i ve Sanal Sayılara Giriş

Sanal Sayılara ve i'ye giriş

Bu videoda, size sanal birim diye adlandırılan

i sayısından bahsetmek istiyorum.

Anlatacağım şeyler size zor gelebilir

çünkü i sayısı matematikte gördüğümüz

pi ya da e gibi diğer sayılardan

daha tuhaf bir sayı ve bunun nedeni de diğer sayıların

sahip olduğu somut değere sahip olmayışı.

Kısaca i karesi eksi 1'e eşit olan sayıdır

i'nin bu tanımı bir çok ilginç durumu ortaya çıkarır.

Bazı durumlarda i'nin şu şekilde tanımlandığını görürsünüz.

i eşittir kare kök içinde eksi 1.

Size sadece bunun yanlış olmadığını göstermek istedim.

Çünkü mantıken bir sayının karesi -1 ise

o sayı -1'in kare köküne eşittir.

Ne kadar bu iki önerme aynı gözükse de

yine de dikkatli olmak gerekir, çünkü bunu yaptığımızda

kimileri bizim hata yaptığımızı iddia edecektir.

Ancak en sonunda onların hatalı olduğu görülecektir.

Ama kök içine negatif bir sayıyı koyduğumuz zaman

ne olacağına dikkat etmemiz gerekir, çünkü bu

ileride öğreneceğimiz sanal karmaşık sayılar içinde tanımlanacaktır.

Fakat şimdilik sizin anlamanız için, aslında

bu iki tanımın benzer olduğunu kabul etmeliyiz.

Bu tanımdan yola çıkarak i'nin diğer kuvvetlerinin değerlerini bulalım.

Çünkü tahmin edebileceğiniz gibi eğer bir sayının

karesi -1 ise, farklı üsleri bize farklı şeyler verecektir.

Bu değerler, ki belirli bir düzeni takip ederek,

tüm üsler için belirli bir döngü izlerler.

Evet o zaman i'nin 0.kuvveti ile başlayalım

Dersiniz ki, herhangi bir şeyin 0. kuvveti 1'dir,

yani i'nin de 0. kuvveti 1'dir.

Hatta bu çıkarımı sadece tanımdan bile yapabilirsiniz,

basit bir şekilde i de dahil olmak üzere her şeyin 0. kuvveti 1'dir.

bu sefer, "Peki i'nin 1'inci kuvveti nedir?" diye soracaksınız

Herhangi bir sayının 1'inci kuvveti sayının kendisine eşittir.

Yani cevap i'dir.

Bir sayının üssünü almaya dair kuralları takip ettiğimiz sürece

bu tamamen mantıklı olacaktır.

Şimdi de i'nin 2'inci kuvveti?

i'nin ikinci kuvvetine baktığımızda,

tanımı gereği -1'e eşit olduğunu görürüz.

Peki i'nin 3'üncü kuvveti?

i'nin 3'üncü kuvveti, i çarpı, i'nin ikinci kuvveti olacaktır

i'nin ikinci kuvvetinin eksi 1 olduğunu biliyoruz

Yani eksi 1 çarpı i. Açıklamak gerekirse,

bu durum i'nin karesinin -1'e

eşit olmasıyla aynı durum.

Hadi çarpalım. Eksi 1 çarpı i, eksi i'dir.

Bir de i'nin dördüncü kuvvetini aldığımızda cevabın ne olacağına bakalım.

Evet, işte i'nin 4'üncü kuvveti.

Bu da i çarpı i'nin 3'üncü kuvveti olarak yazılabilir.

i çarpı i'nin 3'üncü kuvveti.

Peki i'nin üçüncü kuvveti nedir? i'nin üçüncü kuvveti eksi i'dir.

Evet, bu -i. Eğer i çarpı i -1'e eşitse

buradaki eksiyi de göz ardı etmeden, eğer i çarpı i "-1" ise,

ve buradaki gibi eksi de varsa, cevap 1 olacaktır.

Söylediklerimi yazayım: Bu durum

eğer i ile -i yi çarpıyorsak, -1 ile çarpmak ile aynı şeydir.

Çünkü çarpmanın dağılma koşulunu düşünersek

işlemde sayıların yerini istediğiniz gibi değiştirebilirsiniz.

Yani eksi 1 çarpı i çarpı i bu işlemle aynı şey.

Tanıma göre i çarpı i eksi 1'dir.

Eksi 1 çarpı eksi 1 de artı 1'e eşittir.

i'nin 4'üncü kuvveti i'nin 0'ıncı kuvveti ile aynıdır.

Bir de i'nin 5'inci kuvvetine bakalım.

i'nin beşinci 5'inci kuvveti. Bu da i'nin 4'üncü kuvveti çarpı i'dir.

i'nin 4'üncü kuvvetinin 1 olduğunu biliyoruz. 1 çarpı i de i'dir.

yani bu 1 kere i veya

sadece i'dir. Yani elimizde yine i'nin

1. kuvveti ile aynı şey var.

Bu durumun devam edip etmediğini kontrol edelim.

i'nin 7. kuvvetini deneyelim

Pardon, 6. kuvveti olacaktı.

Bunu i çarpı i'nin 5'inci kuvveti olarak yazabiliriz.

i'nin 5'nci kuvvetinin i olduğunu biliyoruz,

i çarpı i de tanım gereği -1'e eşittir.

Bitirirsek, evet böyle sürekli gidebiliriz.

i'nin daha da büyük kuvvetlerini alabiliriz fakat

ne olursa olsun aynı döngü devam edecektir.

Bir sonraki videoda size i'nin daha büyük üslerini almayı,

ve bunun sonucunda ne çıkacağını tahmin etmeyi öğreteceğim.

Fakat önce bu döngünün doğruluğunu kanıtlamalıyız.

i'nin 7'nci kuvveti eşittir i çarpı i'nin 6'ncı kuvvetine eşittir.

i'nin 6'ncı kuvveti eksi 1'dir. i çarpı eksi 1 eksi i'dir.

i'nin 8'inci kuvvetini alırsanız, cevap tekrardan 1 olacaktır.

i'nin 9. kuvveti yine i olacaktır ve döngü böyle devam edecektir.