Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors

Para qualquer transformação
de Rn para Rn, fizemos

implicitamente, mas
é interessante encontrarmos

os vetores que são
alterados pelas

transformações.

Portanto os vetores que possuem
a forma -- a transformação de

meu vetor, é igual
a alguma versão ampliada

de um vetor.

Se isto não lhe parece familiar,
eu posso refrescar um

pouco sua memória.

Quando estamos procurando
por vetores base

para a transformação --
deixe-me desenhar isto.

Isto foi de R2 para R2,

de R2 para R2.

Deixe-me desenhar o R2 bem aqui.

Vamos dizer agora que eu tinha um vetor...
Vamos adicionar um vetor, digamos que v1 é

igual ao vetor um, dois.

E nós tinhamos as linhas
que são prolongadas do vetor.

E nós fizemos isto
há muitos vídeos.

E eu tinha a transformação que
passava por esta linha.

Portanto se chamamos a linha de L, T era
a transformação de R2 para R2

que passava vetores
por cima desta linha.

Portanto ele passava, passava
vetores por cima de L.

Portanto se você lembra desta
transformação, se eu tivesse um vetor

qualquer que parecesse
com isso, digamos que isto é x,

este é o vetor x, então a
transformação de x pareceria com

algo deste tipo.

Que é passado por
cima desta linha.

Esta era a
transformação de x.

E, se você se recorda do vídeo,
nós estávamos procurando por

uma troca de base que nos permitiria
ao menos descobrir a matriz,

a matriz de transformação,
ao menos uma

base alternativa.

Então nós poderíamos
descobrir a matriz para

a transformação em uma
base padrão.

E a bases que escolhemos eram
vetores base que não

mudavam muito com a
transformação, ou bases que

simplesmente eram ampliadas
pela transformação.

Por exemplo, quando peguei a
transformação de v1, ela foi simplesmente

igualada a v1.

Ou digamos que, a transformação
de v1, foi simplesmente igual a

um vezes v1.

Portanto se você segue isto,
este pequeno formato que

criamos, lambda, neste
caso, seria um.

E é claro, o vetor
neste caso é v1.

A transformação apenas
ampliou v1 por uma escala 1.

Agora se você também ou se, no mesmo
problema, tivéssemos outro vetor que se

parecesse com isto.

Ok, seria o vetor...
Digamos que este vetor é o v2.

v2 é -- digamos que seja um
vetor dois, e um negativo.

E quando você toma a
transformação disto, visto que

era ortogonal à linha, ele
simplesmente foi

movido desta forma.

E isto foi uma força vetorial
realmente interessante pois

bem, a transformação de
v2 nesta situação

é igual ao quê?

Apenas v2 negativo.

É igual a v2 negativo.

Ou, você poderia dizer, que a
transformação de v2 é igual

a menos um vezes v2.

E estes foram vetores interessantes
para nós porque quando

definimos uma nova base com estes
vetores como base, tornou-se

fácil de se descobrir qual a
matriz transformação.

E na verdade, esta base foi
fácil de se usar.

Exploraremos isto um
pouco mais no futuro.

Espero que tenham compreendido a
importância destes vetores.

Também havia casos onde os
planos estavam ampliados por

alguns vetores.

E também tínhamos outro
vetor que despontava do

plano, desta forma.

E estávamos transformando
coisas ao utilizarmos o

reflexo da imagem por sobre isto
e bem, naquela transformação,

estes vetores em vermelho
não se alteram, e

estes caras são passados por cima.

Talvez estes vetores sejam
boas bases vetoriais.

Ou quem sabe estes seriam também
boas bases vetoriais.

E de fato são.

Em geral, estamos sempre interessados
em vetores que

são apenas ampliados
por uma transformação.

Não serão todos os vetores, certo?

Este vetor que desenhei aqui,
este vetor x, ele não é

ampliado, ele é alterado,
a sua direção

é alterada.

Os vetores que são ampliados podem
alterar sua direção -- eles podem

ir desta direção para esta,
ou quem sabe

para esta.

Quem sabe talvez seja x e a
transformação de x seja

uma versão ampliada de x.

Talvez seja isto.

A linha que de fato é gera o espaço
vetorial não será alterada.

É com isto que iremos
nos preocupar.

Estes vetores tem um
nome especial.

E quero deixar isto bem
claro pois estes são vetores

realmente úteis.

Não é apenas um jogo matemático
com o qual estamos

lidando, apesar de às vezes
cairmos nesta armadilha.

Eles são realmente úteis.

Eles são úteis para definir
bases pois nestas bases

é mais fácil de achar
a matrizes de transformação.

Eles são sistemas de coordenadas
mais naturais.

E muitas vezes, as matrizes de transformação
nestas bases são

mais fáceis de
se lidar.

Por isto elas possuem
nomes especiais.

Qualquer vetor que satisfaça isto
aqui é chamado de

autovetor para a
transformação T.

E o lambda, o múltiplo que ele
se torna -- este é o autovalor

associado ao autovetor.

Então, no exemplo que acabei
de dar onde a transformação está

girando ao redor desta linha, v1, o
vetor um, dois, é um autovetor

de nossa transformação.

Portanto um, dois é um
autovetor.

E seu autovalor
correspondente é igual a um.

Este termo também
é um autovetor -- o vetor

dois, menos um.

Ele também é
um autovetor.

Uma palavra muito bonita, mas o que
isto significa é que houve a ampliação

de um vetor por uma transformação.

Ele não é alterado em nenhuma forma
mais importante do que o

fator de ampliação.

E seu autovalor correspondente
é igual a menos um.

Se esta transformação --
eu não sei qual a sua

matriz de transformação.

Eu esqueci qual era.

Nós na verdade a
descobrimos há pouco.

Se a matriz de transformação pode ser
representada como a matriz

produto vetorial -- e
deveria ser; é uma

transformação linear -- então
qualquer v que satisfaça a

transformação de -- digamos que a
transformação de v é igual a

lambda v, que também
seria, você sabe,

a transformação de [? v ?]

seria igual a A vezes v.

Eles também são chamados de
autovetores de A, pois A é

simplesmente a matriz representação

da transformação.

Neste caso, este seria um
autovetor de A, e isto seria

o autovalor associado ao

autovetor.

Portanto, se você nos dá
a matriz representação de

uma transformação linear.

Você também pode descobri-los.

Agora, no próximo vídeo que iremos
ver nós de fato

veremos como descobrir
estes valores.

Mas o que quero que vocês
entendam deste vídeo é

que podemos dizer que os
vetores não se

alteram muito.

Mas quero que vocês
entendam o que isto significa.

O vetor literalmente é ampliado
ou invertido.

A sua direção ou a linha
que eles prolongam

fundamentalmente não
se alteram.

E a razão pela qual elas são
interessantes para nós é que, bem,

uma das razões pela qual elas
nos são interessantes é que

elas são bases vetoriais
muito interessantes -- bases vetoriais

cujas matrizes de transformação são
talvez computacionalmente

mais simples, ou matrizes que formam
melhores sistemas de coordenadas.