40
    この手順でまとめます。
  • 0:40 - 0:41
    だから、4 y ^2と
  • 0:41 - 0:44
    16 y の左側に移動しましょう。
  • 0:44 - 0:48
    この方程式の両側から 16 y を引けば、
  • 0:48 - 0:52
    ー16 y が左側に移動します。
  • 0:52 - 0:54
    右側になくなります。
  • 0:54 - 0:58
    両方から25 x ^2を減算します。
  • 0:58 - 1:00
    両方から25 x ^2を減算します。
  • 1:00 - 1:09
    25 x ^2ー50 x が得られます。
  • 1:09 - 1:10
    ここです。
  • 1:10 - 1:12
    右側のこの 109 を残しておきます。
  • 1:12 - 1:15
    109 に等しいです。
  • 1:15 - 1:18
    X と y が同じ側にあり
  • 1:18 - 1:20
    一般的などのような方向へ
  • 1:20 - 1:21
    行くか分かりますか?
  • 1:21 - 1:23
    同じ側に置きました。
  • 1:23 - 1:25
    異なる係数があります。
  • 1:25 - 1:27
    正と負です。
  • 1:27 - 1:30
    だから、双曲線を扱っているとわかります。
  • 1:30 - 1:33
    では、2乗の項を
  • 1:33 - 1:34
    標準の形式に変えましょう。
  • 1:34 - 1:37
    x^2とy^2の項の係数が1だと、
  • 1:37 - 1:40
    扱いやすいです。
  • 1:40 - 1:42
    ここでは、4 の因子を出します。
  • 1:42 - 1:48
    つまり、4(y^2−4y)
  • 1:48 - 1:49
    これを完全な2乗の形にするため、
  • 1:49 - 1:52
    後で、定数を加えます。
  • 1:52 - 1:59
    ー25 x ^ 2乗+ 、
  • 1:59 - 2:01
    −50は−25で割ると、2です。
  • 2:01 - 2:04
    +2 X 。そして、何かを後で追加するつもりです。
  • 2:04 - 2:10
    これが、109に等しいです。
  • 2:10 - 2:12
    これに定数を加えて、
  • 2:12 - 2:12
    完全な2乗項にします。
  • 2:12 - 2:14
    完全な2乗項にします。
  • 2:14 - 2:17
    ー 4 がここにあります。
  • 2:17 - 2:18
    その数の半分を取り、
  • 2:18 - 2:20
    これは、完全な2乗の項を作成する手順で、
  • 2:20 - 2:22
    これを説明するビデオがあるので、それを見て、
  • 2:22 - 2:24
    この方法を理解してください。
  • 2:24 - 2:25
    ー4 があります。
  • 2:25 - 2:28
    それの半分を取ると、ー2 です。
  • 2:28 - 2:32
    −2の2乗は4で、 +4とします。
  • 2:32 - 2:34
    方程式の片側で、行うことは
  • 2:34 - 2:35
    他の側でも行う必要があります。
  • 2:35 - 2:38
    方程式の左辺には 実際には、4ではなく
  • 2:38 - 2:40
    4*4を加えています。
  • 2:40 - 2:42
    これは4倍されています。
  • 2:42 - 2:45
    つまり、式の左側に 16 を加えたので、
  • 2:45 - 2:46
    それを右側に追加する必要があります。
  • 2:46 - 2:48
    それを右側に追加する必要があります。
  • 2:48 - 2:48
    いいですか?
  • 2:48 - 2:52
    これは、+16 と同じです。
  • 2:52 - 2:53
    いいですか?
  • 2:53 - 2:55
    4でまとめると、4になります。
  • 2:55 - 2:58
    ここにも 16 を追加していました。
  • 2:58 - 3:03
    同様に、ここの数の半分を取り
  • 3:03 - 3:04
    2 の半分は 1 です。
  • 3:04 - 3:07
    1の2乗は1 です。
  • 3:07 - 3:09
    方程式の左辺には 1 ではなく
  • 3:09 - 3:12
    ー 25*1 を追加しました。
  • 3:12 - 3:15
    だからー 25 をここにも置きます。
  • 3:15 - 3:18
    同様に、
  • 3:18 - 3:20
    ー 25を ここに追加します。
  • 3:20 - 3:23
    ー25 を行います。
  • 3:23 - 3:27
    これは何になりますか?
  • 3:27 - 3:32
    y項は4(y−2)^2になります。
  • 3:32 - 3:35
    (y-2)の2 乗です。
  • 3:35 - 3:39
    多項式の因数分解を確認すると
  • 3:39 - 3:42
    この手順が分かります。
  • 3:42 - 3:49
    −25(x+1)^2が
  • 3:49 - 3:50
    ここです。
  • 3:50 - 3:56
    これが、 109+16−25に等しくなります。
  • 3:56 - 3:59
    これは、100です。
  • 3:59 - 4:00
    ほとんどができました。
  • 4:00 - 4:02
    ここを 1 をしたいので、それでは両側を分割します。
  • 4:02 - 4:04
    この方程式を100 で割ります。
  • 4:04 - 4:10
    (y−2)^2の項は、
  • 4:10 - 4:14
    4 を100 で割ると 1/25 と同じで、
  • 4:14 - 4:16
    y−2)^2/ 25 になります。
  • 4:16 - 4:21
    ー25/100 は、ー1/4 と同じですのでこの
  • 4:21 - 4:28
    (x+1)^/4です。
  • 4:28 - 4:28
    これが1に等しいです。
  • 4:28 - 4:30
    標準的な式です。
  • 4:30 - 4:34
    双曲線です。
  • 4:34 - 4:36
    それではこの双曲線のグラフをします。
  • 4:36 - 4:38
    最初に、見つけることは
  • 4:38 - 4:38
    この双曲線の中心です。
  • 4:38 - 4:41
    この双曲線の中心点は、
  • 4:41 - 4:43
    x=−1です。
  • 4:43 - 4:47
    xが−1に等しいと、y=2です。
  • 4:47 - 4:50
    そしてこの双曲線の漸近線を把握すると
  • 4:50 - 4:53
    この場合は、
  • 4:53 - 4:55
    実際の数式を忘れました。
  • 4:55 - 4:58
    この 0 の中心では、それがこのような式です。
  • 4:58 - 5:05
    y^2/25ーx^2/4=1です。
  • 5:05 - 5:07
    これの漸近線を求めると
  • 5:07 - 5:09
    この場合は 0 が中心です。
  • 5:09 - 5:11
    これらの数式で漸近線を求める方が
  • 5:11 - 5:13
    簡単です。
  • 5:13 - 5:15
    両側を 100 で乗じます。
  • 5:15 - 5:18
    今したことを、やり戻します。
  • 5:18 - 5:24
    100の代わりに、両側に 25 を掛けましょう。
  • 5:24 - 5:31
    そこで y^2−25/4 x^2が
  • 5:31 - 5:32
    25 に等しいです。
  • 5:32 - 5:35
    ここに行きます。
  • 5:35 - 5:39
    両側に25/4x^2 を追加すると
  • 5:39 - 5:49
    y ^2=25/4x^2+25です。
  • 5:49 - 5:57
    yは、プラスまたはマイナス平方根で、
  • 5:57 - 6:01
    平方根の内は d4x^2+25です。
  • 6:01 - 6:03
    漸近線ともとの双曲線は
  • 6:03 - 6:06
    決して、交差しませんが、
  • 6:06 - 6:11
    xが正または負の無限にアプローチすると、
  • 6:11 - 6:12
    限りなく近づきます。
  • 6:12 - 6:18
    したがって、x が正または負の無限に近づくと
  • 6:18 - 6:19
    限界については後で学習しますが、
  • 6:19 - 6:21
    今の時点で考えると、
  • 6:21 - 6:23
    漸近線とは、
  • 6:23 - 6:26
    xが非常に大きくなると、近づいていく線です。
  • 6:26 - 6:30
    x が正または負の無限に近づくので
  • 6:30 - 6:32
    前のビデオで行ったように、この項が
  • 6:32 - 6:33
    問題にならなくなります。
  • 6:33 - 6:36
    この項が著しく大きくなります。
  • 6:36 - 6:40
    だから y は、プラスまたはマイナスの
  • 6:40 - 6:41
    この項の平方根にほぼ等しくなります。
  • 6:41 - 6:46
    この項の平方根は 5/2 x です。
  • 6:46 - 6:49
    これらが、中心が0での、漸近線です。
  • 6:49 - 6:49
    これらが、中心が0での、漸近線です。
  • 6:49 - 6:52
    ここでは、中心が(ー1、2)です。
  • 6:52 - 6:54
    それでは、グラフします。
  • 6:54 - 6:56
    上下に開くか、左右に開くか
  • 6:56 - 7:03
    調べましょう。
  • 7:03 - 7:05
    中心は (ー1、2)です。
  • 7:05 - 7:08
    中心は (ー1、2)です。
  • 7:08 - 7:14
    これがy 軸で、
  • 7:14 - 7:17
    これはx 軸です。
  • 7:17 - 7:25
    中心は、(ー1、2)です。
  • 7:25 - 7:27
    これが中心です。
  • 7:27 - 7:31
    これが、中心が0の、 2 つの漸近線です。
  • 7:31 - 7:33
    これが、中心が0の、 2 つの漸近線です。
  • 7:33 - 7:35
    この 2 つの漸近線の傾きがわかります。
  • 7:35 - 7:38
    漸近線は、双曲線の中央で交差します。
  • 7:38 - 7:40
    漸近線は、双曲線の中央で交差します。
  • 7:40 - 7:42
    したがって、これが 2 つの漸近線の斜面です。
  • 7:42 - 7:44
    ひとつは、正の 5/2 です。
  • 7:44 - 7:48
    5/2 かどうか我々 以上では、2右に移動すると、
  • 7:48 - 7:51
    5 上に行きます。
  • 7:51 - 7:57
    したがって、1、2、3、4、5。
  • 7:57 - 8:00
    ここです。
  • 8:00 - 8:03
    2点で、線を描くことができます。
  • 8:03 - 8:07
    このように見えます。
  • 8:07 - 8:10
    他の漸近線は ー5/2 です。
  • 8:10 - 8:14
    すべて 2 右で、下へ 5 行きます。
  • 8:14 - 8:15
    したがって、1、2。
  • 8:15 - 8:20
    1、2、3 の 4、5。
  • 8:20 - 8:23
    ここです。
  • 8:23 - 8:29
    このように見えます。
  • 8:29 - 8:30
    いいですか?
  • 8:30 - 8:32
    これらの 2 つの漸近線は、
  • 8:32 - 8:34
    これらの方向に永遠にいきます。
  • 8:34 - 8:35
    2 つの方法で考えることができます。
  • 8:35 - 8:40
    まず、
  • 8:40 - 8:42
    この 1 つを見ると
  • 8:42 - 8:45
    0 が中心の場合は、 x =0 が存在しますか?
  • 8:45 - 8:46
    x=0 です。
  • 8:46 - 8:51
    x=0では、y^2/25=1です。
  • 8:51 - 8:52
    x=0では、y^2/25=1です。
  • 8:52 - 8:55
    y は、プラスまたはマイナス 5 でしょう。
  • 8:55 - 8:58
    だから、この場合、この項は 0 に等しいことができます。
  • 8:58 - 9:01
    x がー1 と等しいことが言うことができます。
  • 9:01 - 9:06
    X がー 1 に等しい場合は、(y ー2 )^2/ 25 は
  • 9:06 - 9:08
    いいですか?
  • 9:08 - 9:09
    やってみましょう。
  • 9:09 - 9:16
    X がー1 に等しい場合は、
  • 9:16 - 9:19
    この式はどうなるでしょう?
  • 9:19 - 9:21
    ここに書きます。
  • 9:21 - 9:27
    そこで (yー 2 )^2/ 25 =1です。
  • 9:27 - 9:32
    そこで (yー 2 )^2/ 25 =1です。
  • 9:32 - 9:40
    (yー 2 )^2/ 25 =1
  • 9:40 - 9:43
    (yー 2 )^2/ 25 =1
  • 9:43 - 9:46
    両側 を25 によって乗算します。
  • 9:46 - 9:50
    y ー2 は
  • 9:50 - 9:54
    25の平方根です。
  • 9:54 - 9:58
    y−2=5あるいは
  • 9:58 - 10:00
    y−2=ー5です。
  • 10:00 - 10:03
    この両側に 2 を追加し、 y は 7 に等しいが
  • 10:03 - 10:07
    −3に等しいです。
  • 10:07 - 10:14
    この点は、 (ー1、7)と
  • 10:14 - 10:16
    (ー1、3)です。
  • 10:16 - 10:19
    ー 1 はここです。
  • 10:19 - 10:26
    1、2、3、4、5、6、7、(ー1、7)、および ー1、1、2
  • 10:26 - 10:29
    3、このグラフの両方です。
  • 10:29 - 10:32
    ここの中から、垂直漸近線かどうかが
  • 10:32 - 10:34
    分かります。
  • 10:34 - 10:38
    yの2乗の項が正です。
  • 10:38 - 10:40
    yの2乗の項が正です。
  • 10:40 - 10:42
    他の方法は、正の平方根を取ると
  • 10:42 - 10:46
    双曲線は、常に
  • 10:46 - 10:51
    漸近線のすこし上になります。
  • 10:51 - 10:53
    これが他の方法です。
  • 10:53 - 10:56
    常に、この正の平方根より、
  • 10:56 - 10:58
    少し大きいです。
  • 10:58 - 10:59
    正の平方根は、一番上の線です。
  • 10:59 - 11:02
    常に少し、漸近線の上にあります。
  • 11:02 - 11:03
    これは、漸近線です。
  • 11:03 - 11:05
    双曲線は常に上を少し。
  • 11:05 - 11:07
    明らかにこの数字を大きくしていくと
  • 11:07 - 11:09
    差はちいさくなり
  • 11:09 - 11:11
    このようになります。
  • 11:11 - 11:14
    それは、こうして
  • 11:14 - 11:15
    漸近線にアプローチしますが、触れません。
  • 11:15 - 11:18
    漸近線に非常に近くなります。
  • 11:18 - 11:21
    漸近線に非常に近くなります。
  • 11:21 - 11:23
    わかりましたか?
  • 11:23 - 11:25
    すこし、難しい問題ですが、
  • 11:25 - 11:27
    直感的にわかるようになりましたか?
  • 11:27 - 11:28
    直感的にわかるようになりましたか?
Title:
円錐の同定
Description:

円錐の断面の認識とグラフ化

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Video Language:
English
Duration:
11:28
Nobuko Hamaguchi edited Japanese subtitles for Identifying Conics 2
Hiroki Obara added a translation

Japanese subtitles

Revisions