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Integral of product of cosines

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    지난 몇 번의 영상 동안
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    푸리에 계수를
  • 0:06 - 0:10
    다룰 준비를 하고자
  • 0:10 - 0:13
    여러 삼각함수의 정적분을
  • 0:13 - 0:15
    공부했습니다
  • 0:15 - 0:17
    이 영상이 그 마지막입니다
  • 0:17 - 0:20
    지난 영상에서
  • 0:20 - 0:24
    m≠n이고 m≠-n인
    정수 m, n에 대해
  • 0:24 - 0:26
    sin(mt)sin(nt)를
  • 0:26 - 0:27
    0에서 2π까지 정적분하면
  • 0:27 - 0:29
    0이 됩니다
  • 0:29 - 0:30
    m=n이라면
  • 0:30 - 0:33
    sin²(mt)가 되고
  • 0:33 - 0:36
    sin²(mt)가 되고
  • 0:36 - 0:38
    이를 0에서 2π까지 정적분하면
  • 0:38 - 0:40
    π가 됩니다
  • 0:40 - 0:43
    저번 영상에서 명확하지 않았는데
  • 0:43 - 0:45
    엄밀히 말하자면 이것은
  • 0:45 - 0:48
    m이 0이 아닌 정수일 때 참입니다
  • 0:48 - 0:51
    m=0이라면
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    정적분 안이 0이 되어
  • 0:53 - 0:54
    정적분 값도 0이 되기 때문입니다
  • 0:54 - 0:56
    그래서 이것이 참이려면
  • 0:56 - 0:58
    m은 0이 아닌 정수여야
    하는 것입니다
  • 0:59 - 1:02
    m은 0이 아닌 정수여야
    하는 것입니다
  • 1:02 - 1:03
    이 영상에서는
  • 1:03 - 1:06
    저번 영상과 비슷한 것을
  • 1:06 - 1:10
    코사인함수에 적용해
  • 1:10 - 1:13
    m≠n이고 m≠-n인
    정수 m, n에 대해
  • 1:13 - 1:15
    cos(mt)cos(nt)를
    0에서 2π까지 정적분하면 0
  • 1:15 - 1:18
    정수 m, n에 대해 m=n≠0이면
  • 1:18 - 1:21
    해당 식이 cos²(mt)가 되어
  • 1:21 - 1:25
    0에서 2π까지 정적분하면 π
  • 1:25 - 1:28
    임을 보이겠습니다
  • 1:28 - 1:29
    사인함수에 적용한 것과
  • 1:29 - 1:32
    동일하게
  • 1:32 - 1:33
    몇 가지 삼각함수 항등식을
  • 1:33 - 1:36
    사용할 것입니다
  • 1:36 - 1:39
    이 식을 여기에 다시 써봅니다
  • 1:39 - 1:42
    이 식을 0에서 2π까지
  • 1:42 - 1:46
    정적분하는 것이므로
  • 1:48 - 1:50
    cos(mt)cos(nt)를
  • 1:51 - 1:54
    삼각함수의 덧셈정리를 이용해
    변형하고자 합니다
  • 1:54 - 1:55
    이 정리가 낯설다면
  • 1:55 - 1:57
    칸아카데미의 다른 영상을 참고하세요
  • 1:57 - 2:00
    cos(mt)cos(nt)는
  • 2:00 - 2:04
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:06 - 2:08
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:08 - 2:09
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:12 - 2:13
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:15 - 2:19
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:19 - 2:20
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:22 - 2:23
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:24 - 2:25
    1/2(cos((m-n)t)+cos((m+n)t))
  • 2:25 - 2:27
    와 같습니다
  • 2:27 - 2:29
    두 가지 경우로 나눠 생각합시다
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    첫 번째 경우에
  • 2:31 - 2:34
    dt를 파란색으로
  • 2:34 - 2:35
    다시 쓰겠습니다
  • 2:36 - 2:40
    적분 기호의 성질을
  • 2:40 - 2:42
    활용하면
  • 2:42 - 2:44
    이 정적분을
  • 2:44 - 2:46
    두 개의 다른 정적분으로
  • 2:46 - 2:49
    다시 쓸 수 있습니다
  • 2:49 - 2:51
    보시는 바와 같이
  • 2:51 - 2:55
    0에서 2π까지의 두 정적분으로
  • 2:55 - 2:58
    해당 식을 분리할 것입니다
  • 2:58 - 3:01
    준식은 적분 기호의 성질에 의해
  • 3:01 - 3:03
    cos((m-n)t)의
  • 3:03 - 3:04
    0에서 2π까지의 정적분에
  • 3:06 - 3:07
    1/2를 하고
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    1/2를 밖으로 꺼낼 수 있으니까요
  • 3:12 - 3:14
    1/2를 밖으로 꺼낼 수 있으니까요
  • 3:14 - 3:16
    cos((m+n)t)의
  • 3:16 - 3:17
    0에서 2π까지의 정적분에
  • 3:18 - 3:19
    1/2를 한 것과 같습니다
  • 3:21 - 3:22
    1/2를 한 것과 같습니다
  • 3:22 - 3:24
    생각해 봅시다
  • 3:24 - 3:28
    정수 m, n에 대해
  • 3:28 - 3:30
    m≠n이고 m≠-n이면
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    m≠n이고 m≠-n이면
  • 3:33 - 3:38
    m≠n이고 m≠-n이면
  • 3:38 - 3:41
    m≠n이고 m≠-n이면
  • 3:41 - 3:44
    m≠n이고 m≠-n이면
  • 3:44 - 3:49
    여기도 0이 아닌 정수
  • 3:49 - 3:52
    여기도 0이 아닌 정수입니다
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    아까 알게 된 사실 중
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    0이 아닌 정수 m에 대해
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    0에서 2π까지
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    cos(mt)를 적분하면
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    0이 된다는 내용이 있었습니다
  • 4:05 - 4:09
    여기의 정적분도 마찬가지입니다
  • 4:09 - 4:12
    둘 다 0에서 2π까지
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    0이 아닌 정수 k에 대해
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    cos(kt)를 적분한 꼴입니다
  • 4:17 - 4:20
    그래서 정수 m, n에 대해
  • 4:20 - 4:21
    m≠n이고 m≠-n이면
  • 4:21 - 4:22
    m≠n이고 m≠-n이면
  • 4:22 - 4:24
    두 정적분 값은 모두 0입니다
  • 4:24 - 4:26
    각각 1/2를 해서 더해도
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    각각 1/2를 해서 더해도
  • 4:28 - 4:30
    결국 0입니다
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    첫 번째 경우에 대한
  • 4:33 - 4:38
    답을 찾았습니다
  • 4:38 - 4:40
    두 번째 경우를 봅시다
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    m이 0이 아닌 정수이고
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    m=n인 경우입니다
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    즉 m=n≠0입니다
  • 4:50 - 4:52
    푸리에 계수는
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    음이 아닌 수이니
  • 4:53 - 4:56
    m=n이라고 가정합시다
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    m=n이라고 가정합시다
  • 4:59 - 5:03
    m=n이라고 가정합시다
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    물론 m≠0입니다
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    그러면 이 정적분이
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    밑의 것과 같게 됩니다
  • 5:13 - 5:17
    밑의 것과 같게 됩니다
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    여기 왼쪽 적분 식에서
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    m=n≠0이면
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    m-n=0이므로
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    전체 식이
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    cos0=1이 됩니다
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    또 m+n=2m입니다
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    준식을 다시 쓰면
  • 5:39 - 5:41
    0에서 2π까지
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    1의 정적분을
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    1/2하고
  • 5:52 - 5:53
    1/2하고
  • 5:56 - 5:58
    그 값에
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    0에서 2π까지
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    cos(2mt)의 정적분을
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    1/2한 값을
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    더한 것과 같습니다
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    더한 것과 같습니다
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    더한 것과 같습니다
  • 6:19 - 6:20
    더한 것과 같습니다
  • 6:22 - 6:23
    더한 것과 같습니다
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    m≠0이므로
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    오른쪽 적분 식은
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    0이 아닌 정수 k에 대해
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    cos(kt)를 0에서 2π까지
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    적분한 꼴이므로
  • 6:38 - 6:41
    아까 몇 번 말했던 것처럼
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    정적분 값은 0이 됩니다
  • 6:43 - 6:46
    1의 원시함수가 t이므로
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    왼쪽 정적분 값은
  • 6:50 - 6:53
    1/2(2π-0)=π
  • 6:53 - 6:55
    1/2(2π-0)=π
  • 6:55 - 6:59
    1/2(2π-0)=π
  • 6:59 - 7:01
    1/2(2π-0)=π
  • 7:01 - 7:04
    이제 두 번째 경우도 해결했습니다
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    이제 푸리에 계수를
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    다루기 위한 준비를
  • 7:08 - 7:10
    모두 마쳤습니다
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    다음 영상부터 푸리에 계수를 다루는데
  • 7:12 - 7:14
    매우 흥미로울 것입니다
Title:
Integral of product of cosines
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
07:15

Korean subtitles

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