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Introduction to i and Imaginary Numbers

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    這個影片裏,我想向你介紹數字i,
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    有時它被叫作虛數,虛數單位
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    這裡你將看到的,有點難度,
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    要充分認識到是,它是更怪異的數字
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    比我們在數學裏學的其它某些古怪的數字
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    至少還有實際值
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    i連自己實際的值都沒有
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    i的定義是 平方等於-1的數
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    這是i的定義 關於i的一切從這裡開始
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    有時i也可以這樣定義
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    i等於根號下的-1
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    記住 這種寫法並沒有錯
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    某數平方爲-1
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    那麽它可以是根號-1
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    這兩者是一致的
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    希望大家了解的是
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    有些人甚至說這是錯的
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    其實錯的是他們自己
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    只是 這樣做的時候需要謹慎
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    將i定義爲-1的算術平方根
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    這在以後講複數的時候還會講到
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    不過現在無需想太多
  • 1:23 - 1:27
    無需對這些定義太過糾結
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    根據定義 考慮下i的不同次方
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    某數的平方是-1
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    我們顯然就能嘗試其它次冪
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    其實 i的各次方非常簡潔
  • 1:41 - 1:45
    各次方的值形成一個循環
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    首先從i的0次方開始
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    我們知道 任何數的0次方是1
  • 1:54 - 1:57
    i的0次方也是1
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    從定義中也能推出這一點
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    不過沒必要 因爲任何數的0次方是1
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    然後i的1次方呢
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    任何數的1次方就是它自乘1次
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    所以i的1次方是i
  • 2:14 - 2:16
    這就是乘冪的定義
  • 2:16 - 2:18
    講得通
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    再看i的2次方
  • 2:20 - 2:23
    i的2次方 根據定義
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    i的2次方等於-1
  • 2:29 - 2:33
    再看i的3次方 用個沒用過的顏色
  • 2:33 - 2:42
    i的3次方等於i的2次方乘以i
  • 2:42 - 2:45
    我們知道i的平方是-1
  • 2:45 - 2:48
    所以是-1乘以i
  • 2:48 - 2:51
    這等於這 也等於這
  • 2:51 - 2:53
    i平方是-1
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    乘起來 也就是-1×i=-i
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    那i的4次方呢
  • 3:01 - 3:07
    寫在上面這裡
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    這也就是i乘以i的3次方
  • 3:11 - 3:14
    i的3次方是-i
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    這是-i i×i=-1
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    這裡還有個負號 i×i=-1
  • 3:28 - 3:32
    這裡還有個負號
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    所以是正1
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    我寫一下 這等價於
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    這是i×(-i) 也就是
  • 3:43 - 3:47
    根據交換律
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    乘數之間可以互換順序
  • 3:49 - 3:52
    這也就是-1×i×i
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    i×i=-1 這是定義
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    -1×(-1)=1
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    所以i的4次方等於i的0次方
  • 4:03 - 4:05
    再看i的5次方
  • 4:05 - 4:09
    也就是i的4次方乘以i
  • 4:09 - 4:15
    i的4次方是1
  • 4:15 - 4:20
    所以是1×i
  • 4:20 - 4:21
    也就是i
  • 4:21 - 4:23
    這同i的1次方一樣
  • 4:23 - 4:25
    這個規律會一直延續
  • 4:25 - 4:27
    比如再看i的7次方
  • 4:27 - 4:28
    不好意思是6次
  • 4:28 - 4:35
    也就是i乘以i的5次方
  • 4:35 - 4:39
    i的5次方也就是i
  • 4:39 - 4:44
    所以是i×i 根據定義 即-1
  • 4:44 - 4:48
    之後這個規律還會延續
  • 4:48 - 4:51
    隨著i的冪次數越來越大
  • 4:51 - 4:53
    這會一直保持循環
  • 4:53 - 4:56
    下一節 我會講如何求i的任意次方
  • 4:56 - 4:58
    你們會學到這該怎麽求
  • 4:58 - 5:00
    這裡只驗證循環規律
  • 5:00 - 5:07
    i的7次方等於i乘以i的6次方
  • 5:07 - 5:12
    i的6次方是-1 i乘以-1是-i
  • 5:12 - 5:15
    而i的8次方 又是1
  • 5:15 -
    i的9次方又是i 如此往複
Title:
Introduction to i and Imaginary Numbers
Description:

Introduction to i and imaginary numbers
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
05:20
David Chiu added a translation
lvfengxing added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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