Integral of product of cosines

Bəzi triqonometrik funksiyaların

müxtəlif kombinasiyalarının

müəyyən inteqralını qurmaq
üçün bir neçə video hazırlayacağıq.

Əmsalları müəyyənləşdirmək üçün

bizim güclü riyazi bazamız var.

Düşünürəm ki, bundan sonra
daha bir videomuz var.

Sonuncu videoda dedik ki,

əgər m və n bir-birinə və ya biri
digərinin mənfisinə

bərabər olmayan tam ədədlərdirsə,

sinusun istənilən ifadəsində

inteqral 0-a bərabər olacaq.

Əgər bunlar bir-birinə bərabər olsa,

inteqral 0-dan 2 piyə

t-nin hər hansısa ədədlə hasilinin

sinusu

piyə bərabər olacaq.

Aydınlaşdıraq.

Bunu əvvəlki videoda etməli idim.

m 0-dan fərqli olduqda bu, doğrudur.

m 0-a bərabər olsa,

inteqralın daxili də 0 olacaq.

Onda inteqral da 0 olacaq.

Onda bunun doğru olması üçün

m 0-dan

fərqli olmalıdır.

Bu videoda da əvvəlki

videoda etdiyimizin eynisini edəcəyik.

Ancaq burada kosinus üçün edəcəyik.
İki kosinusun hasili.

m və n 0-dan fərqli tam ədədlərdir, yaxud

biri digərinin mənfisinə bərabər deyil.

Bu, 0 olacaq, amma onlar eyni tam ədəddir,

0 deyillər.
Belə ki,

kosinus kvadratı mt bərabərdir--

müəyyən inteqral pi-yə bərabər olacaq.

Bəzi

triqonometrik funksiyalardan və

eyniliklərdən

istifadə edəcəyik.

Gəlin bunu yenidən yazaq.

İnteqral

0-dan 2 piyə

kosinus mt vur kosinus nt.

Triqonometrik eyniliyi toplamaq üçün
hasil qaydasından istifadə edək.

Bu sizə tanış deyilsə,

buna Khan Academy-də yenidən
baxa bilərsiniz.

2-də 1 vur

kosinus mt çıx nt,

bunu

m çıx n vur t kimi yaza bilərik,

üstəgəl kosinus

mt üstəgəl nt, bunu da

n üstəgəl m vur t kimi yaza

bilərik.

Vur

dt.

Burada iki hal var.

Gəlin birincisinə baxaq.

Gəlin bu dt-ni mavi ilə

yazaq.

Bu ifadəni açmaq üçün

bir neçə inteqral xassələrindən istifadə edək.

Bunu

iki fərqli inteqral kimi yazacağam.

Birincisi inteqral 0-dan 2 piyə,

buraya dt yazaq və

digəri interqal 0-dan 2 piyə.

Buraya da dt yazaq.

Sadəcə inteqralın bəzi xassələrindən
istifadə edəcəyik.

2-də 1 vur

inteqral kosinus

m çıx n vur t dt

üstəgəl, 2-də 1-i mötərizəyə vurub açırıq.

İnteqralın bəzi xassələrini tətbiq edək.

Burada inteqral kosinus

m üstəgəl

n vur t

dt olacaq.

Baxaq.

m və n tam ədəddirsə,
bir-birinə, yaxud

biri digərinin mənfisinə bərabər deyilsə,--

tutaq ki, m
n-ə bərabər deyil,

yaxud m mənfi n-ə bərabər deyil.
Fərz edək ki,

bunlar həmişə tam ədəd olacaq.

Bu halda m və n

0-a bərabər

olmayacaq.

Əgər

əmsal 0 deyilsə,

artıq tapdıq ki, müəyyən inteqral
0-a bərabər olacaq.

0-dan 2 piyə müəyyən inteqral

0-dan fərqli nəyinsə kosinusu vur t dt.

İnteqralın hər ikisi belədir.

0-dan 2 piyə inteqral kosinus

vur 0-dan fərqli tam ədəd vur

t vur dt.

m və n

bir-birinə, yaxud biri digərinin
mənfisinə

bərabər olmayan tam ədəddirsə,

inteqralların hər ikisi 0-a bərabər olacaq.

Bunu 2-də 1-ə vururuq.

2-də 1 vur 0, 0 edir,
2-də 1 vur 0 bərabərdir 0.

Bütöv ifadə 0-a bərabərdir.

Birinci

hissəni bitirdik.

İndi ikinciyə baxaq.

m-in 0-dan fərqli tam ədəd olduğu halda,

m n-ə bərabərdirsə,
onda n və m

0-dan fərqli eyni ədəddir.

Baxaq.

Əmsallara

baxanda

daha çox mənfi olmayan
əmsala nəzər yetiririk.

Fərz edək ki, m n-ə bərabərdir və

m 0-a bərabər deyil.

Bunu inteqralda

götürürük.

Nə baş verəcək?

Birinci inteqralda

m n-ə bərabərdir və 0 deyil.

Bu, m çıx n olacaq.

Bu, 0 olacaq.

Bütöv bu ifadə də 1-ə bərabər olacaq.

m üstəgəl n, bu da 2 m-ə bərabərdir.

İnteqralı yenidən yazaq.

2-də 1 vur

müəyyən inteqral 0-dan

2 piyə 1 vur,

dt.

Üstəgəl 2-də 1,

başqa rəng seçək, vur inteqral

0-dan 2 piyə

kosinus

2 mt

dt.

2 mt

dt.

dt.

Yenidən fərz edək ki, m 0-a bərabər deyil.

Müəyyən inteqral

0-dan 2 piyə kosinus vur

0-dan fərqli hər hansısa əmsal vur t.

Bu,

0-a bərabər olacaq.
İkinci hədd

0 olacaq və

birincisi-- öz rənginə qayıdaq--

2-də 1 vur 1-in ibtidai funksiyası.

0-dan 2 piyə t-ni hesablayaq.

Bu da 2-də 1 vur

2 pi çıx 0,

2-də 1 vur 2 pi

bərabərdir piyə.

Beləliklə,

bunu da tapdıq.

İndi

əmsalları hesablamaq üçün tam ifadəmiz var.

Bunu da növbəti videoda edəcəyik.

Çox maraqlı olacaq.