Example: Amplitude and period transformations

Máme nakreslit graf funkce
y se rovná 2sin(-x) na intervalu,

uzavřeném intervalu s
krajními body -2π a 2π.

Nejprve si nakreslím
graf y se rovná sin(x)

a pak promyslím, jak se změní
kvůli té dvojce a kvůli minusu u x.

Začněme funkcí sin(x).

Nakreslím osu x a osu y.

Hezky rovně, jde nám hlavně
o úsek mezi -2π a 2π.

Takže řekněme, že tohle je -2π.

A potom tady bude -π.

Toto je samozřejmě 0.

Tady máme π a nakonec tady bude 2π.

Tohle by potom mohlo být 1,

tady 2, tady -1 a tady -2.

Teď si to celé ještě okopíruji
pro pozdější využití,

kdy použiju tento graf.

Tenhle graf si tedy zkopíruji.

Fajn, pojďme se teda podívat na sin(x).

Jak vypadá sinus v nule?

Pokud sinus je nula, teda pardon,

když x je nula, sin(0) se rovná 0.

Dobře, nakreslím tu malou
jednotkovou kružnici pro představu.

To je to, co rád dělám v hlavě,

když se snažím přijít na hodnotu
trigonometrické funkce.

Takže tohle je x, tohle je y.

Nakreslím jednotkovou kružnici

a pamatujte, že x tady určuje úhel.

To je jednotková kružnice s poloměrem 1.

Pak tento úhel je 0.

Sinus se rovná hodnotě y tady,
takže sinus (0) se rovná 0.

Jak se ale sinus zvětšuje,

posouváme se nahoru až
do sin(π/2), což se rovná 1.

Takže sin(π/2) se rovná 1.

Potom sin(π) je zase roven 0.

Sin (3π/2) se rovná -1.

A nakonec sin(2π) je zase 0.

Kdybych chtěl zkonstruovat graf,

podíval bych se, že jsme mezi 0
a 2pí a zde to vypadá nějak takhle.

Ale také chceme opačnou stranu

a když jdeme na druhou
stranu, v záporných číslech,

sin(-π/2) je -1.

Pak pokračujeme dál do -π a do 0.

-3π lomeno 2… Jdeme takhle dokola,

to nás dostane zpět tam,
kde se sinus rovná 1.

Tedy sinus je roven 1.

A potom jdeme o 2π zpět,
sinus se opět rovná 0.

Takže ta křivka bude vypadat nějak takto.

…na záporné straně, od -2π do 0.

A to odpovídá všemu
ostatnímu, co víme o sinu.

Perioda sin(x)…

Co tady vidíme.

Tady máme koeficient 1,

takže perioda bude 2π děleno
absolutní hodnotou z 1,

což je, očividně, rovno 2π.

Anebo je vidět přímo na
obrázku, že perioda je 2π.

Musíme ujít délku 2π, aby se tam
vešel ten malý opakující se vzor.

A jaká je amplituda?

No, běhá to mezi -1 a 1.

Rozdíl mezi minimem a maximem je 2.

Z toho polovina je 1.

A jiný způsob, jak to chápat, je,

že od prostředka to kolísá o 1.

Takže to bylo celkem jasné.

Teď to trochu pozměňme.

Teď uděláme graf y se rovná 2sin(x).

Nakreslím sem malé osy.

Dám to přímo pod to.

Takže co se stane, když
máme y rovno 2sin(x),

jak se ten graf změní?

My jsme tu funkci jen vynásobili 2,

takže ať tu je jakákoli hodnota,
tak teď bude o 2 větší.

Takže 2 krát 0 je 0.

2 krát 1 je teď 2.

2 krát 1 je 2.

2 krát 0 je…

Musím být opatrný.

2 krát 1 je 2.

Tohle je pí/2.

2 krát 0 je 0.

2 krát -1 je -2.

2 krát 0 je 0.

Takže to vypadá nějak takhle.

Mezi 0 a 2π to vypadá nějak takhle.

A jdeme dál do záporného směru.

2 krát -1 je -2.

2 krát 0 je 0.

2 krát 1 je 2.

2 krát 0 je 0.

Takže v záporné části
to vypadá nějak takhle.

Můj nejlepší pokus o hezkou křivku.

Snad to z toho chápete.

Takže to bude vypadat nějak takto.

Takže co se zrovna stalo?

Rozdíl mezi minimem a maximem vyrostl o 2,

celkem je ten rozdíl 4,
polovina z toho je 2.

Takže jaká je tady amplituda?

Amplituda je 2.

Je to vlastně absolutní hodnota z 2.

Dává smysl, že amplituda byla nejdřív 1,

ale teď z té střední pozice
běháme dvakrát dál,

protože se to násobí 2.

A teď se vraťme k sin(x)
a změňme to jinak.

Udělejme graf sin(-x).

Znovu sem vložím základ pro graf.

A mým cílem teď je udělat
graf funkce y se rovná sin(-x),

takže jsme se aspoň
na chvíli zbavili té 2.

A půjdu ze sin(x) rovnou na sin(-x).

Teď promysleme, jaké budou ty hodnoty.

Když x je 0, tak to bude sin(0), což je 0.

Ale když x stoupá, co
se stane, když x je π/2?

Ten úhel, který dáváme do sinu,

budeme násobit -1,

takže když x je pí/2,

tak pak bereme sin(-π/2).

A co je sin(-π/2), můžeme
vidět tady, je to -1.

Je to -1.

A když x je pí, tak sin(-π) je 0.

Když x je 3π/2, tak to
bude sin(-3π/2), což je 1.

A znovu, když x je 2π,
bude to sin(-2π), což je 0.

Takže všimněte si, co se stalo,
když jsem dělal graf mezi 0 a 2π.

Stále jsem odkazoval na
body v záporném směru,

takže si dokážete představit, jak
bereme tuhle část mezi 0 a -2π

a pak ji přetáčíme, abychom dostali tohle.

Vypadá to, že -x dělá tohle.

A když půjdeme do záporné části,
tak podle stejné logiky řekneme,

že když x je -π/2, tak to bude
sin(π/2), takže to bude rovno 1.

A můžeme to přehodit přes osu y,

takže nakonec jsme to převrátili…

Udělali jsme zrcadlový obraz
funkce sin(x) podle osy y.

Takže jsme to převrátili přes osu y.

Tohle je osa y, takže snad dobře
vidíte ten zrcadlový obraz,

tohle udělalo -x.

A teď se zamysleme nad tou kombinací.

Když je vepředu 2 a tady je -x…

Dám tam znovu ten základ pro grafy.

A teď zkusíme udělat to, co po nás chtějí.

Udělám to v nové barvě.

Udělám to modře.

A teď uděláme graf y se rovná 2sin(-x).

Na základě toho, co jsme už udělali,

jak bude tohle vypadat?

Jaké úpravy budeme dělat,

když jdeme z původního sin(x) do 2sin(-x)?

Jsou dva způsoby, jak to chápat.

Můžeme vzít 2sin(x),

tady to teda násobíme 2 a
máme dvakrát větší amplitudu.

A můžeme říct, že to
přehodíme, abychom dostali -x.

A když to uděláme, tak…

Ujasním, co tu přehazuji.

Když vezmu to mezi 0 a -2π a přehodím to,

tak co bylo tady, se zrcadlově
zobrazí podle osy y, a pak máme…

Nejdřív jdeme do záporu a pak zpět
do 0 a pak do kladného a pak sem.

Takže abych se dostal
z 2sin(x) do 2sin(-x),

tak jsem to jen přehodil přes osu y.

A pak pro to, co je mezi 0 a -2π,

se musíte podívat mezi 0 a 2π.

Takže to půjde nahoru, nahoru a dolů…

Udělám to lépe, nakreslím to pečlivěji.

A pak dolů a nahoru,

takže to je obraz toho,
co bylo mezi 0 a 2π.

A tady to je vidět.

Nebo když začnete se
sin(-x) a jdete na 2sin(-x)…

tak si všimněte, co se tam stalo.

Jaký je rozdíl mezi tímto a tímto grafem?

No máme jen dvakrát větší amplitudu,

tohle násobíme 2, takže
amplituda je dvakrát větší.

Takže poslední otázka, co pro vás mám:

Jak se perioda funkce 2sin(-x)
vztahuje k periodě sin(x)?

Můžeme nad tím přemýšlet
dvěma způsoby, mohli bychom…

No, nejdřív vás vlastně
nechám se nad tím zamyslet.

Jsou tedy dva způsoby, jak to chápat.

Můžete odkázat na tyto grafy

nebo můžete vytáhnout ten vzorec,
který je teď pro vás snad intuitivní.

Když to budete chtít dělat
podle klasického vzorce,

tak perioda je 2π a dělíme to
absolutní hodnotou koeficientu,

abychom zjistili, kolikrát
rychleji se dostaneme do 2π.

Takže absolutní hodnota
z -1 je 1, takže máme 2π.

Takže máme stejnou
periodu, jako byla u sin(x).

A vidíte, že každých 2π
dokončíte ten cyklus.

A jaký je tedy rozdíl?

No perioda je stejná.

Ale pamatujte, že ten zápor
u ,x' tam není úplně ignorovaný.

Nemění to periodu, ale
mění to vzhled grafu.

Když zvyšujete x, tak místo toho,

aby byl sinus kladný jako
u tradiční sinusové funkce,

tady jak x roste, tak bereme sin(-x).

Bereme sinus záporného úhlu.

A proto začínáme se zápornými hodnotami
sinu a to je taky druhý způsob přemýšlení.

Je to jen zrcadlový obraz
sin(x) podle osy y.

Tyhle jsou zrcadlový obraz a tyhle taky.

Tohle má dvakrát amplitudu tohoto

a tohle má dvakrát amplitudu tohoto.