-
Voor alle transformaties die van Rn naar
Rn vertalen, we hebben het als
-
vanzelfsprekend gezien, maar het is
interessant voor ons
-
om de vectors te vinden die worden
geschaald door de
-
transformaties
-
Dus de vectoren die in de vorm --
de transformatie van
-
mijn vector, is gelijk aan
een geschaalde
-
versie van een vector.
-
Als die niet bekend voorkomt kan
ik je een
-
korte opfrisser geven.
-
Als we zoeken naar de
basisvectoren van
-
de transformatie
Voorbeeld:
-
Dit was van R2 naar R2,
-
van R2 naar R2.
-
Ik zet R2 hier neer.
-
Laten we zeggen dat ik deze vector had,
dat ik deze toevoeg en dat v1 gelijk
-
was aan vector 1, 2.
-
En we hebben de lijn die wordt omhult
door die vector
-
We hebben dit een aantal filmpjes
geleden ook gedaan.
-
Daar had ik een transformatie die
gespiegeld werd langs deze lijn.
-
Als we deze lijn l noemen, T was de
transformatie van R2
-
naar R2 die gespiegeld werd langs
deze lijn.
-
Dus het spiegelt, spiegelt vectors,
spiegelt vectors, langs l.
-
Dus als je die transformatie weer kan
herinneren--Als ik een
-
willekeurige vector heb die er zo uit
ziet, laten we zeggen x,
-
Dat is vector x, dan zal de
transformatie van x er
-
ongeveer zo uitzien
-
Welke is gespiegeld langs die lijn.
-
Dat was de transformatie van x.
-
Misschien weet je nog, zochten we
naar
-
verandering in de basis die ons helpt
met het ontdekken
-
van, de matrix voor de transformaties,
op zijn minst een
-
alternatieve basis
-
Dan kunnen we een matrix
maken
-
voor de transfomaties in de
standaard basis.
-
De basis die wij kozen waren
basisvectoren die nauwelijks werden
-
veranderd door de transformatie of
sommigen die
-
alleen werden geschaald.
-
Bijvoorbeeld, toen ik de transformatie
van v1 nam, was de uitkomst gewoon
-
gelijk aan v1.
-
Kortgezegd, de transformatie van v1,
is gewoon
-
gelijk aan 1 maal v1.
-
Als je aan de hand van dit voorbeeld,
wat ik hier heb staan,
-
in dit geval lambda, zal dus 1 zijn.
-
Logischerwijs, de vector in dit geval
is v1.
-
De transformatie heeft v1
geschaald met 1.
-
Als je ook of als je, datzelfde probleem,
we hadden een andere vector waar
-
we ook naar keken.
-
OK, het was de vector, het was de vector.
Minus, laten we het vector v2 noemen.
-
Welke-- laten we zeggen
het is 2 minus 1.
-
Dan neem je de transformatie er van,
sinds het
-
orthogonaal was aan de
lijn, wordt hij
-
gewoon op deze manier gespiegeld.
-
Dat was een interessante
vector voor ons,
-
omdat the transformatie van
v2 in dit
-
geval gelijk is aan wat?
-
Gewoon min v2
-
Het is gelijk aan min v2.
-
Anders gezegt, dat de
transformatie van v2 gelijk is
-
aan min 1 maal v2.
-
En deze waren interessante vectoren
voor ons omdat als we
-
een nieuwe basis defineren met deze
jongens als basis vector, het heel erg
-
makkelijk is onze transformatie
matrix hier uit te halen.
-
Eigenlijk, die basis was heel gemakkelijk
om mee te rekenen.
-
En we gaan hier dieper op in
in de toekomst.
-
Hopelijk bevat je dit interessante
vectoren zijn.
-
Er was ook een geval waar een vlak
werd opgespannen doormiddel van
-
een aantal vectoren.
-
En dat er een andere vector uit
het vlak stak
-
zoals hier.
-
En we transformeerden door het
spiegelbeeld te
-
nemen hierlangs en zeiden toen,
in die
-
transformatie, deze rode vectoren
veranderen helemaal niet
-
en deze wordt gespiegeld.
-
Dus misschien maken deze samen
een goede basis.
-
Of dat ze goede basisvectoren
kunnen zijn.
-
En dat doen ze.
-
In het algemeen zijn we benieuwd naar
de vectoren
-
de alleen worden geschaald
door een transformatie.
-
Het gaan niet alle vectoren zijn, oké?
-
Deze vector, vector x,
wordt niet alleen
-
geschaald, hij veranderd helemaal,
deze richting
-
veranderd.
-
De vectoren die geschaald worden kunnen
soms veranderen-- gaan mogelijk
-
van deze richting naar die
richting, of soms
-
gaan ze van daar.
-
Misschien is dit wel x en de
transformatie van x kan een
-
geschaalde x zijn.
-
Misschien is het dat wel.
-
De daadwerkelijk, denk ik, opgespannen
lijn zal niet veranderen.
-
En dat is waar we ons nu
mee bezig gaan houden.
-
Deze hebben een speciale naam.
-
Ze hebben een speciale naam en ik
wil dit heel duidelijk
-
maken want ze zijn handig.
-
Het is geen wiskundige spelletje dat we
-
spelen, alhoewel we soms in een val
zullen trappen.
-
Maar ze zijn echt handig.
-
Ze zijn handig bij het vinden van de basis
omdat het in de
-
basis makkelijker is de
transformatiematrix te vinden.
-
Ze vertrouwde coördinaten
systemen. En
-
vaak, de transformatiematrices
in de basis zijn
-
makkelijker om mee te rekenen.
-
Daarom hebben ze een speciale namen.
-
Elke vector die hier exact aan voldoed
noemen we een
-
eigenvector voor de
transformatie T.
-
En de lambda, de vermenigvuldiger
die het wordt-- dit is de
-
eigenwaarde wordt geassocieerd
met die eigenvector.
-
Dus in het voorbeeld dat ik gaf
de transformatie is
-
gespiegeld langs deze lijn, v1,
de vector 1, 2 is een
-
eigenvector van onze
transformatie.
-
Dus 1,2 is een eigenvector.
-
En de bijbehorende
eigenwaarde is 1.
-
Deze jongen is ook een
eigenvector
-
de vector 2 min 1
-
Hij is ook een eigenvector
-
Een duur woord, maar het betekent
dat de vector gewoon
-
geschaald is door transformatie
-
De verandering is eigenlijk niet meer
dan gewoon een schaalfactor.
-
En de bijbehorende eigenwaarde is min 1.
-
Als deze transformatie--
-
Ik weet niet wat de
transformatiematrix is.
-
Ik ben het vergeten.
-
We hebben het een tijd geleden
uitgewerkt.
-
Als deze transformatiematrix uitgedrukt
kan worden als een matrixvectorproduct,
-
en dat moet kunnen;
-
dan is het een lineaire transformatie,
elke v die voldoet aan de transformatie..
-
Dat de transformatie van v gelijk is
aan lambda v,
-
wat dan ook betekent--
Je weet, de transformatie van [? v ?]
-
is gewoon A maal v.
-
Dit worden de eigenvectors van
A genoemt.
-
Omdat A gewoon de transformatie uitdrukt
in een matrix.
-
In dit geval is dit de eigenvector van A,
-
En dit is de eigenwaarde die bij de
eigenvector hoort.
-
Dus als jij mij een matrix geeft van een
lineaire transformatie.
-
Dan kun je deze waarden ook
uitwerken.
-
In de volgende video gaan we een
manier vinden..
-
hoe we dit kunnen uitrekenen.
-
Maar waar ik je graag de meerwaarde
van wil laten zien is
-
dat het heel makkelijk is om te zeggen,
oh, de vector verandert niet zoveel.
-
Maar ik wil dat jij het snapt.
-
Letterlijk gezien wordt er alleen
geschaald, misschien nog omgedraaid.
-
De richting of de lijnen die ze omhullen
veranderen niet.
-
De reden waarom ze interessant zijn
voor ons is, althans,
-
een van de redenen dat het
interessant is voor ons
-
is dat ze interessante basisvectoren maken.
-
Basisvectoren wiens transformatiematrix
zijn misschien wel makkelijk rekenen maakt
-
of basisvectoren die betere coördinaten-
systemen maken.
