Identita' trigonometriche

Introduction to trigonometric identities

Bentornato.

Faro' una serie di video sulle

identita' trigonometriche.

Allora, rivediamo quello che sappiamo gia' sulle

funzioni trigonometriche, quindi fammi scrivere SOH CAH TOA.

Questo ci dice, e in realta' questo l'abbiamo esteso con

la definizione di circonferenza unitaria, ma se guardi quei video,

realizzi che la definizione di circonferenza unitaria usa

direttamente SOH CAH TOA.

Quindi resteremo sul SOH CAH TOA perche' penso che

aiutera' a rendere un po' di quello che faremo un po' piu'

semplice e tipo convergera' in ogni caso sulla

definizione di circonferenza unitaria.

Quindi sappiamo che seno di theta e' uguale a opposto

su ipotenusa, giusto?

Allora, coseno di theta e' uguale ad adiacente su ipotenusa e

poi tangente di theta e' uguale a opposto

su adiacente.

Quindi disegnamolo su un triangolo triangolo.

Possiamo anche farlo sulla circonferenza unitaria e

avrebbe senso.

Vediamo se riusciamo a trovare una relazione tra seno,

coseno e tangente.

Questo e' il mio triangolo rettangolo.

Questo chiamiamolo theta.

Questa e' l'ipotenusa h.

Questo e' il lato opposto, giusto, l'opposto di theta.

Questo qui e' theta.

Questo e' il lato adiacente, giusto?

Bene, cosa sappiamo della relazione tra

il lato opposto, l'adiacente e l'ipotenusa?

Cosa ci dice il teorema di Pitagora?

Oh, si', questo lato al quadrato piu' questo lato al quadrato e' uguale

all'ipotenusa al quadrato, quindi potremmo scriverlo.

a^2 + o^2 e' uguale sll'ipotenusa

al quadrato, giusto?

E poi questa e' solo un'equazione, quindi se vogliamo,

possiamo dividere entrambi i lati di questa equazinoe per h^2

e percio' cosa otteniamo?

Otteniamo (a^2 / h^2) + (o^2 / h^2)

e' uguale a 1, giusto?

E poi potrei riscriverla come (a/h)^2 + (o/h)^2

e' uguale a 1.

Ora, ti sembra in qualche modo familiare?

Beh, qui abbiamo questi, giusto?

Questo e' a/h, questo e' o/h, quindi potremmo

sostituire.

Quindi questo e' il coseno di theta al quadrato.

E questo e' come scrivi coseno al quadrato.

Puoi mettere le parentesi attorno a tutta questa cosa e poi

elevarlo al quadrato, ma questa e' la notazione che usa la gente.

Piu' opposto su adiacente al quadrato, quindi e' seno di theta

al quadrato e' uguale a 1.

Quindi questa e' la nostra prima identita' trigonometrica.

Quindi se conosci il seno di theta e' molto facile calcolare

il seno di theta, giusto?

Potresti semplicemente risolvere questa equazione.

Se so che il --- non lo so.

Diciamo che so che il seno di theta e' 1/2, giusto?

Quindi quant'e' il coseno di theta?

Il coseno di theta e' quanto?

Beh, so che il seno di theta e' 1/2, giusto?

Quindi direi coseno al quadrato di theta piu' il seno di theta

e' 1/2, quindi (1/2)^2 = 1, giusto?

Quindi cos^2(Θ) + 1/4 = 1.

Percio' abbiamo cos^2(Θ) = 3/4, o cosento di

theta dovrebbe essere la radice quadrata di questo, giusto?

Prendiamo semplicemente la radice quadrata di entrambi i lati.

Sarebbe la radice quadrata di 3/2.

E probabilmente te lo ricordi da tutta la nostra presentazione

sui triangoli 30-60-90.

Quindi volevo solo mostrarti un uso di questa identita' trigonometrica

che di solito e' scritta sin^2 + cos^2

e' uguale a 1.

Quindi estendiamola un po'.

Giochiamo con le proporzioni e vediamo che altro possiamo ---

quali altre identita' possiamo scoprire.

Ooops!

Pulisci immagine, inverti colori.

Percio' sappiamo che sin^2(Θ) + cos^2(Θ)

e' uguale a 1.

La cosa che potremmo fare e' che potremmo dividere entrambi i lati di questa

equazione per il coseno al quadrato di theta e vediamo giusto

che succede quando lo facciamo.

Quindi se dico cos^2(Θ), giusto?

Devi distribuirlo su entrambi i termini.

Cos^2(Θ) e poi cos^2(Θ).

Beh, quant'e' sin^2(Θ) / cos^2(Θ) ?

E' la stessa cosa di (sin(Θ) / cos(Θ))^2

piu' questo e' 1 fratto coseno di theta al quadrato, giusto?

Voglio dire, 1 al quadrato e' 1, quindi l'ho riscritto.

Quindi seno fratto coseno di theta, penso che l'abbiamo gia' imparato.

Questo e' tangente di theta.

E nel caso tu non l'abbia in realta' gia' imparato,

pensaci in questo modo.

Seno e' opposto su ipotenusa, giusto?

Quindi questo e' opposto su ipotenusa.

E poi coseno e' adiacente su ipotenusa.

Quindi adiacente su ipotenusa.

Percio' questo e' uguale a opposto su ipotenusa per

ipotenusa fratto adiacente, giusto?

Dividere per una frazione e' semplicemente come moltiplicare

per il suo inverso.

Ho fatto solo questo.

E questo e' uguale a opposto su adiacente, giusto?

Quindi questo dice semplicemente sin(Θ) / cos(Θ)

e' uguale a tan(Θ).

Quindi sin^2(Θ) / cos^2(Θ) = tan^2(Θ),

poi piu' 1 e' 1/cos^2(Θ).

E ora ti presento una nuova identita' trigonometrica, e'

semplicemente 1/cos(Θ).

Percio' 1/cos(Θ) --- e faro' un riassunto

alla fine, in modo che non ti confonda troppo --- in realta' e'

la secante di theta.

Ed e' semplicemente un altro rapporto, giusto?

La secante di theta, invece di essere adiacente fratto

ipotenusa, sarebbe l'ipotenusa su

l'adiacente, giusto?

E semplicemente 1/cos(Θ).

Niente di strano.

Quindi secante di theta.

Percio' questo e' uguale alla secante al quadrato di theta.

Lo so che puo' essere un po' opprimente all'inizio, giusto

perche', lo sai, ti sto tirando addosso tutti questi termini nuovi, secante

e' 1/cos(Θ), ma una volta che cominci a giocarci

abbastanza e i termini ti diventano familiari avra'

senso e ti sara' un po' piu' naturale.

Quindi questo sarebbe --- potresti vederla come

un'altra identita' trigonometrica.

E in realta', nemmeno me lo ricordo se

te l'ho gia' insegnata.

Voglio dire, puoi vederla come identita' trigonometrica, anche

se e' quasi una definizione.

E poi, ovviamente, puoi --- in caso io non l'abbia gia'

fatto, adesso sai che si(Θ) / cos(Θ)

e' uguale a tan(Θ).

E sta proprio qui, potrei

dire, la prova.

Percio' fammiti presentare altre cose e se e'

troppo scoraggiante magari te lo puoi riguardare e

si spera che avra' senso.

Vediamo, pulisci immagine.

Quindi che abbiamo imparato finora?

Abbiamo imparato che sin^2(Θ) + cos^2(Θ)

e' uguale a 1.

Abbiamo imparato che sin(Θ) / cos(Θ)

e' uguale a tan(Θ).

Abbiamo imparato che tan^2(Θ) + 1

e' uguale alla secante di theta.

E qui, in realta' fammi scrivere scrivere questa definizione.

La secante di theta --- oops, e' uguale alla secante

al quadrato di theta, scusa.

E la secante di theta e' semplicemente 1 / cos(Θ).

E' qualcosa che dovresti semplicemente memorizzare, che

la secante e' 1 fratto il coseno.

E se ti stai chiedendo cos'e' 1 fratto il seno, 1 fratto il seno di

theta e' la cosecante --- l'abbreviazione e' csc --- di theta.

E se ti stai domandando cos'e' 1 fratto la tangente,

e' la cotangente.

E magari questi li vuoi memorizzare.

E questo mi confonde spesso, che 1 fratto il coseno e'

la secante, ma 1 fratto il seno e' la cosecante, quindi e' tipo

quasi l'opposto, giusto?

1 fratto il seno contiene un co, mentre 1 fratto coseno

non contiene il co.

Quindi questo ti potrebbe aiutare a ricordarti le cose.

Quindi credo che sia tutto il tempo che ho per adesso.

Nella prossima presentazione ti presento

un altro paio di identita' trigonometriche.

Ci vediamo presto.