Lineer Cebir: Özdeğer ve Özyöneye Başlangıç

Özdeğer ve özyöney tanımları ve ilginç yönleri

R n'den R n'ye bir dönüşümle büyüklüğü artan veya azalan vektörler ilgimizi çekebilir.

-

-

-

Vektörün dönüşümünün, vektörün farklı uzunluğa sahip bir versiyonuna eşit olmasını istiyoruz.

-

-

Bu size tanıdık gelmiyorsa, hatırlatmaya çalışayım.

-

Doğuray vektörleri bulduğumuz zamanı hatırlayın.

Çizeyim.

R 2'den R 2'ye.

-

-

v 1 vektörünü 1, 2 olarak belirleyelim.

-

Bu vektörün gerdiği doğrular vardı.

Bu soruyu birkaç video önce yapmıştık.

Sonra da bu doğruya göre yansıtma dönüşümünü görmüştük.

Buna l doğrusu dersem, T dönüşümü vektörlerin bu doğruya göre yansımasını veriyordu.

-

-

Hatırlarsanız, dönüşüm şöyle bir x vektörünü şu şekilde dönüştürüyordu.

-

-

-

Bu doğruya göre yansıması x'in dönüşümüydü.

-

Ve o videoyu hatırlarsanız, dönüşüm matrisini bulmamızı sağlayacak farklı bir doğuray arıyorduk.

-

-

-

Böylece standart doğurayda dönüşüm matrisini bulacaktık.

-

Doğuray olarak dönüşümün fazla etkilemediği, sadece büyüklüklerini etkilediği vektörleri seçmiştik.

-

-

Örneğin v 1'in dönüşümü v 1'e eşit çıkmıştı.

-

Veya v 1'in dönüşümü eşittir 1 çarpı v 1 de diyebiliriz.

-

Bu şablona uygun yazarsak, burada lambda 1 olur.

-

Ve bu vektör de v 1 olur.

Bu dönüşüm v 1'in uzunluğunu 1 ile çarpar.

Bir başka vektörü de incelemiştik.

-

v 2 vektörü, 2, eksi 1.

-

Doğruya dik olduğu için, dönüşümü şöyle olmuştu.

-

-

Bu da ilginç bir durum oluşturdu, çünkü v 2'nin dönüşümü neye eşi oldu?

-

-

Eksi v 2.

Eksi v 2'ye eşit oldu.

Veya v 2'nin dönüşümü eşittir eksi 1 çarpı v 2 de diyebiliriz.

-

Bu vektörleri doğuray olarak kullandığımızda dönüşüm matrisini bulmak çok kolaylaşmıştı.

-

-

Bu doğurayla işlem yapmak son derece basitti.

Bu durumu ileride daha inceleyeceğiz.

Umarım bu vektörler size de ilginç gelmiştir.

Ayrıca bazı vektörlerin gerdiği düzlemleri de görmüştük.

-

Düzlemden çıkan başka bir vektörü de incelemiştik.

-

Ve buna göre yansımalar alıyorduk, bu kırmızı vektörlerin hiç değişmediğini görüyorduk. Bu arkadaş yansıyordu.

-

-

-

Belki bunlar iyi bir doğuray oluşturur veya iyi doğuray vektörleri olabilir dedik.

-

Ve öyle de oldu.

Genelde bir dönüşümün uzunluğunu değiştirdiği vektörler ilgimizi çekmelidir.

-

Bu durum tüm vektörler için geçerli değildir, öyle değil mi?

Burada çizdiğim vektörün, bu x vektörünün, sadece uzunluğu değişmiyor, yönü de değişiyor.

-

-

Uzunluğu değişen vektörler tam ters yöne de dönebilir.

Belki bu yönden, şu yöne.

-

Belki bu x ve x'in dönüşümü şöyle daha uzun.

-

-

Ama gerdikleri doğru değişmeyecektir.

İşte biz bu durumları inceleyeceğiz.

Bunların özel bir adı var.

Bu vektörler faydalı olduğu için bu konuyu açıkça anlatmak istedim.

-

Bu, rastgele bir matematiksel oyun değil.

-

Bu vektörler hakikaten faydalı.

Dönüşüm matrisini kolayca bulmamızı sağlayan doğuray vektörleri tanımlamakta kullanabiliriz.

-

Bu doğurayı kullanan dönüşüm matrisleriyle işlem yapmak çok daha basit.

-

-

Bu nedenle de bu vektörlerin özel bir adı var.

Bu özelliğe sahip bir vektöre, T dönüşümünün özyöneyi diyoruz.

-

Ve lambda değeri de bu özyöneyin özdeğeridir.

-

Buradaki örnekte v 1, yani 1, 2 vektörü dönüşümümüzün bir özyöneyidir.

-

-

1, 2 özyöneydir.

Ve özdeğeri de 1'dir.

Bu arkadaş da özyöneydir - 2, eksi 1 vektörü.

-

O da özyöneydir.

Çok fiyakalı bir sözcük, anlamı, dönüşüm sonucunda yalnızca uzunluğu değişen vektör.

-

Daha anlamlı bir değişime uğramayan vektör olarak da düşünebiliriz.

-

Bu özyöneyin özdeğeri ise, 1.

Bu dönüşümün matrisini hatırlamıyorum.

-

-

Uzun zaman önce bulmuştuk.

Bu dönüşüm matrisini bir matris vektör çarpımında kullandığımda, bunu yapabilmemin nedeni doğrusal dönüşüm olması, v'nin dönüşümü eşittir lambda çarpı v derim.

-

-

-

-

Ayrıca v'nin dönüşümünün A çarpı v'ye eşit olduğunu da biliyorum.

-

Bu vektörler ayrıca A'nın özyöneyleridir, çünkü A, dönüşüm matrisidir.

-

-

Yani bu durumda, bu, A'nin özyöneyidir ve şu da bu özyöneyin özdeğeridir.

-

-

Bana bir doğrusal dönüşüm matrisi verdiğinizde, bu özyöney ve özdeğerleri bulabilirim.

-

-

Bir sonraki videoda bunları bulmak için bir yöntem oluşturacağız.

-

Bu videodan almanızı istediğim şu: Vektörlerin fazla değişmediğini görüyoruz, evet, ama bunun anlamı nedir?

-

-

-

Uzunlukları değişiyor, belki tam ters yöne dönüyorlar, ama gerdikleri doğrular değişmiyor.

-

-

Bizim bu vektörleri incelememizin nedeni ise, doğuray vektörleri olarak aldığımızda dönüşüm matrisini bulmayı ve işlem yapmayı basit hale getirmeleridir.

-

-

-

-