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私がこのビデオでしたいことは，
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ベクトルをその成分で
表す方法です。
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そして，これを時々ベクトルの
エンジニアリング記法
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とも言います。
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これはとても使いでがあります。
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なぜなら，この方法はベクトルの
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成分をいつも意識
することができますし，
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それぞれの成分について
話をする時には，
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あなたにはベクトルがより
実態的に理解できるでしょう。
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では，ここにあるベクトルを
分解してみましょう。
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これを速度ベクトルだと
仮定しましょう。
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ベクトル v，これは 10 メートル
毎秒の大きさがあります。
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そして 水平方向から上に
30 度の方向を向いています。
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ではこれらのベクトルを以前
やったように分解してみましょう。
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垂直方向成分はここです。
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その大きさ…，
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この垂直方向成分の
大きさはここにありますが，
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これは 10 sin 30 度です。
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するとこれは 10 メートル毎秒
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かける sin 30 度です。
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これは soh cah toa の
基本の3 角法からきています。
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詳しくは前のいくつかの
ビデオで説明しました。
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sin 30 度は 1/2 です。
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するとこれは 5，または，
5 メートル毎秒になります。
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10 かける 1/2 は
5 メートル毎秒です。
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するとこれが垂直方向
成分の大きさです。
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前のいくつかのビデオで，
垂直方向成分を，
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ある意味，ここでするよりも
少しあいまいに指定しました。
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私はこの記法をよく使います。
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それは，私にとってはタンジブルに
はっきりとしていて，
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好きな方法だからです。
それがこのビデオでもう少しよく
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説明できると思います。
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このベクトル自身は，5 メートル
毎秒の大きさだと言いました。
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しかし，私はこの方向は暗黙的
に与えられていたと言います。
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なぜなら，これが垂直方向
のベクトルだからです。
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前のビデオで私が言ったことは，
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もしこれが正ならば
それは上向きの意味で，
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もしこれが負ならばそれは
下向きという意味でした。
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すると，私はこれがベクトル
であり，その符号が
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その方向を与えていると
わかるために，
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このベクトルの環境を与えなくては
いけません。しかし，私は
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これが垂直方向のベクトルである
と言い続けないといけません。
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それがこれがあまり
はっきりしてないという意味です。
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そしてこれは水平方向
のベクトルについて
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言う時にも
同じことです。
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ここにあるこれは水平
方向のベクトルで，
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この水平方向の
ベクトルの大きさは
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10 cos 30 度になるでしょう。
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そしてもう一度，これは
3 角法からすぐに出てきます。
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10 cos 30 度。
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cos 30 度は，
2 分の√3 です。
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これに 10 をかければ，
5 √3 メートル毎秒です。
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もう一度，前のいくつかのビデオで
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時々私はこの記法を使いました。
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そこでは，実際にこのベクトル
は 5√3 メートル毎秒の
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ベクトルだと言っていました。
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しかしこれが単純に大きさ
だけではないことを言うには，
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これは水平方向の成分だと
言い続ける必要がありました。
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それが正の場合には右向きで，
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負の場合には左向きです。
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このビデオで私がしたいことは，
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この方向を示すためにずっと
言い続けなくてもいいような
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慣習を与えることです。
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そしてそうすると全てがもう少し
実質的にはっきりするでしょう。
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そのためにここで私たちが
導入するものは，
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単位ベクトルという考えです。
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ここで，私はベクトル
i を定義します。
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これを時々 i ハット
とも呼びます。
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それをここに書きたいと思います。
（するとベクトル…）
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もう少し小さくしましょう。
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するとベクトル i ハットです。
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ここには，ベクトル i
ハットの図があります。
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そして i の上に小さな
ハットを書いて，
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それが単位ベクトルで
あることを示します。
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そして単位ベクトルとは
何かと言うと，i ハットは，
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正の x 方向を向いています。
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それはこう定義しただけです。
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単位ベクトルの大きさは
1 と定義します。
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ですから i ハットの大きさは
1 に等しいです。
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そしてその方向は
正の x 方向です。
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するともし私たちがこのような
x 方向成分をより
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良く指定したいと
本当に思ったのなら，
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本当はこれを 5√3 かけるこの
単位ベクトルと呼ぶべきでした。
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なぜならここの緑のベクトルは
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5√3 かける，このここにある
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ベクトルになるからです。
それはこのベクトルの大きさが
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1 に等しいからです。
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すると，それは 5√3 かける
この単位ベクトルです。
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私がこの記法が好きなところは，
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私はこれがベクトルの水平
方向成分であるとか，
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正が右で負が左だと毎回
言う必要がなくなることです。
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ここは明示的です。(訳注:英語
音声は implicit と誤り)
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なぜなら，もしこれが
正の値ならば，
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明らかにこれは i の正の
倍数になります。
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これは右を向きます。
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もしこれが負ならば，ベクトル
は反転し，左を向きます。
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するとこれは実際に
ベクトルの x 成分を
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指定するより良い方法です。
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もし私がこれを分解し，このベク
トル v をその x 成分にすれば，
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これはベクトルを指定する，
より良い方法でしょう。
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同じことが y 方向にも言えます。
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私たちはある単位ベクトル
を定義できます。
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ではまだ私が使っていない
色を一つ選びます。
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どれが良いか…このまだ
使っていないピンクを使います。
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y 方向に真っ直ぐ
行く単位ベクトルを
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単位ベクトル j としましょう。
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そして，同じく単位ベクトル j
の大きさは i に等しいです。
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この小さなハットが示しているのは，
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または，この記号はキャレット
と言われることもありますが，
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これがベクトルで，単位ベク
トルであることを示しています。
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それは 1 の大きさを持ちます。
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ベクトル j は正の y 方向を向き，
大きさが 1 であると定義します。
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するとこのベクトルの y 成分を，
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5 メートル毎秒で上方向
を向いているとか，
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それは垂直方向ベクトルとして，
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暗黙的に上向きだとか，
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それはベクトルの垂直方向
成分で正のものと言う代わりに
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このようにもう少しこれについて
はっきりと言うことができます。
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それは 5 かける j だと
言うことができます。
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なぜなら，このマジェンタ
のベクトルは
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j とまったく同じ方向を
向いています。
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それは単に 5 倍長いだけです。
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図ではちょっときっかり
5 倍かはわかりませんね。
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ここでは私は手でだいたい
を描きましたから。
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それは単に 5 倍長いです。
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さて，これが本当に
クールなところは，
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成分を単にベクトルの倍数だと
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明示的に言うことができる
だけではありません。
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そういうふうにしたければ
できましたし，そうします。
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成分を明示的なベクトルで
表すことができます。
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そしてまた，ベクトル v は
その成分の和です。
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もしここにある緑の
ベクトルから始めて，
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この垂直方向の
ベクトルをたします。
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すると頭から尾の法則で，
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この青いベクトルが
得られます。
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そして実際にこの要素を使って，
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このベクトルそのものを
表現できます。
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ただ，いつもこのように
描く必要はありません。
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すると，ベクトル v が
等しいのは，…。
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こんなふうに書いてみましょう。
これはその x 成分ベクトル
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たす y 成分のベクトル
に等しいです。
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そして x 成分ベクトルは，
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5√3 かける i です。
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これに y の成分，
垂直方向成分をたします。
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それは 5j ，5 かける j です。
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すると，この本当に素敵なところは，
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どんな 2 次元のベクトルでも
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i と j のある組み合わせで，または
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i と j をあるスカラ倍したものの組み
合せで表すことができることです。
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そしてもし 3 次元を扱いたい時でも，
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この学年を通して特に物理の
クラスではよくあると思いますが，
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正の z 方向のベクトルを
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導入することで
できるようになります。
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それはあなたがどのように
定義したいかにもよりますが。
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z は普通は上が下になります。
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しかし次の次元が
どんなものであっても，
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3 番目の次元としてベクトル k
を定義することができます。
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ここで私は，ちょっと慣習とは
違うように書きました。
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私はここでは k を
この方向にします。
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ただ，3 次元を扱う
標準の方法では，
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k は上下方向の次元にします。
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しかしこれ自身
既にとても素敵です。
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なぜなら，これでこの要素を通して，
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どんな種類のベクトルでも
表現できるからです。
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そしてまたこうすることで
数学がずっと簡単になります。
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