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Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors

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    對於任意的變換從Rn到Rn
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    我們已經做完了
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    但是對於我們來講 求向量
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    本質上通過變換就是放縮 還是很吸引人的
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    因此這個向量有這樣的形式
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    這個向量變換就等於
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    按某個比例放大一個向量
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    如果這個對你來講看起來不太熟悉
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    我可以慢慢觸動你的記憶
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    當時我們在找基向量
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    對於變換的時候 我把它畫下來
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    這是從R2到R2
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    我來把R2畫在這
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    比方說我有這個向量v1等於
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    向量[1；2]
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    我們就有由這個向量張成的直線
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    我們在幾次影片之前做過這個問題
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    我有這樣的變換
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    可以翻過這條直線
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    因此如果我們稱這條線爲l的話 T就是這個變換
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    從R2到R2翻過這條線
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    因此它翻過l
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    如果你能記起那個變換
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    如果我有某個隨機向量像這樣
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    比方說那是c 那是向量x
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    那麽這個變換作用於x看起來就是這樣
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    它就是翻過那條線
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    那就是這個變換作用於x
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    如果你還記得那次影片 我們當時正在找
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    基的一種變換可以允許我們至少
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    算出這個變換的對應矩陣
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    至少在一個改變的基下
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    然後我們可以算出矩陣
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    針對這個變換在一組標準基下
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    我們選取的這個基就是基向量
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    不會隨著這個變換改變太多
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    或者基向量通過變換這是按比例被放大
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    舉個例子 當我們對v1做這個變換
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    它就等於v1
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    或者我們可以說v1在這個變換下就
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    等於1乘以v1
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    因此如果你只是按照這個形式
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    我建立的這個 λ 在這種情況下就是1
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    當然 在這種情況下這個向量是v1
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    這個變換只是給v1按比例1變化
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    在那個相同的問題中 我們有另一個向量
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    我們也在看著的
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    它是向量減 比方說它是向量v2
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    就是 比方說它是[2；-1]
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    然後如果你計算它的變換
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    既然它垂直於這條直線
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    它就會像這樣被翻
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    那也是一個非常有意思的向量力
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    因爲v2的這個變換在這種情形下
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    等於什麽？
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    就是-v2
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    它等於-v2
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    或者你可以說v2的這個變換
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    等於-1乘以v2
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    這些對於我們來說很有意思
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    因爲當我們定義一個新的基
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    用作爲基向量的這些向量
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    計算我們的變換矩陣就變得非常簡單
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    實際上那個基很容易算
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    我們也將在未來進一步探討這些
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    但是希望你們能夠意識到
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    這些是很有意思的向量
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    也有這樣的情形
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    我們有被某些向量張成的平面
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    然後我們又有另一個向量
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    像這樣跳出這個平面
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    我們變換通過算鏡像
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    穿過這個 在這個變換中
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    這些紅向量一點也不會改變
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    並且這個向量翻轉過去
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    也許那些向量會很好的成爲基
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    或者那些向量會很好的成爲基向量
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    事實上是這樣的
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    所以一般地 我們總是關心這種向量
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    通過一個變換只是比例上發生變化
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    它不會成爲所有的向量 對吧？
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    這個我畫的向量 這個向量x
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    它不只是比例發生變化 它實際上已經改變了
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    這個方向都改變了
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    這個向量改變大小可能改變方向
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    可能從這個方向改變到那個方向
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    或許它們改變到那
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    也許那是x 然後x的這個變換
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    可能是x比例的變化
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    也許是那樣
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    我猜實際的它們張成的那條直線不會改變
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    這就是我們一直關心的問題
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    這些有一個特殊的名字
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    它們有一個特殊的名字 我想
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    是這個變得清楚一些因爲它們真的很有用
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    它不是簡單的我們在玩的數學遊戲
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    盡管有時候我們確實會掉入到那個陷阱中
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    但是事實上它們很有用
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    它們對於定義基很有用因爲在那些基下
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    計算變換矩陣就變得很簡單了
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    它們是更自然的座標係統
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    時常地 在那些基下的這個變換矩陣
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    更容易計算
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    因此這些有特殊的名字
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    任意向量滿足這個等式
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    被稱爲這個變換的一個特征向量
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    這個λ 這個倍數它成爲
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    這是這個特征向量所對應的特征值
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    所以在這個例子中我就給你這個變換是
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    翻過這條直線 v1 這個向量[1；2]是
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    我們變換的一個特征向量
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    所以[1；2]就是一個特征向量
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    並且它對應的特征值是1
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    這個向量也是一個特征向量
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    這個向量[2；-1]
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    它也是一個特征向量
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    一個很有意思的單詞 但是它的所有意義是一個向量
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    通過一個變換大小發生變化
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    沒有哪個向量的變化
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    比按比例發生變化更有意義
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    它對應特征值是-1
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    如果這個變換 我不知道
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    它的變換矩陣是什麽？
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    我忘了它是什麽
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    我們實際上之前算出來過
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    如果這個變換矩陣可以表示爲
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    一個矩陣向量乘積 它應該可以
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    它是一個線性變換 那麽任意v
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    滿足這個變換
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    我想說v的這個變換等於λv
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    也同樣是
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    你知道 這個變換
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    會是Av
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    這些也可以稱是A的特征值
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    因爲A確實是
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    這個變換的方陣表現
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    在這種情況下 這就是A的一個特征向量
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    而且這就是這個特征值
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    對應於這個特征向量
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    所以如果你給我一個矩陣
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    表示某個線性變換
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    你也可以把這些算出來
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    下次影片我將
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    找到一種方法把這些算出來
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    但是我想讓你在這次影片中學習的是
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    簡單的說 就是這個向量
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    不會改變太多
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    但是我想讓你明白它是什麽意思
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    它實際上就是大小發生變化
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    或者可能它們被翻轉了
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    它們的方向或者它們張成的這些線
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    根本上沒變
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    爲什麽它們能夠吸引我們的注意
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    一個方面的原因爲什麽它們吸引我們就是
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    它們做了一組很有意思的基向量 那些基向量
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    可以使變換矩陣可能在計算上
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    更簡單
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    或者它會給我們提供更好的座標係
Title:
Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors
Description:

What eigenvectors and eigenvalues are and why they are interesting
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Video Language:
English
Duration:
07:43
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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