-
Je dáno, že ABCDEF je
pravidelný šestiúhelník.
-
A ta část pravidelný nám říká…
Šesti říká, že to má 6 stran,
-
můžete si je spočítat. Nemuseli
nám říkat, že to je šestiúhelník.
-
Ale slovo pravidelný nám
říká, že všechny strany…
-
Všech šest stran má stejnou délku a
vnitřní úhly mají stejnou velikost.
-
Dobrá. A pak je dána
délka jedné ze stran.
-
Protože je to pravidelný šestiúhelník,
tak je vlastně dána délka všech stran.
-
Říkají, že je to 2 krát odmocnina ze 3.
Tak tato strana má délku 2 odmocniny ze 3.
-
Tato strana je 2 odmocniny ze 3.
-
Můžu jít dokola
celého šestiúhelníku,
-
a každá ze stran má
délku 2 odmocniny ze 3.
-
Chtějí, abychom zjistili
obsah tohoto šestiúhelníku.
-
Zjistit obsah ABCDEF.
-
Nejlepší způsob, jakým jde zjistit
obsah pravidelných mnohoúhelníků,
-
je rozdělit je na trojúhelníky.
Šestiúhelníky jsou trochu speciální.
-
Možná v nějakém dalším videu se zamyslíme
nad obecným případem mnohoúhelníku.
-
Se šestiúhelníkem můžete
přemýšlet nad tím, že…
-
Pokud vezmeme tento bod a nazveme ho G…
Řekněme, že je to střed šestiúhelníku.
-
A když mluvím o středu
šestiúhelníku, tak mluvím o bodu,
-
který nemůže být stejně vzdálen
od všeho, protože toto není kruh.
-
Ale můžeme říci, že je stejně
vzdálen od všech vrcholů.
-
Takže GD má stejnou
délku jako GC a jak GB,
-
má stejnou délku jako
GA, i jako GF a jako GE.
-
Takže nakreslím něco z toho,
o čem jsem právě mluvil.
-
Takže toto je GE.
Toto je GD. Toto GC.
-
Všechny tyto čáry jsou stejně dlouhé.
-
Takže tady je bod G, který můžeme
nazvat středem tohoto mnohoúhelníku.
-
A víme, že tato délka se rovná této
a této, i této délce a také této, i této.
-
Víme také, že když přidáme…
-
Když půjdeme kolem celého kruhu, tak
uděláme plnou otočku a bude to 360 stupňů.
-
A víme, že tyto trojúhelníky
budou navzájem shodné,
-
existuje řada způsobů, jak to dokázat.
-
Nejjednodušší je,
podívat se, že mají dvě strany.
-
Všechny mají shodnou
tuto a tuto stranu,
-
protože G je uprostřed a všechny mají
třetí stranu délky 2 odmocniny ze 3.
-
Takže podle pravidla SSS
jsou všechny shodné.
-
To nám říká, že pokud jsou všechny shodné,
-
tak tento úhel, tento vnitřní
úhel zde, bude stejný.
-
Bude stejný pro všech
6 těchto trojúhelníků.
-
Mohli bychom ho nazvat X.
-
Toto je úhel X, toto je X,
toto je X, toto je X, toto je X.
-
A když je všechny spočítáte,
tak jste obešli celý kruh.
-
Prošli jsme 360° a máme 6 těchto X.
Takže dostanete 6X se rovná 360°.
-
Vydělíte obě strany 6
a dostanete X se rovná…
-
X se rovná 60°.
-
Všechny tyto úhly mají 60°.
Tady to je zajímavé.
-
Víme, že tyto trojúhelníky…
-
Například trojúhelník GBC,
-
ale můžeme to udělat pro
kterýkoli z těchto trojúhelníků.
-
Vypadá to triviálně.
-
Ale víme, že určitě jsou
to rovnoramenné trojúhelníky.
-
Že tato vzdálenost je
stejná jako tato vzdálenost.
-
Tuto informaci umíme použít tak,
abychom zjistili, jaké jsou ostatní úhly.
-
Protože tyto 2 úhly při základně…
-
Je to rovnoramenný trojúhelník, obě
ramena jsou stejná a také úhly u základny.
-
Tento úhel bude stejný jako tento,
a můžeme ho nazvat Y.
-
Takže máte Y plus Y, což je:
2Y plus 60° se rovná 180°,
-
protože součet vnitřních úhlů
jakéhokoli trojúhelníku je 180°.
-
Odečtěte od obou stran 60,
dostanete 2Y se rovná 120.
-
Vydělíte obě strany 2
a dostanete Y se rovná 60°.
-
A to je zajímavé.
-
Mohl jsem to udělat s
jakýmkoli z trojúhelníků.
-
Všechny jsou to 60° trojúhelníky,
což nám říká…
-
A to už jsme dokazovali dříve, když jsme
začali zkoumat rovnostranné trojúhelníky.
-
Víme, že pokud všechny
úhly trojúhelníku mají 60°,
-
tak pak to je rovnostranný trojúhelník!
-
Což znamená, že všechny jeho
strany mají stejnou délku.
-
Takže toto je 2 krát odmocnina ze 3,
toto je také 2 krát odmocnina ze 3.
-
A i toto je 2 krát odmocnina ze 3.
-
Všechny tyto zelené čáry
mají délku 2 krát odmocnina ze 3.
-
A to už jsme věděli, protože to
je pravidelný šestiúhelník.
-
Každá strana šestiúhelníku
má délku 2 krát odmocnina ze 3.
-
Takže teď v podstatě můžeme
použít tu informaci, abychom zjistili…
-
-- To vlastně nemusíme.
Za chvilku vám to ukážu. --
-
Abychom zjistili obsah nějakého z těchto
trojúhelníků a pak ho jen vynásobíme 6.
-
Tak se zaměřme na tento trojúhelník.
-
Zamyslete se, jak můžeme
zjistit jeho obsah.
-
Víme, že délka DC je 2 krát odmocnina
ze 3. Můžeme si sem dokreslit výšku.
-
Jen takto spustíme výšku.
-
A když máme výšku, víme, že toto
je rovnostranný trojúhelník
-
a velmi snadno se dá ukázat, že
tyto dva trojúhelníky jsou symetrické.
-
Toto jsou oba pravé úhly.
Už víme, že tyto úhly jsou 60°.
-
A pak jen, pokud se
podíváte na tyto dva trojúhelníky,
-
řeknete si, že musí mít součet úhlů 180°,
tak toto musí být 30° i toto musí být 30°.
-
Všechny úhly jsou shodné.
-
A navíc mají společnou stranu,
takže tyto dva trojúhelníky jsou shodné.
-
Pokud chceme zjistit obsah
tohoto širšího kousku koláče zde,
-
tak musíme zjistit obsah tohoto řezu,
nebo této části, a pak ho vynásobit dvěma.
-
Nebo můžeme zjistit tento
obsah a vynásobit ho 12,
-
abychom měli obsah šestiúhelníku.
-
Jak zjistíme obsah této věci?
-
Tohle bude polovina délky podstavy, takže
tato délka zde a tento bod nazveme H.
-
DH bude mít délku odmocnina ze 3.
-
A už jsme zjistili, že toto
je trojúhelník 30-60-90.
-
Překreslím si ho sem.
Toto je trojúhelník 30-60-90.
-
A víme, že tato délka je odmocnina ze 3.
-
Víme, a už jsme to i vypočítali,
-
že toto je 2 krát odmocnina ze 3,
ale to vlastně nepotřebujeme.
-
Spíše potřebujeme zjistit tuto výšku.
-
V tomto trojúhelníku má strana protilehlá
k úhlu 60° délku odmocnina ze 3…
-
Odmocnina ze 3 krát
strana protilehlá k 30° úhlu.
-
Takže toto bude odmocnina
ze 3 krát odmocnina ze 3,
-
krát odmocnina ze 3.
-
Odmocnina ze 3 krát
odmocnina ze 3 je očividně 3.
-
Tato výška bude 3.
-
Pokud chceme vypočítat obsah tohoto
trojúhelníku, což je tento trojúhelník,
-
je to jen 1/2 krát základna krát výška.
-
Takže obsah tohoto malého kousku
je jen 1/2 krát naše základna.
-
Tato základna zde.
Raději se vraťme o krok zpět.
-
O toto se vůbec nemusíme starat.
Pojďme přímo k většímu trojúhelníku GDC.
-
Takže se vraťme kousek zpět, protože teď
máme základnu a výšku celého trojúhelníku.
-
Pokud nás zajímá obsah trojúhelníku GDC.
-
Teď se dívám na celý tento trojúhelník.
-
To se rovná 1/2 krát základna krát
výška, což se rovná 1/2 krát…
-
Jaká je naše základna?
-
Základnu už známe, je to jedna
ze stran našeho šestiúhelníku.
-
Je to 2 krát odmocnina ze 3.
Takže je to celá tato věc.
-
Takže krát 2 krát odmocnina ze 3.
A ještě to chceme vynásobit naší výškou.
-
Tu jsme zjistili pomocí trojúhelníku
30-60-90. Takže naše výška je 3.
-
Takže krát 3, 1/2 a 2 se vyruší
a zůstane nám 3 krát odmocnina ze 3.
-
To je obsah jednoho z těchto trojúhelníků.
-
Když chceme zjistit obsah šestiúhelníku,
tak to musíme ještě vynásobit 6.
-
Protože takových trojúhelníků tu máme 6.
Bude to rovno 6 krát 3 odmocniny ze 3,
-
což je 18 odmocnin ze 3 a jsme hotovi.
