Mega Millions Jackpot

Prawdopodobieństwo wygrania w Mega Millions jackpot

Zostałem poproszony o obliczenia prawdopodobieństwa wygrania

w The Mega Millions Jackpot.

Pomyślałem, że właśnie o tym zrobię ten filmik.

Po pierwsze musimy upewnić się, że wiemy na czym dokładnie polega wygranie w tej loterii.

Mamy dwa pojemnik z kulami.

W jednym z nich jest 56 kul.

A w drugim jest 45 kul.

A w drugim jest 46 kul.

Z tego pojemnika zostanie wylosowane 5 kul i musicie

podać ich numery. Możemy je wylosować w dowolnej kolejności. Pozwólcie, że to narysuję.

To jest jedna kula, zacieniowana, żeby przypominała kulę,

dwie kule, trzy kule, cztery kule,

i w końcu pięć kul.

I musicie podać ich numer, w dowolnej kolejności.

To są kule z pojemnika z 56 kulami.

Potem musicie podać poprawny numer Megakuli,

którą losujemy z drugiego pojemnika.

Z tego pojemnika zostanie wylosowana jedna kula. Oczywiście będzie to jedna z 46.

Zatem z pojemnika 46 kul.

Zatem prawdopodobieństwo wygrania będzie równe 1 przez

liczbę wszystkich możliwości, spośród których możemy wybierać.

To będzie równe wszystkie kombinacje białych kul razy 46 możliwość dla Megakuli.

Pomyślmy zatem o kombinacja dla białych kul.

Jest kilka metod, aby to zrobić

Jeżeli myślicie w sposób kombinatoryczny,

to powiecie

ze zbioru 56 rzeczy, wybieram

wybieram 5 z nich.

Dosłownie mógłbym to zrobić tak:

z 56 wybieram 5.

Albo, jeżeli chcecie myśleć bardziej pojęciowo:

pierwszą kulę wybieram na 56 sposobów

Ponieważ nie zwracamy kuli,

to drugą losujemy na

55 sposobów.

Następną kulę losujemy na 54 sposoby.

Następna na 53 sposoby.

Kolejną na 52 sposoby.

52, ponieważ wybraliśmy już 4 kule.

Ta liczba,

jeżeli wymnożymy wszystkie te liczby jest liczbą permutacji,

jeżeli ważna byłaby dla mnie kolejność.

Jeżeli chciałbym dostać tę ustaloną kombinację, wraz kolejnością losowania kul.

Ale aby wygrać nie trzeba podać numerów kul w dokładnej kolejności.

Wystarczy podać numery kul w dowolnej kolejności.

Więc teraz musimy to podzielić przez liczbę sposobów na jakie mogę ustawić 5 rzeczy

w pewnej kolejności.

Ale jeżeli ustawiamy pięć rzeczy

pierwszą możemy ustawić na 5 pozycjach,

drugą na 4 miejscach, które zostały,

następną na 3 miejscach

jeszcze następna na 2 miejscach

i miejsce ostatniej jest już ustalone, ponieważ pozostałe cztery są już zajęte.

Więc mamy tylko jedno miejsce.

Jeżeli obliczymy tę część

To powie nam na ile sposobów możemy wylosować 5 białych kul spośród 56.

Policzmy to:

Więc tylko białe kule. Mamy 55

przepraszam 56 razy 55 razy 53 razy 52

i podzielimy to przez

5 razy 4 razy 3 razy 2 razy 1.

nie musimy dzielić przez 1, ale zrobię to aby pokazać wam co dokładnie robimy.

I to daje nam około 3,8 miliona.

Przesunę to poza ekran, i przepiszę wynik.

Więc to jest równe 3 miliony 819 tysięcy

816.

To jest liczba wszystkich możliwości.

Więc wasze szanse na poprawne wybranie białych kul

są równe jeden do tego,

zakładając, że kupiliście tylko jeden los.

Potem mamy jeszcze 46 możliwości wybrania pomarańczowej kuli,

więc musimy to pomnożyć przez 46.

Wtedy dostaniemy,

jeżeli pomnożymy to przez 46,

Ponownie potrzebuję kalkulatora.

Musimy pomnożyć naszą poprzednia odpowiedź

przez 46.

Ans oznacza mój poprzedni wynik.

Razy 46, dostajemy odrobinę mniej niż 176 milionów.

Trochę mniej niż 176 milionów.

Pozwólcie, że napiszę tę liczbę.

Więc to daje nam 175711536.

Więc wasze szanse na wygraną, z jednym losem,

ponieważ to jest liczba możliwości, z których wybieracie,

i za 1 dolara, macie prawo do wyboru jednej z tych możliwości.

Wasze szanse na wygraną są równe 1 podzielone przez to.

Aby osadzić to w pewnym kontekście,

sprawdziłem w internecie jakie są właściwie szanse, że zostaniecie porażeni piorunem

w całym waszym życiu.

I szanse, że tak się stanie są równe 1 do 10000.

Szansa 1 do 10000, że zostaniecie w ciągu swojego życia porażeni piorunem.

I z grubsza możemy powiedzieć, że szansa, że porazi was piorun dwa razy w ciągu życia

albo, inaczej mówiąc, że wy i wasz najlepszy przyjaciel

oboje niezależnie zostaniecie porażeni piorunem, gdy nie będziecie w pobliżu siebie

będzie równa 1 przez 10000 razy 1 przez 10000

To daje nam 1 do, mamy teraz osiem zer

1,2,...,8

To daje nam 1 do 100 milionów.

Więc to jest z grubsza, prawie dwa razy.

Szansa, że zostaniecie porażeni piorunem dwa razy w sowim życiu dwa razy

większa niż wygranie w MegaJackpot.