Identifying Conics 2

Part 2 of identifying and graphing conic sections

لنقوم بحل مسألة اخرى على تعريف القطع المخروطي

اذاً، لدينا
4y^2 - 50x = 25x^2

+ 16y + 109

اول شيئ ارغب بفعله هو ان اصنف كل من x و

y في مجموعات على جانب واحد من المعادلة واترك كل

الثوابت على الجانب الآخر

لنبدأ

سأضع في الجانب الايسر 4y^2

4yy^2

واريد ايضاً ان اصنف كل عبارات x و

y في هذه الخطوة

اذاً 4y ^2

دعونا ننقل 16y الى الجانب الايسر

فاذا قمت بطرح 16y من طرفي المعادلة، سأحصل على

-16y،
-16y على الجانب الايسر بالتأكيد

فستختفي من الجانب الايمن

ومن ثم اريد ان اطرح 25x^2 من كلا

الطرفين في المعادلة

فأحصل على
25x^2 - 50x

هذه هنا

ثم سأترك هذه 109 على الجانب الايمن

=109

والآن لقد حصلنا على x و y على نفس الجانب من

المعادلة، ونحن نعلم ما هو نوع-- نعرف

الاتجاه العام الذي سنذهب فيه

لأنهما في نفس الجانب

لديهما معاملات مختلفة

وواحدة موجبة والاخرى سالبة

وهذا يمكننا من معرفة اننا نتعامل مع قطع زائد

اذاً لنكمل المربع ونحصل على

الشكل النموذجي

ابسط طريقة لنكمل بها المربع هي ان يكون لدينا 1

كمعامل لعبارات
y^2 و x62

لنخرج العامل 4، في هذه الحالة

نحصل على
4×y^2 - 4y

سأقوم باضافة شيئ لاحقاً، عندما

اكمل المربع

-25 × x^2 +، دعوني ارى، - 50

÷ -25=2

+ 2x،
وسأضيف شيئ لاحقاً

=109

وهذه القيم سنجمعها، كي

نكمل المربع

سنجعل منها صورة نموذجية

فاذا اخذت هذا، تحصل على -4 هنا

سأخذ نصف هذا العدد

هذا مجرد اكمل للمربع، واشجعكم على

مشاهدة عرض اكمال المربع حيث قد

وضحت سبب نجاح هذا

لكن اعتقد ان لدي -4

وسآخذ نصفها، فأحصل على -2

ثم ان 2^2=4

الآن لا استطيع القيام بأي عملية على جانب واحد من المعادلة

دون القيام به للجانب الآخر

لم اقم باضافة 4 على الجانب الايسر من المعادلة

في الواقع قمت باضافة 4×4، اليس كذلك؟

لأن لدينا 4 نضربها في الخارج

اذاً اضفت 16 على الجانب الايسر، فعلي

اضافته الى الجانب الايمن ايضاً

من المعادلة

صحيح؟

هذا يعادل وجود 16 هنا ايضاً

هذا جعل الامور اوضح قليلاً، صحيح؟

عندما نخرج العامل، سيبقى لدينا 4

وسنضيف 16 هنا ايضاً

كذلك اذا اخذنا نصف هذا العدد

نصف 2=1

1^2=1

لم نقم باضافة 1 الى الجانب الايسر من المعادلة

بل اضفنا 1 × -25

لذلك علينا ان نضع -25 هنا

وهذا يعادل

اضافة -25 في الاعلى هنا

ونضع -25 هنا

والآن، ما ناتج هذه؟

عبارات y اصبحت
4 × (y - 2)^2

(y - 2)^2

ربما علينا اخراج عامل متعدد الحدود، فاذا وجدت هذا

مزعج قليلاً، هذه الخطوة

-25 × (x + 1)

هذا هو

(x + 1)^2 تساوي، لنرى ذلك، 109+16 هي

25 - 25، =100

نحن هنا

نريد 1 هنا، لنقسم كافة اطراف

المعادلة على 100

اذاً، نحصل على (y-2)^1

4 ÷ 100= 1/25،
اذاً

الناتج مقسوماً على 25

سالب، لنرى، 25/100 تعادل 1/4/ اذاً

تصبح
(x+1)^2 ÷ 4=1

حصلنا عليه

لدينا المعادلة في الشكل النموذجي و، بالتأكيد

لدينا قطع زائد

الآن، دعونا نمثل هذا القطع الزائد

اول شيئ يجب معرفته هو موقع مركز

القطع الزائد

هل مركز القطع الزائد على النقطة x

يساوي قيمة سالبة

لدينا اذاً x=-1، y=2

ودعونا نجد الخطوط لهذا القطع الزائد

فاذا كان-- انا اقوم دائماً بهذه الطريقة، لأنني

انسى دائماً الصيغة الفعلية

فاذا كان يرتكز على 0 فسيبدو هكذا

y^2 ÷ 25 - x^2 ÷ 4 =1

فعلت هذا لايجاد الخطوط المتقاربة

في حال ارتكزنا على 0

لأنه من السهل التعامل مع هذه المعادلات

بدلاً من التعامل مع هذه

اذاً يمكننا حل-- نضرب كلا الطرفين تـ100

لم نقم بهذا بواسطة طرق التفافية

فاذا-- دعوني اضرب كافة الاطراف بـ25

فنحصل على y^2 - 2 ÷ 4x ^2

=25

ومن ثم، سأذهب هنا

واذا قمت باضافة 25 ÷ 4x^2 الى الطرفين، احصل على

y^2 =25 ÷ 4x^2 + 25

وهكذا، y= + او - الجذر التربيعي لـ25

÷ 4x^2 + 25

وكما دائماً، الخطوط المتقاربة، فالقطع الزائد

لن يساوي الخطوط المتقاربة او يتقاطع مع الخطوط المتقاربة، بل

التمثيل يكون قريباً من x موجب

او سالب ما لا نهاية

وكما x تقترب من موجب او سالب ما لا نهاية، و

ستتعلم مفهوم الحدود لاحقاً

لكن اعتقد انك فهمت الفكرة

لأنها نفس فكرة الخط المتقارب

هل تصبح x اكبر، وتقترب من هذا الخط

--x تقترب من موجب او سالب ما لا نهاية، كما

فعلنا في العرض السابق، بدأ هذا التعبير

بالوضوح تدريجياً

لأن هذا التعبير ضخم

اذاً y= تقريباً موجب او سالب

الجذر التربيعي لهذه العبارة

الآن، الجذر التربيعي لهذه العبارة هو 5/2 x

اذاً هذه هي الخطوط المتقاربة اذا

ارتكزنا على 0

لكن، بالطبع، نحن نرتكز على 1،2

لنقوم بتمثيل هذا

ومن ثم نستطيع ايجاد فيما اذا كان مفتوحاً للأعلى

او مفتوحاً للأسفل

نحن نرتكز على -1،-2

.

اريد ان اكون، هذا محور y

وهذا محور x

ونحن نرتكز على -1، 1، 2

هذا هو المركز

وسيكون هذان الخطان للخطوط المتقاربة

اذا ارتكزنا على 0

وهذا ميل الخطان المتقاربان

اذاً الخطان المتقاربان سيتقاطعان على مركز

القطع الزائد

اذاً هذان هما الميلان للخطان

واحد منهم موجب 5/2

و5/2 تعني اننا سنذهب اعلى من 2، اذاً 1

2، على محور x، نذهب الى 5

اذاً 1, 2, 3, 4, 5

وينتهي حتى هنا

استطيع الآن ان ارسم الخط، احتاج فقط الى نقطتان لكل خط

هذا الخط سيبدو هكذا

والخط الآخر هو -5/2

اذاً لكل وحدتين على اليمين، يجب ان ننتقل الى الاسفل بمقدار 5 وحدات

اذاً 1, 2

1, 2, 3 4, 5

وننتهي هنا

وسيبدو هذا الخط هكذا

جيد

اذاً هذان هما الخطان المتقاربان، زيتجهان

الى ما لا نهاية هذان الاتجاهان

ويمكن التفكير بطريقتين

فيمكن ان نقول، انه اذا نظرنا

الى هذا

اذا كان مرتكزاً على 0، هل يمكن x=0؟

حسناً، يمكن ذلك

فاذا كانت x=0، بالتالي
y^2 ÷ 25 =1. y^2

=25

y ستكون + او - 5

في هذه الحالة، هذه العبارة ستساوي 0

فيمكن ان نقول ان x يمكن ان تساوي -1

فاذا كانت x=-1، بالتالي
(y-2)^2 ÷ 25

ستساوي-- لنقوم بهذا

لنضع

اذا كانت
x=-1

فكيف ستصبح العبارة؟

لا اريد ان افقدها، لذلك سأكتبها هنا

فنحصل على
(y-2)^2 ÷ 25

وتصبح
0-0=1

فنحصل على
(y-2)^2 ÷ 25=1

(y-2)^2=25

نضرب طرفي المعادلة بـ25

y-2= + او -، انا فقد آخذ

الجذر التربيعي للطرفين، 5

اذاً y-2=5 او y

-2=-5

نضيف 2 لكلا الطرفين، ونحصل على
y=7

نضيف 2 لطرفي هذه، ونحصل على
y=-3

ونحن نعلم ان النقاط -1،7 و -1

-3، موجودتان على التمثيل

اذاً، -1 هنا

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7،
- 1, 7 و -1, 1, 2

3، كلاهما موجود على التمثيل

هذا يجعلنا نعرف،بما اننا نكون هنا

اذاً هذا سيكون خط عامودي، و

وطريقة اخرى للتخمين، اذا رأيت ان عبارة y^2

موجبة

او بطريقة اخرى، تكون من خلال اخذ

الجذر التربيعي الموجب، وعندما نأخذه

سنكون فوق الخط المتقارب بقليل

هذه هي الطريقة الاخرى

حيث اننا دائماً نكون فوق-- وهذا

جذر تربيعي موجب

الجذر التربيعي الموجب هو الخط الاعلى

اذاً نحن سنكون دائماً فوق الخط المتقارب بقليل

هذا هو الخط

لكننا سنكون فوقه

وكما هو واضح ان هذا العدد قيمتع اكبر، هذا يتجه

نحو القيمة الاقل، اذاً سيبدو التمثيل

هكذا

سيهبط للأسفل ثم للخارج، ولا

يلامس الخط المتقارب ابداً، لكن يقترب منه

سيكون قريب جداً من الخط، و

ثم يتجه للخارج، بهذا الاتجاه

على اي حال، اتمنى ان يكون هذا مساعداً

كانت هذه مسألة متشعبة بعض الشيئ، لكنها

مفيدة