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Sum of Interior Angles of a Polygon

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    我們已經知道了三角形的內角和
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    加起來是180度
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    如果這個角的大小是A
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    這個角的大小是B
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    這個角的大小是C 那麽A+B+C=180度
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    而對於多於三邊的多邊形情況又是怎樣的呢
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    讓我們試著探究一下有四條邊的多邊形
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    也就是四邊形
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    我將畫一個不太規則的四邊形 以表明不論我們如何畫
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    結論很可能適用於所有四邊形
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    並不只限於直角和對邊平行的情況
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    和其他特殊情形
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    事實上 那看起來有點太近似於對邊平行了
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    所以讓我這樣畫一個
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    研究四邊形的方法是
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    我們已經知道
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    三角形的內角和是180度
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    或許我們可以把它分成兩個三角形
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    從這一點開始 如果我們像這樣畫一條線
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    我們就把它分成了兩個三角形
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    如果這個角是A 這個角是B
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    那個角是C
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    那麽我們知道A+B+C=180度
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    如果這個角是X 這個角是Y 那個角是Z
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    X Y Z是這些角的大小
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    我們可以知道X+Y+Z=180度
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    因此 如我我們想知道所有內角的和
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    所有的內角也就是
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    B+Z 就是多邊形的兩個內角
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    加上這個角 A+X
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    A+X是這個四邊形的一整個角
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    再加上這一整個角 C+Y
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    你們已經知道A+B+C是180度
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    我們也知道Z+X+Y=180度
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    所以180度再加180度就是360度
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    我想你們已經明白了這裡的總體思想
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    我們只需看一下
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    能把多邊形分成多少個三角形
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    然後乘以180度
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    因爲每個三角形的內角和是180度
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    讓我們再來看一個特例
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    然後我們就來研究一般情況
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    我們只需看一下能把多少個三角形
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    放進這裡面
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    讓我來畫一個不規則的五邊形
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    一 二 三 四 五
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    看起來有點像路邊的小房子
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    同樣地 我們可以在五邊形內部畫我們的三角形
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    這是一個三角形
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    這是另一個三角形
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    因此 我可以畫出3個不疊置的三角形
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    正好覆蓋這個五邊形
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    這是一個三角形 這是另一個 這是最後一個
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    我們知道它們每個的內角和都是180度
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    如果我們把它們的角度相加
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    這些角度之和就等於
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    多邊形作爲一個整體的內角和
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    進一步來看 這個內角很明顯
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    就是多邊形的一個內角
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    這個也是
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    當你把這個角和這個角相加
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    結果就是多邊形的這一整個內角
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    我們把那個和那個相加 就又得到了另一個內角
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    然後那個角 加那個角
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    再加那個角 你就得到了整個內角
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    因此如果你把所有
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    三角形的內角相加 你就得到了
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    這個多邊形的內角和
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    在這種情形下你有一 二 三 三個三角形
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    3乘以180度等於多少
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    300+240=540度
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    現在讓我們推廣到一般情況
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    首先
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    爲了得到前兩個三角形
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    我們最多用四條邊
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    對於四邊形 四條邊都要用到
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    對於五邊形 要用五條邊中的四條
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    一 二 接著三 四
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    因此四條邊可以給你兩個三角形
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    之後似乎每增加一邊
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    你就能再得到一個三角形
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    讓我們拿六邊形來試驗一下
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    我來看我能從中得到多少個三角形
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    一 二 三 四 五 六 六條邊
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    我由這兩條邊得到了一個三角形
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    這個六邊形的兩條邊
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    從這兩條邊我能得到另一個三角形
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    看起來在剩下的邊中
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    每一條邊都能讓我再得到一個三角形
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    因而這條邊可以得到一個三角形
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    那條邊又能得到一個
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    因此 概括地說 如果有S條邊
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    S邊形
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    我們已經研究過四邊形 五邊形
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    和六邊形
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    因此我們可以假設S大於4
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    也就是說 我有一個S邊形
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    我想知道有多少個不疊置的三角形
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    可以完全覆蓋這個多邊形
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    我可以把多少個三角形放進去
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    然後我只需用三角形的個數
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    乘以180度
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    來計算這個多邊形的內角和
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    讓我們把三角形的個數
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    看做邊的條數的函數來計算
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    同樣地 我們要用四條邊
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    來得到兩個三角形
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    這裡有兩條邊
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    這裡也有兩條
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    我可以畫出一個三角形
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    我現在不去管
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    這個多邊形其他的邊
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    你可以想象把一大張畫紙放在這兒
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    這裡可能還有很多邊
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    我現在並不去考慮它們
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    由這兩條邊 我可以像這樣畫出一個三角形
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    由這兩條邊 我可以畫出另一個三角形
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    四條邊畫出了兩個三角形
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    然後 無論還剩下多少條邊
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    我已經用了四條 但在那之後
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    如果這裡有很多條邊
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    讓我畫得整齊一些
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    那麽這裡有很多條邊
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    看起來每多一條邊
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    我就可以用它再得到一個三角形
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    這條邊可以得到一個三角形 那條邊得到另一個
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    那條邊另一個 那條邊再一個
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    這條邊還能得到一個
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    例如 我畫的這個是一個非常不規則的
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    一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 對嗎
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    一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 這是個十邊形
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    在這個十邊形中 四條邊畫出了兩個三角形
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    另外六條邊 每條都可以得到一個三角形
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    這裡有 一 二 三 四 五
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    讓我確認一下我是不是把邊的條數數對了
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    我有 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
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    我數對了嗎 我是不是漏掉了什麽
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    哦我知道了 我必須在這兒再畫一條線
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    這是兩條不同的邊
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    我可以由它再得到一個三角形
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    這樣就得到了
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    我由4條邊得到了這兩個三角形
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    然後剩下的6條邊每條可以得到一個三角形
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    加上這6個 我一共得到了8個三角形
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    於是我們可以概括地來想
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    最初的4條邊可以得到2個三角形
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    讓我寫下來
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    三角形的個數爲2
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    我已經用了四條邊
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    剩下的邊每一條都能得到一個三角形
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    剩下了S-2條邊
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    三角形的個數是2+S-4
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    2+S-4就是S-2
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    因此 如果我有一個S邊形 我可以得到S-2個三角形
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    完全覆蓋這個多邊形
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    並且不相疊置
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    這告訴我們 既然一個S邊形有S-2個三角形
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    它的內角和就是
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    S-2乘以180度 這是一個很不錯的結果
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    如果有人告訴你他們有一個102邊形
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    那麽S就等於102
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    你就可以說 好的 它的內角和就是
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    102-2 也就是100 再乘180度
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    等於180再加兩個0
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    所以18,000度就是
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    102邊形的內角和
Title:
Sum of Interior Angles of a Polygon
Description:

Showing a generalized way to find the sum of the interior angles of any polygon
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Video Language:
English
Duration:
09:10
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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