Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors
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0:01 - 0:06對於任意的變換從Rn到Rn
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0:06 - 0:08我們已經做完了
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0:08 - 0:11但是對於我們來講 求向量
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0:11 - 0:13本質上通過變換就是放縮 還是很吸引人的
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0:13 - 0:16因此這個向量有這樣的形式
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0:16 - 0:19這個向量變換就等於
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0:19 - 0:22按某個比例放大一個向量
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0:22 - 0:24如果這個對你來講看起來不太熟悉
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0:24 - 0:25我可以慢慢觸動你的記憶
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0:25 - 0:28當時我們在找基向量
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0:28 - 0:29對於變換的時候 我把它畫下來
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0:29 - 0:31這是從R2到R2
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0:31 - 0:36我來把R2畫在這
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0:36 - 0:44比方說我有這個向量v1等於
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0:44 - 0:46向量[1;2]
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0:46 - 0:49我們就有由這個向量張成的直線
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0:49 - 0:52我們在幾次影片之前做過這個問題
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0:52 - 0:54我有這樣的變換
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0:54 - 0:56可以翻過這條直線
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0:56 - 0:59因此如果我們稱這條線爲l的話 T就是這個變換
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0:59 - 1:05從R2到R2翻過這條線
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1:05 - 1:13因此它翻過l
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1:13 - 1:15如果你能記起那個變換
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1:15 - 1:18如果我有某個隨機向量像這樣
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1:18 - 1:20比方說那是c 那是向量x
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1:20 - 1:22那麽這個變換作用於x看起來就是這樣
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1:22 - 1:24它就是翻過那條線
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1:24 - 1:27那就是這個變換作用於x
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1:27 - 1:29如果你還記得那次影片 我們當時正在找
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1:29 - 1:32基的一種變換可以允許我們至少
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1:32 - 1:34算出這個變換的對應矩陣
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1:34 - 1:36至少在一個改變的基下
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1:36 - 1:37然後我們可以算出矩陣
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1:37 - 1:39針對這個變換在一組標準基下
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1:39 - 1:42我們選取的這個基就是基向量
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1:42 - 1:45不會隨著這個變換改變太多
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1:45 - 1:47或者基向量通過變換這是按比例被放大
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1:47 - 1:50舉個例子 當我們對v1做這個變換
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1:50 - 1:54它就等於v1
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1:54 - 2:00或者我們可以說v1在這個變換下就
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2:00 - 2:03等於1乘以v1
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2:03 - 2:07因此如果你只是按照這個形式
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2:07 - 2:09我建立的這個 λ 在這種情況下就是1
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2:09 - 2:11當然 在這種情況下這個向量是v1
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2:11 - 2:15這個變換只是給v1按比例1變化
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2:15 - 2:19在那個相同的問題中 我們有另一個向量
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2:19 - 2:21我們也在看著的
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2:21 - 2:28它是向量減 比方說它是向量v2
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2:28 - 2:32就是 比方說它是[2;-1]
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2:32 - 2:34然後如果你計算它的變換
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2:34 - 2:37既然它垂直於這條直線
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2:37 - 2:39它就會像這樣被翻
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2:39 - 2:40那也是一個非常有意思的向量力
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2:40 - 2:46因爲v2的這個變換在這種情形下
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2:46 - 2:47等於什麽?
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2:47 - 2:49就是-v2
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2:49 - 2:51它等於-v2
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2:51 - 2:54或者你可以說v2的這個變換
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2:54 - 2:58等於-1乘以v2
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2:58 - 3:01這些對於我們來說很有意思
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3:01 - 3:03因爲當我們定義一個新的基
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3:03 - 3:06用作爲基向量的這些向量
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3:06 - 3:09計算我們的變換矩陣就變得非常簡單
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3:09 - 3:12實際上那個基很容易算
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3:12 - 3:14我們也將在未來進一步探討這些
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3:14 - 3:16但是希望你們能夠意識到
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3:16 - 3:17這些是很有意思的向量
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3:17 - 3:19也有這樣的情形
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3:19 - 3:23我們有被某些向量張成的平面
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3:23 - 3:25然後我們又有另一個向量
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3:25 - 3:27像這樣跳出這個平面
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3:27 - 3:30我們變換通過算鏡像
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3:30 - 3:32穿過這個 在這個變換中
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3:32 - 3:35這些紅向量一點也不會改變
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3:35 - 3:36並且這個向量翻轉過去
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3:36 - 3:38也許那些向量會很好的成爲基
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3:38 - 3:40或者那些向量會很好的成爲基向量
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3:41 - 3:42事實上是這樣的
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3:42 - 3:45所以一般地 我們總是關心這種向量
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3:45 - 3:47通過一個變換只是比例上發生變化
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3:47 - 3:49它不會成爲所有的向量 對吧?
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3:49 - 3:51這個我畫的向量 這個向量x
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3:51 - 3:54它不只是比例發生變化 它實際上已經改變了
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3:54 - 3:56這個方向都改變了
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3:56 - 3:59這個向量改變大小可能改變方向
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3:59 - 4:02可能從這個方向改變到那個方向
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4:03 - 4:04或許它們改變到那
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4:04 - 4:07也許那是x 然後x的這個變換
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4:07 - 4:09可能是x比例的變化
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4:09 - 4:10也許是那樣
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4:10 - 4:17我猜實際的它們張成的那條直線不會改變
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4:17 - 4:19這就是我們一直關心的問題
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4:19 - 4:21這些有一個特殊的名字
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4:21 - 4:24它們有一個特殊的名字 我想
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4:24 - 4:25是這個變得清楚一些因爲它們真的很有用
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4:25 - 4:28它不是簡單的我們在玩的數學遊戲
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4:28 - 4:30盡管有時候我們確實會掉入到那個陷阱中
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4:30 - 4:31但是事實上它們很有用
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4:32 - 4:35它們對於定義基很有用因爲在那些基下
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4:35 - 4:36計算變換矩陣就變得很簡單了
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4:37 - 4:39它們是更自然的座標係統
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4:39 - 4:42時常地 在那些基下的這個變換矩陣
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4:42 - 4:43更容易計算
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4:43 - 4:46因此這些有特殊的名字
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4:46 - 4:50任意向量滿足這個等式
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4:50 - 4:56被稱爲這個變換的一個特征向量
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4:56 - 5:01這個λ 這個倍數它成爲
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5:01 - 5:13這是這個特征向量所對應的特征值
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5:13 - 5:20所以在這個例子中我就給你這個變換是
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5:20 - 5:24翻過這條直線 v1 這個向量[1;2]是
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5:24 - 5:26我們變換的一個特征向量
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5:26 - 5:32所以[1;2]就是一個特征向量
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5:32 - 5:36並且它對應的特征值是1
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5:36 - 5:44這個向量也是一個特征向量
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5:44 - 5:45這個向量[2;-1]
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5:45 - 5:47它也是一個特征向量
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5:47 - 5:50一個很有意思的單詞 但是它的所有意義是一個向量
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5:50 - 5:52通過一個變換大小發生變化
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5:52 - 5:55沒有哪個向量的變化
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5:55 - 5:56比按比例發生變化更有意義
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5:56 - 6:03它對應特征值是-1
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6:03 - 6:06如果這個變換 我不知道
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6:06 - 6:07它的變換矩陣是什麽?
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6:07 - 6:09我忘了它是什麽
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6:09 - 6:10我們實際上之前算出來過
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6:10 - 6:16如果這個變換矩陣可以表示爲
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6:16 - 6:18一個矩陣向量乘積 它應該可以
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6:18 - 6:21它是一個線性變換 那麽任意v
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6:21 - 6:24滿足這個變換
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6:24 - 6:30我想說v的這個變換等於λv
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6:30 - 6:32也同樣是
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6:32 - 6:34你知道 這個變換
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6:34 - 6:35會是Av
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6:35 - 6:39這些也可以稱是A的特征值
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6:39 - 6:42因爲A確實是
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6:42 - 6:43這個變換的方陣表現
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6:43 - 6:51在這種情況下 這就是A的一個特征向量
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6:51 - 6:53而且這就是這個特征值
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6:53 - 6:55對應於這個特征向量
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6:55 - 7:00所以如果你給我一個矩陣
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7:00 - 7:02表示某個線性變換
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7:02 - 7:04你也可以把這些算出來
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7:04 - 7:07下次影片我將
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7:07 - 7:08找到一種方法把這些算出來
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7:08 - 7:11但是我想讓你在這次影片中學習的是
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7:11 - 7:14簡單的說 就是這個向量
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7:14 - 7:15不會改變太多
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7:15 - 7:17但是我想讓你明白它是什麽意思
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7:17 - 7:18它實際上就是大小發生變化
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7:18 - 7:20或者可能它們被翻轉了
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7:20 - 7:22它們的方向或者它們張成的這些線
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7:22 - 7:24根本上沒變
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7:24 - 7:26爲什麽它們能夠吸引我們的注意
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7:26 - 7:29一個方面的原因爲什麽它們吸引我們就是
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7:29 - 7:33它們做了一組很有意思的基向量 那些基向量
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7:33 - 7:36可以使變換矩陣可能在計算上
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7:36 - 7:38更簡單
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7:38 - 7:41或者它會給我們提供更好的座標係