ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยม

การแสดงวิธีทั่วไปในการหาผลรวมของรูปภายใน ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ

เรารู้ไปแล้วว่าผลรวมของมุมภายในสามเหลี่ยม

รวมกันได้ 180 องศา

ถ้าค่าของมุมนี้เป็น A,

ค่าของมุมนี่ตรงนี้คือ B, และ

ค่าของมุมนี้คือ C, เรารู้ว่า A + B + C เท่ากับ 180 องศา

แล้วเกิดอะไรขึ้นเมื่อเรามีรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านมากกว่า 3 ด้าน?

รูปสี่เหลี่ยม

อาจใช้ได้กับสี่เหลี่ยมใดๆ ที่มี 4 ด้าน,

ไม่ใช่แค่สี่เหลี่ยมที่มีมุมฉาก หรือขนานกัน

อะไรพวกนั้น

ที่จริงแล้ว, มันดูขนานเกินไป

ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ

วิธิที่คุณคิด, สำหรับรูปสี่เหลี่ยม คือ,

เรารู้อยู่แล้ว:

ค่าของมุมภายในของสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180 องศา

บางทีเราอาจแบ่งนี้ออกเป็นสามเหลี่ยม 2 รูปได้

จากจุดนี่ตรงนี้, ถ้าเราวาดเส้นตรงแบบนี้,

แล้วถ้าค่าของมุมนี้คือ A, ค่าของมุมนี้คือ B

ค่าของมุมนั้นคือ C

เรารู้ว่า A + B + C = 180 องศา

แล้วถ้าเราเรียกนี่ตรงนี้ว่า X, แล้วนี่ตรงนี้ว่า Y, แล้วนั่นว่า Z

พวกนี้คือค่าของมุมเหล่านั้น

เรารู้ว่า X + Y + Z = 180 องศา

แล้ว, ถ้าเราอยากวัดมุมภายในทั้งหมด

มุมภายในทั้งหมดจะเป็น,

บวกมุมนี้, ซึ่งเท่ากับ A+X

A+X คือมุมทั้งหมดสำหรับสี่เหลี่ยม

บวกมุมทั้งหมดนี่, ซึ่งเท่ากับ C+Y

และเมื่อคุณรู้ว่า A+B+C คือ 180 องศา

และเรารู้ว่า Z+X+Y = 180 องศา

แล้วบวก 180 ซึ่งเท่ากับ 360 องศา

ผมว่าคุณคงเข้าใจแนวคิดทั่วไปตรงนี้

เราแค่ต้องหาว่ามีสามเหลี่ยมกี่อัน

ที่เราแบ่งได้

แล้วเราคูณมันด้วย 180 องศา

เนื่องจากสามเหลี่ยมแต่ละตัวพวกนี้ จะมี 180 องศา

เราแบ่งมันได้ไหม

ขอผมวาดรูปห้าเหลี่ยมแบบไม่ปกติดู

1, 2, 3, 4, 5

ลองวาดมันเป็นบ้านสองด้านแบบนี้

เหมือนเดิม, เราสามารถวาดสาเหลี่ยมของเราภายในรูปห้าเหลี่ยม

นั่นก็คือสามเหลี่ยมหนึ่ง

แล้วนี่คือสามเหลี่ยมอีกรูป

มันครอบคลุมรูปห้าเหลี่ยมนี้พอดี

นี่คือสามเหลี่ยมหนึ่ง, สามเหลี่ยมหนึ่ง แล้วก็อีกรูป

เรารู้แต่ละรูปมี 180 องศา,

ถ้าเราหาผลรวมของมุมเหล่านั้น

เรารู้ว่าผลรวมของมุมภายในทั้งหมดเท่ากับ

ผลรวมของมุมภายในของรูปเหลายเหลี่ยมทั้งหมด

เพื่อให้เห็น, แน่นอน มุมภายในนี้

เป็นมุมหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยม

นี่ก็

เมื่อคุณหาผลรวมของอันนี้กับอันนี้,

เราหาผลบวกของอันนั้นกับอันนั้น, คุณจะได้ค่าทั้งหมด

แล้วเมื่อคุณหาผลบวกของอันนี้, บวกอันนั้น

บวกอันนั้น, คุณจะได้มุมภายในทั้งหมดนั่น

แล้วถ้าคุณหาผลบวกของมุมภายในทั้งหมดของ

มุมภายในทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม

ในกรณ๊นี้ คูณมีสามเหลี่ยม 1, 2, 3 รูป

3 คูณ 180 องศาเท่ากับอะไร?

300 + 240 = 540 องศา

เพื่อให้มันทั่วไป,

เราต้องใช้ด้านสี่ด้าน

เราต้องใช้ด้านสี่ด้านในสี่เหลี่ยมนี้

เราต้องให้ด้าน 4 จาก 5 ด้านตรงนี้ในรูปห้าเหลี่ยม

1, 2 แล้วก็ 3, 4

4 ด้านให้รูปสามเหลี่ยมคุณ 2 รูป

มันดูเหมือนว่าทุกครั้งที่เพิ่มด้านที่มีขึ้นมา,

คุณจะได้สามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง

1, 2, 3, 4, 5, 6 ด้าน

และผมจะได้สามเหลี่ยมอีกรูปจาก 2 ด้านนี้

1, 2 ด้านของหกเหลี่ยมนี้

เราได้สามเหลี่ยมอีกรูปจากด้าน 2 ด้านของหกเหลี่ยม

มันดูเหมือนว่า ผมได้สามเหลี่ยมอีกรูป

จากด้านที่เหลือแต่ละรูป

หนึ่งตัวจากอันนั้น, แล้วก็,

หนึ่งตัวจากอันนั้นตรงนั้น

รูปหลายเหลี่ยม s ด้าน

หรือ 6 ด้าน

เราก็สมมุติว่า s มากกว่า 4 ด้าน

ผมอยากหาว่ามีสามเหลี่ยมที่ไม่ทับกันกี่รูป

ที่ครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมนั่นได้พอดี

มีกี่รูปที่ผมใส่มันลงไปได้

แล้วผมต้องคูณจำนวนสามเหลี่ยม

ด้วย 180 องศา

เพื่อหาผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนั่น

เป็นฟังก์ชันของจำนวนด้าน

เหมือนเดิม, 4 ด้านนั้นจะใช้สร้าง

สามเหลี่ยม 2 รูป

และเรามีด้าน 2 ด้านตรงนี้

ผมมี, ผมวาดสามเหลี่ยมหนึ่งได้

เกิดอะไรขึ้นกับด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่เหลือ

คุณก็จินตนาการว่าใส่กระดาษสร้างของแผ่นใหญ่ลงไป

มันอาจเป็นด้านอื่นตรงนี้

จาก 2 ด้านนี้ ผมวาดสามเหลี่ยมหนึ่งได้แบบนั้น

จากสองด้านนี้, ผมวาดสามเหลี่ยมอีกอันตรงนี้

4 ด้านใช้สร้างสามเหลี่ยม 2 รูป

แล้ว, ไม่ว่าผมจะเหลือด้านกี่ด้าน,

ถ้าผมมีอะไรเพี้ยนๆ ตรงนี้

ขอผมวาดมันให้สวยกว่านั้นหน่อย

ผมก็วาดอะไรเพี้ยนๆ ตรงนี้ก็ได้

มันก็เหมือนกับด้านที่เพิ่มขึ้นมาอื่นใด

ผมสร้างสามเหลี่ยมอีกอันได้

สามเหลี่ยม 1 อันจากด้านนั้น, สามเหลี่ยม 1 อันจากด้านนั้น

แล้วสามเหลี่ยม 1 อันจากด้านนี่

ตัวอย่างเช่น, รูปนี้ ที่ผมว่ามันไม่ปกติมาก

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ใช่ไหม?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 คือรูปสิบหลี่ยม

ในรูปสิบเหลี่ยม, สี่ด้านถูกใช้สร้างสามเหลี่ยม 2 รูป

แล้ว 6 ด้านที่เหลือ ผมสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้ 1 รูป

ผมมี 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

ผมนับถูกไปม, ผมไม่เห็นอะไรหรือเปล่า?

โอ้, ผมเห็นแล้ว, ผมต้องวาดอีกเส้นตรงนี้

พวกนี้คือด้านต่างกันสองด้าน

ผมได้สามเหลี่ยมอีกรูปจากอันนั้นตรงนั้น

ได้แล้ว

ผมมีสามเหลี่ยม 2 รูปนี้ จาก 4 ด้าน

แล้วจาก 6 ด้านที่เหลือ ผมได้สามเหลี่ยมจากแต่ละอัน

บวกสามเหลี่ยม 6 อัน, ผมได้สามเหลี่ยมทั้งหมด 8 รูป

เราก็คิดโดยทั่วไปได้

ขอผมเขียนลงไปนะ

จำนวนสามเหลี่ยมของเรา จะเท่ากับ 2,

แล้วด้านที่เลือ, ผมได้สามเหลี่ยมจากแต่ละอัน

ด้านที่เหลือจะเท่ากับ S ลบ 4

จำนวนสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 2 บวก S ลบ 4

แล้ว, ถ้าผมมีรูปหลายเหลี่ยม S ด้าน, ผมจะได้ S ลบสามเหลี่ยม 2 รูป

ครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมพอดี

ซึ่งบอกเราว่ารูปหลายเหลี่ยม S ด้าน ถ้ามันมีสามเหลี่ยม S ลบ 2 รูป,

แล้วมุมภายในของมันจะเท่ากับ

S ลบ 2 คูณ 180 องศา, ซึ่งเป็นผลที่เจ๋งดี

ถ้ามีคนถามคุณว่า เขามีรูปหลายเหลี่ยม 102 ด้าน

S จะเท่ากับ 102 ด้าน

คุณก็บอกได้ว่า, โอเค, จำนวนของมุมภายในที่จะ

เท่ากับ 180, มี 0 อีกสองตัวหลังจากนั้น

ของรูปหลายเหลี่ยม 102 ด้าน