Identificazione di Coniche 2

Part 2 of identifying and graphing conic sections

Facciamo un altro problema sull'identificazione delle sezioni coniche.

Allora, ho 4y^2 - 50x =

25x^2 + 16y + 109.

Quindi, la prima cosa che mi piace fare è raggruppare tutti i termini

x e y su un lato dell'equazione e lasciare tutte

le costanti su altro lato.

Quindi facciamolo.

Quindi, sul lato sinistro metto 4y^2.

4y^2.

E, in realtà, in questo passaggio raggruppo anche

tutti i termini x e y.

Quindi 4y^2.

Spostiamo questo 16y sul lato sinistro.

Quindi se sottraggo 16y da entrambi i lati di questa equazione ottengo -16y,

-16y sul lato sinistro e naturalmente

sparisce dal lato destro.

E poi voglio sottrarre il 25x^2 da entrambi

i lati di questa equazione.

Così ottengo -25x^2 - 50x.

Quello lì.

E poi lascio questo 109 sul lato destro.

È uguale a 109.

E ora che abbiamo la x e la y sullo stesso lato

dell'equazione, sappiamo che tipo di --- conosciamo la direzione

generale verso la quale andiamo.

Perché sono sullo stesso lato.

Hanno coefficienti diversi.

E uno è positivo e uno è negativo.

Quindi questo ci dice che abbiamo a che fare con un'iperbole.

Quindi completiamo il quadrato e mettiamolo in

forma standard.

Quindi, il modo più semplice per completare il quadrato è quando hai

un coefficiente 1 sui termini x^2 e y^2.

Quindi cerchiamo di estrarre un 4, in questo caso.

Quindi ottieni 4 * (y^2 - 4y).

Più tardi ci sommero' qualcosa, quando

completo il quadrato.

- 25 * (x^2 --- piu', vediamo,

-50 / 25 fa 2 ---

+ 2x, più tardi ci sommo qualcosa.

È uguale a 109.

E le cose che ci sommeremo sono

quello che completano il quadrato.

Rendono queste cose un quadrato perfetto.

Quindi se prendo questo qui hai un -4.

Prendo la metà di quel numero.

Questo è solo il completamento del quadrato, ti incoraggio a

guardare il video sul completamento del quadrato dove ho

spiegato perché funziona.

Ma prendo un -4.

Prendo la metà di quello, è -2.

E quindi -2^2 = +4.

Ora, non posso fare una cosa da un lato dell'equazione

senza farlo dall'altro.

E non ho aggiunto un 4 a sinistra dell'equazione.

Ho aggiunto in realtà un 4 * 4, giusto?

Perché davanti hai questo 4 che moltiplica.

Quindi ho aggiunto 16 sul lato sinistro dell'equazione, percio'

devo aggiungerlo anche al lato destro

dell'equazione.

Giusto?

Ciò equivale ad avere un +16 anche qui.

Cio' potrebbe renderlo un po' più chiaro, giusto?

Quando lo estrai e diventa un 4.

E pure qui avresti aggiunto un 16.

Allo stesso modo, se prendiamo la metà di questo numero.

Metà di 2 è 1.

1^2 = 1.

Non abbiamo aggiunto un 1 a sinistra dell'equazione,

abbiamo aggiunto un 1 * -25.

Quindi qui ci vogliamo mettere un -25.

E, allo stesso modo, sarebbe stato come

aggiungere un -25 qui sopra.

E qui fai un -25.

E adesso, questo cosa diventa?

I termini y diventano 4 * (y - 2)^2.

(y - 2)^2.

Potresti volerti riguardare la fattorizzazione di un polinomio, se l'hai trovato

un po' confuso, questo passaggio.

-25 *(x + 1)^2.

E' questo qui.

(x + 1)^2 è uguale a --- vediamo, 109 + 16 fa

125 - 25, fa 100.

Ci siamo quasi.

Allora qui ci vogliamo un 1, quindi dividiamo entrambi i lati

di questa equazione per 100.

Quindi ottieni (y - 2)^2.

4 / 100 è come 1/25, quindi

questo diventa su 25.

Meno --- vediamo, 25/100 è 1/4, quindi questo

diventa (x + 1)^2 / 4 = 1.

Ed ecco qua.

Ce l'abbiamo in forma standard e, sì, abbiamo

indubbiamente un'iperbole.

Ora facciamo il grafico di questa iperbole.

Quindi la prima cosa che sappiamo è dove sta il centro

di questa iperbole.

Il centro di questa iperbole sta sul punto

x = -1.

Quindi è un x = -1, y = 2.

E cerchiamo di capire gli asintoti di questa iperbole.

Quindi se questo fosse --- questo è il modo in cui lo faccio io perché

mi dimentico sempre la formula.

Se questo fosse centrato a 0 fosse una cosa cosi'.

(y^2 / 25) - (x^2 / 4) = 1.

Lo faccio per capire come sarebbero stati gli asintoti

se fossimo stati centrati a 0.

Perché è molto più facile trattare con queste equazioni

piuttosto che affrontare queste.

Quindi potremmo risolvere --- moltiplichiamo entrambi i lati per 100.

Stiamo tipo svolgendo quello che abbiamo appena fatto.

Quindi se --- in realtà, moltiplichiamo entrambi i lati per 25.

Quindi ottieni y^2 - (25 / 4)x^2

= 25.

E poi, vado qui.

E poi se sommo (25 / 4)x^2 a entrambe i lati ottengo

y^2 = (25 / 4)x^2 + 25.

E così, y = più o meno la radice quadrata di

(25 / 4)x^2 + 25.

E come sempre, gli asintoti, l'iperbole non sarà

mai uguale agli asintoti ne' li intersechera', ma

è quello a cui si avvicina il grafico quando x approccia

infinito positivo e negativo.

Quindi, quando x si avvicina a infinito positivo e negativo --- e

imparerai il concetto di limiti più in la'.

Ma penso che a questo punto lo capisci.

Perché è questa l'idea di asintoto.

È che quando x diventa molto grande, si avvicina a questa linea ---

quindi quando x si avvicina a infinito positivo o negativo, come abbiamo

fatto nei video precedenti, questo termine inizia a

importare molto meno.

Perché questo termine è enorme.

Quindi allora y è approssimativamente uguale a più o meno la

radice quadrata giusto di questo termine.

Ora, la radice quadrata solo di questo termine è (5/2)x.

Quindi quelli sarebbero i nostri asintoti se

fossimo centrati a 0.

Ma, naturalmente, stiamo centrati a (-1, 2).

Quindi facciamone il grafico.

E poi potremmo capire se è un grafico con un'apertura

verso l'alto o verso il basso.

Stiamo centrati a (-1, 2).

Vediamo.

Percio' voglio stare --- questo è il mio asse y.

Questo è il mio asse x.

E stiamo centrati su -1 --- 1, 2.

Questo è il centro.

E queste sarebbero state le due rette degli asintoti

se fossimo stati centrati a 0.

Ma ora questo ci dice la pendenza dei due asintoti.

Quindi gli asintoti stanno si intersecano al centro della

nostra iperbole, per cosi' dire.

Queste sono le pendenze dei due asintoti.

E una è +5/2.

Quindi, +5/2 significa se ci spostiamo di 2, così 1,

2, in x, andiamo su di 5.

Quindi, 1, 2, 3, 4, 5.

Percio' finiremo lassù.

Quindi posso disegnare quella retta, ho bisogno solo di due punti per una retta.

Quindi quella retta sarebbe fatta cosi'.

E l'altro asintoto è -5/2.

Quindi per ogni 2 che andiamo a destra scendiamo di 5.

Quindi, 1, 2.

1, 2, 3, 4, 5.

Quindi finiamo lì.

E quindi quella retta sarebbe fatta cosi'.

Abbastanza buono.

Quindi quelli sono i due asintoti, e continuano

per sempre in queste direzioni.

E ora possiamo ragionarci in due modi.

O potremmo dire: OK, se guardiamo --- in realtà,

guarda questo.

Se fosse stato centrato a 0, x potrebbe essere uguale a 0?

Beh, certo che x potrebbe essere uguale a 0.

Se x è 0, allora y^2 / 25 = 1.

y^2 = 25.

y sarebbe +- 5.

Quindi, in questo caso, questo termine potrebbe essere uguale a 0.

Quindi potremmo dire che x potrebbe uguale a -1.

Se x = -1, allora (y - 2)^2 / 25

sarà uguale --- facciamolo.

Diciamo.

Se x = -1, x = -1

allora cosa diventa questa espressione?

Non voglio perderla, quindi la scrivo lì.

Quindi ottieni (y - 2)^2 / 25.

Questo diventa 0 --- - 0 = 1.

Quindi ottieni (y - 2)^2 / 25 = 1.

(y - 2)^2 = 25.

Ho solo moltiplicato entrambi i lati per 25.

y - 2 = +- --- sto solo prendendo

la radice quadrata di entrambe le parti --- 5.

Quindi y - 2 = +5 oppure

y - 2 = -5.

Sommi 2 ad entrambi i lati di questo, ottieni y = 7.

Sommi 2 ad entrambi i lati di questo, ottieni y = -3.

Percio' sappiamo che i punti (-1, 7) e

(-1, -3) sono entrambi su questo grafico.

Quindi, -1 è qui.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (-1, 7) e -1 --- 1, 2, 3 ---

sono entrambi su questo grafico.

Percio' questo ci fa sapere, dato che stiamo qui dentro, questo ci dice

che questo è tipo un asintoto verticale e un altro

modo di capirlo è se vedi che il termine

y^2 è positivo.

O l'altro modo di ragionarci è: quando prendi la

radice quadrata positiva, quando prendi la radice quadrata positiva,

starai sempre un po' sopra l'asintoto.

Che è l'altro modo per ragionarci su.

Staremo sempre un po' --- e questa è

la radice quadrata positiva.

La radice quadrata positiva è la retta superiore.

Quindi staremo sempre un po' sopra l'asintoto.

Questo è l'asintoto.

Ma ci resteremo sempre un po' sopra.

E ovviamente come questo numero diventa più grande, questo comincia

ad importare molto meno, quindi il grafico

sara' qualcosa di simile.

Verra' giù e poi cosi' e non tocchera'

mai l'asintoto, ma ci si avvicinera'.

Quindi andra' veramente vicino all'asintoto

e poi andra' in quella direzione.

Comunque, spero tu l'abbia trovato utile.

Questo era un problema un po' peloso, quindi dovrebbe

essere istruttivo.