Linear Algebra: Introduction to Eigenvalues and Eigenvectors

What eigenvectors and eigenvalues are and why they are interesting

ضمنيا, طبقنا التحويل الذي يمتلك صورة (يمتد) من Rn إلى Rn

حيث كان من المشوق لنا أن نجد المتجهات التي تكبر بشكل أساس من خلال التحويلات

لذا فإن المتجهات التي لديها شكل ...تحويل الإتجاه الموجود هنا يساوي صورة مكبرة من المتجه

وإن لم يبد هذا مألوف, يمكنني أن نعود للذاكرة قليلا

عندما كنا نبحث عن المتجهات القاعدية للتحويل...دعوني أرسمه هاهنا

كان هذا من R2 إلى R2

من R2 إلى R2

لذا دعوني أرسم R2 هنا

دعوني أفترض أن لدي المتجه هنا....سأضيف المتجه...ولنقل V1 كان مساويا للمتجه 1,2

ولدينا هنا الخطوط تمتد على طول المتجه

واجهنا هذه المشكلة في فيديوهات سابقة عديدة كما كان لدي التحويل الذي ينقلب عن الخط

لذا إذا ما سميا ذالك الخط ب L
وكانت T عبارة عن تحويل من R2 إلى R2 والذي قلب المتجهات عبر هذا الخط

لذا فالتحويل إنقلب و قلب المتجهات, قلب الكتجهات عبر I
عبر متجهات عبر L

وإن كنت تتذكر ذلك التحويل, لوكان لدي متجه عشوائي ما يبدو كهذا, ولنقل X

ومن ثم, فإن تحويل x يبدو هكذا والذي ينقلب خلال هذا الخط

كان هذا عبارة عن تحويل X

وذا كنت تتذكر ذلك الفيديو حيث كنا نبحث عن تغير في القاعدة يمكننا من على الأقل من تحديد المصفوفة للتحويل, على الأقل القاعدة البديلة

ومن ثم نستطيع أن نحدد المصفوفة للتحويل في القاعدة القياسية

والقاعدة التي إخترناها كانت متجهات قاعدية والتي لم يغيرها التحويل كثيرا أو التي كبرت من خلال التحويل

على سبيل المثال عندما أخذت تحويل V1 , عندما أخذت تحويل V1حيث أنها تساوى V1

أو يمكننا القول أن تحويل V1 يساوى واحد مضروبا في V1

لذا فإذا كنت فقط تتبع هذه الصيغة , فإن هذه الصيغة الصغيرة التي أنشئتها هنا

خيث اللامدا في هذه الحالة ستكون 1وبالطبع, فإن المتجه في هذه الحالة V1

كبر التحويل V1 بمقدار 1

والأن إذا كانت لديك نفس المشكلة, فإن لدينا نفس المتجه الذي نظرنا عليه

حسنا, إنه كان المتجه
إنه متجه...
دعونا نقول أنها المتجه v2

و هو ..دعونا نقول أنه يساوي 2 ناقص 1

ومن ثم إذا أخذت تحويله,

بما أنه كان متعامد على الخط, تم قلبه بهذا الشكل

وتلك كانت قوة متجه مشوقة أيضا لحد ما أيضا

لأن تحويل V2 في هذا الحال يكون مساوي لماذا؟

فقط ناقص V2, سيكون مساوي لسالب v2

أو بإمكانك القول أن تحويل V2 يساوي سالب واحد مضروب في V2

حيث كانت هذه متجهات مثيرة للإهتمام لنا لأنه عندما عرفنا القاعدة الجديدة لها كمتجه قاعدي

كان من السهل أن نحدد تحويل المصفوفة

وفي الواقع, كان من السهل نقوم بالحساب مع تلك المصفوفة

وسنستكشف المزيد عن هذا في المسقبل ولكني آملا أن تدركوا أن هذه متجهات شيقة

كان هناك بعض الحالات التي بموجبها وجدنا أن المستويات تمتد على طول بعض المتجهات

ومن ثم كان لدينا متجه آخر كان ينتئ عن المسار هكذا

حيث أننا كنا نحول الأشياء من خلال أخذ

صورة معكوسة عبر هذا فنحن مثل..., حسنا ففي ذالك التحويل,

هذه المتجهات الحمراء لا تتغير على الإطلاق كما يتم قلب هذا العنصر

لذا فؤلائك ربما يصلحون ليكونوا قواعد جيدة

أو لربما يصلحون لمتجهات قاعدية جيدة

وفي الواقع هم كذالك

ولهذا وبشكل عام نحن مهتمون بالمتجهات التي كبرها التحويل

لن تكون هذه كل المتجهات, أليس كذالك؟

المتجه الذي رسمته هنا,
هذا المتجه X , لم يكبر فقط

وإنما تم تغيره كما أن هذا الإتجاه قد غير

المتجهات التي كبرت ربما تتبدل بشكل مباشر... ربما تنتقل

من هذا الإتجاه لذاك الإتجاه أو لربما تنتقل من هنا

ربما يكون هذا X ومن ثم تحويل X ربما يكون صورة مكبرة من X

ربما يكون كذلك

الخط الحقيقي- كما أعتقد- اذي خطوه لن يتغير وهذا ما سنشغل أنفسنا به

هذه العناصر لديها إسم خاص

و لديهم إسم معين حيث أنني أريد أن أوضحهم لأنهم ذو فائدة

إنها ليست لعبة رياضية نلعبها, رغم أننا نقع في ذاك الفخ بعض الأحيان

لآكنهم ذو فائدة في الواقع ذو فائدة لتحديد القواعد لأن في تلك القواعد من السهل إيجاد مصفوفات تحويل

حيث أنهم أكثر من كونهم نظم إحداثيات طبيعية

ومعظم الأحيان, من السهل أن نحسب بمصفوفات التحويل في هذه القواعد

لذا فهي تتميز بأسماء خاصة

حيث أن أي متجه يحقق هذا العنصرالموجود هنا يسمى المتجه الذاتي للتحويل T

واللامدا تصبح ضرب...وهذه هي القيمة الذاتية المرتبطة بالمتجه الذاتي

لذا ففي المثال الذي طرحته لتو حيث التحويل ينقلب حول هذا الخط V1 فإن المتجه واحد إثنان هو متجه ذاتي للتحويل الذي لدينا

ولهذا فإن واحد, إثنان متجه ذاتي وقيمته الذاتية المتطابقة هي واحد

وهذا العنصر أيضا عبارة متجه ذاتي

المتجه إثنان, سالب واحد وهو أيضا متجه ذاتي

كلمة رائعة و لكن كل ما تعنيه هو المتهجه الذي تم تكبيره من خلال التحويل

إنه لا يتغير من خلال أي طريقة أكثر معنى أكثر من عامل التحجيم

وقيمته الذاتية المطابقة هي سالب واحد

إذا كان هذا التحويل والذي لا أعرف مصفوفتة تحويله

نسيت ما هي

نحن في الواقع حددناها منذ بره

إذا كان من الممكن تمثيل مصفوفة التحويل هذه كمنتج متجه مصفوفة

ينبغي أن تكون... إنه تحويل خطي

ومن ثم فإن أي V تحقق تحويل... دعوني أقول أن تحويل V يساوي لامدا v والتي ستكون هي أيضا...كما تعلمون أن

حيث أن تحويل V سيكون فقط A مضروبة في V

هذه أيضا تسمى بالمتجهات الذاتية لA لأن Aهي عبارة فقط عن تمثيل للتحويل

لذا, فإن في هذه الحالة, سيكون هذا عبارة عن المتجه الذاتي لA وهذه ستكون القيمة الذاتية المرتبطة بالمتجه الذاتي

لذا فإن إذا أعطيتني مصفوفة تمثل تحويل خطي, يمكنك أيضا أن تحدد هذه

و سنحدد في الفيديو القادم طريقة لتحديد هذه الأشياء

وما أريده منكم أن تقدروه في هذا الفيديو هو أنه لمن السهل لكم أن تقولو : إنه من السهل القول أن المتجهات لا تتغير كثيرا

لكنني أريدكم أن تدركوا ماذا كان يعني ذلك

حيث أنه من السهل تكبيره أو ربما قلبه

كما أن إتجاههم أو خطوطهم التي خطوها بالأساس لا تتغير

السبب وراء كونها شيقة بالنسبة لنا... حسنا

واحد من الأسباب لكونها شيقة بالنسبة لنا هو أنها تنشئ متجهات قاعدية شيقة ....متجهات قاعدية ذات مصفوفات تحويل قد تكون أكثر بساطة حسابيا, أو تعمل على إيجاد أنظمة إحداثيات أفضل