Μετατροπή επαναλαμβανόμενων δεκαδικών σε κλάσματα 1

Παραδείγματα για τη μετατροπή βασικών επαναλαμβανόμενων δεκαδικών σε κλάσματα

Σε αυτό το βίντεο θέλω να μιλήσω για το πώς μετατρέπουμε επαναλαμβανόμενους δεκαδικούς σε κλάσματα.

Ας δούμε έναν επαναλαμβανόμενο δεκαδικό.

Ας πούμε ότι έχω τον επαναλαμβανόμενο δεκαδικό 0.7 και κάποιες φορές γράφεται έτσι.

Το οποίο απλά σημαίνει ότι το 7 επαναλαμβάνεται επ' αόριστον.

Έτσι αυτό είναι το ίδιο πράγμα με το 0.7777...

Και θα μπορούσα να συνεχίζω για πάντα με αυτά τα εφτάρια.

Το κόλπο για να μετατρέψουμε αυτά τα πράματα σε κλάσματα είναι ουσιαστικά να θέσουμε αυτό ίσο με μια μεταβλητή.

Και θα το κάνουμε βήμα βήμα.

Ας θέσουμε λοιπόν αυτό σε μία μεταβλητή, ας το πούμε x.

Έτσι το x ισούται με 0.7 και το 7 επαναλαμβάνεται επ' αόριστον.

Τώρα τι θα είναι 10 επί x;

Ας το σκεφτούμε, 10 επί x θα ήταν 10 φορές αυτό

άρα θα ήταν, μπορούμε να το σκεφτούμε εδώ πέρα,

θα ήταν, αν πολλαπλασιάζαμε αυτό με 10.

Θα μετακινούσαμε το δεκαδικό μία θέση στα δεξιά,

θα ήταν 7.777 και τα λοιπά.

Ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι 7.7 με το 7 να επαναλαμβάνεται.

Αυτό είναι το κόλπο εδώ.

Ας τα εξισώσω.

Έτσι ξέρουμε τι είναι το x, είναι 0.777... κλπ.

10 επί x είναι αυτό. Και είναι επαναλαμβανόμενο και αυτό.

Τώρα, ο τρόπος που μπορούμε να ξεφορτωθούμε τα επαναλαμβανόμενα δεκαδικά

είναι αν αφαιρέσουμε x από το 10x, σωστά;

Γιατί το x έχει όλα αυτά τα επαναλαμβανόμενα ,777...

Αν αφαιρέσουμε αυτό από το 7.777

θα μείνουμε απλά με 7.

Ας το κάνουμε.

Για να το ξαναγράψω εδώ...

10, 10x ισούται με 7.777...

Το οποίο ισούται με 7.777 κλπ κλπ

Όπως βρήκαμε προηγουμένως ότι το x ισούται

με 0.777..., το οποίο ισούται με 7.777 κλπ κλπ

Τώρα τι συμβαίνει αν αφαιρέσουμε x από 10x.

Θα αφαιρέσουμε το κίτρινο από το πράσινο.

Ε, 10 από κάτι μείον ένα από κάτι θα είναι απλά 9 από αυτό το κάτι.

Και τότε αυτό θα ισούται με :

Πόσο κάνει 7.777... μείον 0.777...;

Ε, θα είναι απλά 7.

Αυτά τα μέρη θα αλληλοεξουδετερωθούν, οπότε μένουμε μόνο με το 7, ή θα μπορούσαμε να πούμε

ότι αυτά τα δύο μέρη αλληλοακυρώνονται και μένουμε με 7.

Έτσι έχουμε 9x ίσο με 7.

Για να βρούμε το χ απλά διαιρούμε και τις δύο πλευρές με 9.

Θα μπορούσα να κάνω και τις τρεις πλευρές

αν και όλες λένε το ίδιο πράγμα

και καταλήγουμε ότι το x ισούται με 7/9.

Ας κάνουμε άλλο ένα.

Θα το αφήσω αυτό εδώ ώστε να επανέρχεστε σε αυτό.

Ας πούμε ότι έχω τον αριθμό 1.2 επαναλαμβανόμενο.

Αυτό είναι το ίδιο με 1.222 κλπ κλπ

Σε όποιον αριθμό είναι η παύλα από πάνω, αυτός είναι που επαναλαμβάνεται για πάντα.

Ακριβώς όπως κάναμε και εδώ, ας πούμε ότι αυτό είναι ίσο με x.

Και ας πούμε ότι 10 x --- ας πολλαπλασιάσουμε αυτό με το 10.

Έτσι, 10x ισούται με 12.2 επαναλαμβανόμενο.

Που είναι το ίδιο πράγμα με 12.222... κλπ

Μετά μπορούμε να αφαιρέσουμε x από το 10x.

Και δε χρειάζεται να το ξαναγράψετε αλλά εγώ το ξαναγράφω, για να μην μπερδευτείτε.

Έτσι έχουμε ότι το x ισούται με 1.2 επαναλμβανόμενο.

Και αν αφαιρέσουμε x από 10x τι έχουμε.

Στα αριστερά έχουμε x μείον,

10x μείον x ισούται με 9x και

αυτό θα ισούται με: ε, τα επαναλαμβανόμενα μέρη αλληλοακυρώνονται.

Αυτό ακυρώνει αυτό.

Αν 2 επαναλαμβανόμενο μείον 2 επαναλαμβανόμενο, αυτά είναι κάμποσα μηδενικά.

12 μείον 1 είναι 11.

Άρα έχουμε 9x ίσο με 11.

Διαιρούμε και τις δύο πλευρές με 11

και μένουμε με x = 11/9