Součet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku

Obecný způsob zjištění součtu vnitřních úhlu v jakémkoli mnohoúhelníku

Už víme,
že součet vnitřních úhlů trojúhelníku

je 180 stupňů.

Pokud velikost tohoto úhlu je A,

velikost tohoto úhlu tady je B a

a velikost tohoto úhlu je je C,
víme, že A plus B plus C je 180 stupňů.

Co ale se stane v mnohoúhelnících,
které mají více než 3 strany?

Zkusme třeba čtyřúhelník,
4 strany, a chci, aby byl nepravidelný.

Abych ukázal, že to platí
pro všechny čtyřúhelníky,

nejen ty, které mají pravé úhly
a rovnoběžné strany,

ale i všechny ostatní.

Tento vypadá skoro jako rovnoběžník,

takže to raději nakreslím takto.

Způsob, jakým o tom můžete přemýšlet,
s jakýmkoliv čtyřúhelníkem, je,

že už víme toto:

Součet velikostí vnitřních úhlů
trojúhelníku dává 180 stupňů.

Takže možná bychom to
mohli rozdělit na 2 trojúhelníky.

Z tohoto bodu, pokud potáhneme čáru takto,
rozdělím to na 2 trojúhelníky.

Tak pokud velikost tohoto úhlu je A,
velikost tohoto úhlu je B,

velikost tohoto je C,

víme, že A plus B plus C je 180 stupňů.

Pokud nazveme tento X, tento Y a tento Z,

to jsou velikosti těch úhlů,

Víme že X plus Y plus Z je 180 stupňů.

Takže pokud chceme
součet velikostí všech vnitřních úhlů,

budou to všechny vnitřní úhly,
takže B plus Z, to jsou tyto 2,

plus tento úhel, který bude A plus X,

A plus X je celý jeden úhel čtyřúhelníku.

Plus celý tento úhel, který bude C plus Y.

A když víme, že A plus B plus C
je 180 stupňů,

a víme, že Z plus X plus Y je 180 stupňů.

Takže plus 180 stupňů bude 360 stupňů.

Myslím, že už vidíte hlavní myšlenku.

Musíme jen zjistit,
na kolik trojúhelníků

můžeme něco rozdělit.

Pak to jen vynásobíme 180 stupni,

jelikož každý z těch trojúhelníků
má 180 stupňů.

Udělejme si ještě jeden příklad
a pak to zkusíme zobecnit,

zobecnit kolik trojúhelníků
se vejde dovnitř.

Nakreslím nepravidelný pětiúhelník.

1, 2, 3, 4, 5.

Vypadá spíš jako nakloněný dům.

Ještě jednou, do tohoto pětiúhelníku
můžeme nakreslit trojúhelníky.

Zde bude jeden.

Zde bude další,
takže můžu nakreslit

3 nepřekrývající se trojúhelníky,

to perfektně pokryje celý pětiúhelník.

Zde je jeden trojúhelník,
tu další a tu ještě jeden.

Víme, že každý z nich má 180 stupňů,

pokud vezmeme součet
jejich vnitřních úhlů.

A víme také, že součet
všech jejich vnitřních úhlů se rovná

součtu vnitřních úhlů
celého mnohoúhelníku.

Ať to vidíme lépe, zřejmě tento úhel

je jedním z úhlů mnohoúhelníku.

I tento.

Když vezmeme součet tohoto a tohoto,
dostanu jeden celý úhel.

Když vezmeme součet tohoto a tohoto,
dostanu celý tento.

Potom vezmeme součet tohoto, tohoto

a tohoto, dostaneme celý vnitřní úhel.

Takže pokud vezmete součet
všech vnitřních úhlů všech trojúhleníků,

máte vlastně všechny vnitřní úhly
mnohoúhelníku.

V tomto případě máte 1, 2, 3 trojúhelníky,

3 krát 180 stupňů se rovná čemu?

300 plus 240 je 540 stupňů.
Pojďme to zobecnit.

Nejdříve si musíme uvědomit,
že ke 2 trojúhelníkům

jsme potřebovali 4 strany,

museli jsme využít
všechny 4 strany tohoto čtyřúhelníku.

Museli jsme použít 4 z 5 stran
v tomto pětiúhelníku,

1, 2 a potom 3, 4.

Takže 4 strany vám dají 2 trojúhelníky.

Vypadá to, že každá další strana vám pak

dá další trojúhelník.
Vyzkouším teď šestiúhelník.

Schválně, kolik trojúhelníků
v něm dostanu.

1, 2, 3, 4, 5, 6 stran.

Můžu mít 1trojúhelník z těchto 2 stran,

2 strany původního šestiúhelníku,

z těchto 2 stran původního šestiúhelníku
můžu mít další trojúhelník.

A vypadá to, že můžu mít
další trojúhelník

z každé ze zbývajících stran.

Takže jeden z této,

a pak jeden z této zde.

Takže obecně se zdá...

Kdybych měl mnohoúhelník s S stranami,
S-úhelník.

Už jsme tu měli čtyřúhelník,
pětiúhelník i šestúhelník.

Takže budeme předpokládat,
že S je větší než 4.

Takže mám mnohoúhelník
s S stranami

a chci zjistit,
kolik nepřekrývajících se trojúhelníků

se vejde do toho mnohoúhelníku.

Kolik se jich vejde dovnitř.

Pak musím jen vynásobit počet trojúhelníků
krát 180 stupňů.

Tak zjistíme, jaký je součet
vnitřních úhlů toho mnohoúhelníku,

Takže si chci napsat počet trojúhelníků

jako funkci počtu stran.

Ještě jednou, použijeme 4 strany

na vytvoření 2 trojúhelníků.

Tady mám 2 strany.
Tady další 2.

Tady můžu nakreslit 1 trojúhelník.

Nezajímá mě teď,
co se stane s ostatními stranami.

Můžete si to představit
jako zakryté velkým černým kusem papíru.

Mohou tam být i další strany,
ale to mě teď nezajímá.

Takže z těchto 2 stran mohu
takto nakreslit 1 trojúhelník.

Z těchto 2 stran zde můžu
nakreslit další trojúhelník.

Takže ze 4 stran mám 2 trojúhelníky.

Poté, bez ohledu na to,
kolik stran mi zbylo,

použil jsem 4 strany,
ale pak tu můžu mít různé šílenosti.

Nakreslím si to trochu hezčí.

Takže tady můžu mít všechny
možné šílenosti.

Vypadá to, že z každé další strany

můžu mít další trojúhelník.

1 trojúhelník z této strany, 1 z této,

1 z této
a 1 z této strany.

Například, toto co jsem tu nakreslil,
je dost nepravidelné.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
je to správné?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Je to desetiúhelník.

V tomto desetiúhelníku jsme použili
4 strany na výrobu 2 trojúhelníků.

A pak každá ze zbývajících 6 stran
byla schopna vytvořit další trojúhelník.

Zbývajících stran mám
1, 2, 3, 4, 5...

Je to správně? Kolik jich mám celkem?
Mám 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Spočítal jsem to správně,
nepřehlédl jsem něco?

Už to vidím,
musím sem ještě dokreslit 1 čáru.

Toto jsou 2 různé strany.
Takže další čáru...

Z této strany musím
dostat další trojúhelník.

Tady to máte.

Mám tyto 2 trojúhelníky ze 4 stran.

Potom z každé ze 6 zbývajících stran
dostanu další trojúhelník.

Plus 6 trojúhelníků,
to je celkem 8 trojúhelníků.

Takže o tom můžeme popřemýšlet obecně.

První 4 strany, 2 trojúhelníky.

Zapíšu to.

Náš počet trojúhelníků se bude rovnat 2,

už jsem použil 4 strany,

ze zbylých stran dostanu
vždy 1 trojúhelník.

Zbývajících stran bude S minus 4.

Počet trojúhelníků bude 2 plus S minus 4.

Což je S minus 2.

Takže, pokud mám mnohoúhelník
s S stranami, můžu z něj dostat

S minus 2 trojúhelníků,
které ho úplně pokryjí a nepřekrývají se.

To nám říká, že mnohoúhelník s S stranami,
který má S minus 2 trojúhelníků,

má součet vnitřních úhlů

S minus 2 krát 180 stupňů,
což je super výsledek.

Takže, pokud vám někdo řekne,
že má mnohoúhelník se 102 stranami,

takže S se rovná 102 stran.

Můžete říci, že součet vnitřních úhlů bude
102 minus 2,

takže 100 krát 180 stupňů,

což se rovná 180
se 2 nulami za tím.

Takže to je 1 800 stupňů,
součet všech vnitřních úhlů 102-úhelníku.