TITRE:Algèbre linéaire: Introduction aux valeurs propres et vecteurs propres

What eigenvectors and eigenvalues are and why they are interesting

Pour chaque transformation de Rn dans Rn, nous l'avons fait

implicitement, mais il est intéressant pour nous de trouver les

vecteurs qui en fait sont seulement multipliés par un nombre

lors des transformations.

Donc, les vecteurs qui satisfont -- l'image de

mon vecteur est égal à un

multiple du vecteur.

Et si ceci ne vous rappelle rien, je peux vous

rafraîchir un peu la mémoire.

Lorsque nous considérons une base vectorielle pour une

transformation de -- je la dessine

Voici donc de R2 dans R2.

Alors, je dessine R2 ici ...

et disons que j'avais le vecteur v1 qui était égal

au vecteur 1 2.

Et que nous avions les droites engendrées par ce vecteur.

Nous avons fait ce problème il y a quelques vidéos .

Et que j'avais comme transformation une symétrie axiale selon cette droite.

Donc, si nous appelons cette droite L, T était la transformation de R2

dans R2 qui "symétrise" les vecteurs par rapport à cette droite

"symétrise" les vecteurs par rapport à L

Donc, si vous vous rappelez cette transformation, j'avais un

vecteur quelconque qui avait cette allure, disons qu'il se nomme x,

c'est le vecteur x, alors l'image de x est

quelque chose comme ceci.

C'est le symétrique par rapport à cette droite

C'était l'image de x.

Et si vous vous rappelez cette vidéo, nous recherchions un

changement de base qui nous permettrait au moins de comprendre

la matrice de la transformation, et si nécessaire dans

une autre base.

Et alors nous pouvions comprendre la matrice pour

la transformation dans la base standard.

Et la base que nous avions choisie était celle avec des vecteurs qui ne changeaient

pas beaucoup par la transformation, ou qui étaient uniquement

multipliés par un nombre lors de la transformation.

Par exemple, si je prends l'image de v1, elle vaut

juste v1.

Ou nous pourrions dire que l'image de v1 est

égale à 1 fois v1.

Donc, si vous considérer cette expression générale que j'ai

écrite ici, lambda, dans ce cas serait 1.

Et bien sûr, le vecteur dans ce cas est v1.

La transformation multiplie v1 juste par 1.

Dans le même problème, nous avions aussi considéré un

autre vecteur.

C'était le vecteur monis .. disons qu'il s'appelle v2,

qui est-- disons 2 et moins 1

Et si vous considérez l'image de ce vecteur, puisqu'il

était orthogonal à la droite, il est juste

"retourné" ainsi.

Et cela est aussi vecteur plutôt intéressant,

parce que l'image de v2 dans cette

situation est égale à ... ?

Et bien à moins v2

L'image vaut moins v2

Ou nous pourrions dire que l'image de v2 est égale

à moins 1 fois v2

Et ces vecteurs étaient des vecteurs intéressants pour nous car nous

définissions ainsi une nouvelle base avec ces 2 vecteurs, et

qu'il était très facile de comprendre la matrice de notre transformation

Et qu'en effet, il était très facile de calculer avec cette base.

Et nous étudierons ce là un peu plus en détail dans le futur.

Mais j'espère que vous réalisez bien qu'ils sont des vecteurs intéressants.

C'était aussi le cas lorsque nous avions le plans engendré par

des vecteurs

Et que nous avions un autre vecteur qui sortait

du plan ainsi.

Et nous transformions les objets en prenant leur image

dans un miroir comme ceci , bon dans cette

transformation, ces vecteurs rouge ne changent pas du tout

et celui-ci est juste "retourné"

Ainsi il est vraisemblable que ces 3 vecteurs feraient une bonne base.

ou qu'ils feraient une bonne base vectorielle.

Et c'est le cas.

Donc, de manière générale, nous serons toujours intéressés par les

vecteurs qui sont juste multipliés par un nombre lors d'une transformation.

Cela n'arrive pas à tous les vecteurs, d'accord ?

Ce vecteur que j'ai dessiné ici, le vecteur x, n'est pas juste

multiplié par un nombre, en effet ceci, cette

direction change.

Les vecteurs qui sont multipliés par un nombre pourraient changer

de ce sens à ce sens, ou peut-être

à partir de cela

Peut-être à partir de ce x, l'image de x est agrandi dans le

même sens que x.

Peut-être comme cela.

Et la droite qu'il engendre ne changera pas non plus

Et c'est ce qui fait que nous nous intéressons à eux.

Ils ont un nom spécifique.

Et ils ont un nom spécifique et j'insiste la-dessus

car ils sont vraiment utiles.

Ce n'est pas juste un jeu pour amuser le mathématiciens, bien

que quelques fois, cela pourrait arriver !

Mais ils sont vraiment utiles.

Ils sont utiles pour définir des bases car dans ces bases

c'est plus facile de trouver les matrices des transformations.

Ils forment un système de coordonnées plus naturel. Et

souvent, il est plus facile de calculer avec les matrices de transformations

dans ces bases.

Et ils ont des noms spécifiques

Chaque vecteur qui satisfait cette règle ici est appelé

vecteur propre (NDT eigenvector) de la transformation T

Et le lambda, le multiple que nous avons ici, ceci est la

valeur propre (NDT: eigenvalue) associées au vecteur propre.

Donc, dans l'exemple que j'ai donné, la symétrie axiale

selon cette droite ... v1, le vecteur 1 2 est un

vecteur propre de notre transformation.

Bien, 1 2 est un vecteur propre

Et la valeur propre qui lui est associée est 1

Ce vecteur-ci est aussi un vecteur propre-- le

vecteur 2 , moins 1.

C'est aussi un vecteur propre

Vraiment un nom rigolo, mais cela signifie qu'un vecteur est

juste multiplié par un nombre.

Le seul changement est que ce vecteur est juste multiplié par un nombre,

par un facteur.

Et sa valeur propre associée est moins 1

Si cette transformation-- je ne sais pas ce

qu'est sa matrice .

J'ai oublié ce qu'elle vaut.

Nous l'avions trouvée il y a quelques vidéos.

Si A est la matrice de la transformation on peut écrire la transformation

comme un produit de A par un vecteur -- et comme la

transformation est linéaire, chaque vecteur v qui satisfait

l'image de v est égale

à lambda v, qui est donc aussi,

égale à A fois v.

Ils sont donc appelés vecteurs propres de A, parce que A

est bien la matrice qui représente la

transformation.

Donc , dans ce cas, ceci serait un vecteur propre de A et

ceci serait la valeur propre associée

au vecteur.propre.

Donc si vous avez une matrice qui représente une

transformation linéaire.

Vous pouvez aussi trouver ces choses-la

Bon, maintenant , dans la prochaine vidéo, nous allons voir

comment trouver ces valeurs et vecteurs propres.

Mais, ce que j'aimerais que vous appréciez que dans cette vidéo ...

(facile à dire !) que les vecteurs qui

ne changent pas beaucoup ..

Mais j'aimerais que vous compreniez ce que cela signifie

Cela signifie qu'ils sont juste multipliés (éventuellement avec changement de sens)

Et que la direction de la droite qu'ils engendrent

ne change pas fondamentalement.

Et que la raison pour laquelle nous nous intéressons à eux

(ou une des raisons pour laquelle ...)

est qu'ils définissent une base de vecteurs

dont la matrice (relative à cette base) de la transformation

est plus facile à trouver et à manipuler, ou encore qu'ils forment un meilleur système de coordonnées.