Unit vectors and engineering notation | Two-dimensional motion | Physics | Khan Academy

V tomto videu bych rád představil způsob,
jak popsat vektor pomocí jeho složek.

Říká se mu zápis pomocí
jednotkových vektorů.

Je velmi užitečný,
protože umožňuje sledovat složky vektoru

a můžeš si lépe představit,
jak jednotlivé části vypadají.

Pojďme rozložit tento vektor.

Předpokládejme,
že jde o vektor rychlosti.

Vektor „v“ o velikosti
10 metrů za sekundu.

Směřuje pod úhlem 30 stupňů
od vodorovné osy.

Takové vektory už jsme
v minulosti rozkládali.

Velikost svislé složky, která je tady,
bude 10 krát sinus 30 stupňů.

Bude 10 metrů za sekundu
krát sinus 30 stupňů.

Vycházíme ze základů goniometrie.

V předchozích videích je to
rozebrané detailněji.

Sinus 30 stupňů je 1/2.

Toto tedy bude 5,
5 metrů za sekundu.

10 krát 1/2 je 5 metrů za sekundu.

To je velikost svislé složky vektoru.

V předchozích videích
jsem používal tento zápis,

který není tak uchopitelný,
jak by se mi líbilo.

Proto jej v tomto videu trochu vylepším.

Řekl jsem,
že tento vektor je 5 metrů za sekundu.

Jeho směr je skrytý v informaci,
že jde o vektor ve svislém směru.

Také jsem říkal, že pokud je kladný,
směřuje nahoru, když je záporný, jde dolů.

Takže musím dát kontext,
aby bylo jasné,

že toto je vektor
se směrem daným znaménkem.

Musím připomínat,
že jde o vektor ve svislém směru.

Nebylo to tedy úplně uchopitelné.

Na podobné úskalí jsme narazili
u vodorovných vektorů.

Tento vodorovný vektor má velikost
10 krát kosinus 30 stupňů.

Zase vycházíme ze základů trigonometrie.

10 krát kosinus 30 stupňů.

Kosinus 30 stupňů je
odmocnina ze 3 lomeno 2.

Násobeno 10 dá výsledek
5 krát odmocnina ze 3 metrů za sekundu.

Opět, v předchozích videích
jsem používal zápis, který tvrdil,

že tento vektor je 5 odmocnin ze 3
metrů za sekundu.

Ale aby bylo jasné,
že nejde jen o velikost,

musel jsem pořád opakovat,

že pokud je kladný,
směřuje doprava

a pokud je záporný,
tak jde doleva.

V tomto videu vám představím úmluvu,
která mi umožní určit směr snadněji.

Také učiní toto všechno uchopitelnějším.

Představme tedy myšlenku
jednotkových vektorů.

Definujme vektor „i“.

Někdy se mu říká „i se stříškou“.

Nakreslím ho tady.

Měl by být trochu menší.

Vektor „i se stříškou“.

Vypadá jako tady na obrázku.

Je na něm taková stříška,

aby bylo jasné,
že je to jednotkový vektor.

Co je takový jednotkový vektor?

„i se stříškou“ směřuje
v kladném směru osy x.

To je jeho definice.

Slovo jednotkový znamená,
že jeho velikost je 1.

Velikost vektoru
„i se stříškou“ je tedy rovna 1.

Jeho směr je ve směru kladné poloosy x.

Pokud bychom tedy chtěli lépe
vyjádřit tuto složku x daného vektoru,

měli bychom jí říkát 5 odmocnin ze 3
krát tento jednotkový vektor,

neboť tento zelený vektor
bude „5 krát odmocnina ze 3“násobkem

tohoto vektoru tady,
protože ten má velikost 1.

To je tedy 5 odmocnin ze 3
krát jednotkový vektor.

Nejvíc se mi líbí to,
že tě nemusím upomínat,

že jde o vodorovný vektor.

Kladné číslo doprava, záporné doleva,
to už je tady vyjádřeno,

neboť bude-li toto kladné,
půjde zjevně o kladný násobek „i“.

Půjde to doprava.

Je-li číslo záporné,
otočí vektorem a bude směřovat doleva.

To je tedy lepší způsob,
jak určit složku x vektoru.

Pokud bych vektor rozložil na složku x,
toto by ji lépe určilo.

To samé platí pro směr y.

Můžeme definovat jednotkový vektor.

Vyberu barvu,
kterou jsem ještě nepoužíval.

Můžeme určit jednotkový vektor
směřující nahoru podél osy y

a nazvat ho jednotkovým vektorem „j“.

Opakuji,
velikost jednotkového vektoru „j“ je 1.

Tato stříška nám říká, že je to vektor,
konkrétně jednotkový vektor.

Má velikost 1.

Jeho definice je, že má velikost 1
a směřuje v kladném smyslu osy y.

Abychom určili
y složku tohoto vektoru,

místo abychom říkali,
že je 5 metrů za sekundu nahoru,

že je to svislý vektor
nebo kladná svislá složka vektoru,

můžeme jej popsat
mnohem konkrétněji.

Můžeme říct, že je roven 5 krát „j“.

Neboť tento fialový vektor
směřuje stejným směrem jako „j“,

jen je pětkrát delší.

Nevím, jestli je pětkrát delší,
snažím se to odhadnout.

Měl by být pětkrát delší.

Nejlepší na tom je,

že kromě možnosti vyjádřit složky
jako násobky vektorů,

což jsme teď dělali,
vyjadřovali složky jako určité vektory,

také víme, že vektor „v“
je součtem jeho složek.

Začneme-li tímto zeleným vektorem
a přidáme tuto svislou složku,

připojíme počáteční bod
ke koncovému.

Vyjde nám modrý vektor.

Můžeme tedy použít složky
k vyjádření vektoru samotného.

Nemusíme to vždy kreslit takto.

Můžeme napsat, že vektor „v“ se rovná…

Napíšu to takto.

…rovná se
složce x plus složce y.

Můžeme napsat,
že složka x je 5 odmocnin ze 3 krát „i“

plus složka y, svislá složka,
která je 5 krát „j“.

Co je tady zvlášť vychytané je,

že teď můžeme určit libovolný vektor ve
dvou rozměrech kombinací „i“ a „j“.

Pokud budeš chtít jít do tří rozměrů,
jak půjde výuka fyziky dál,

můžeš přidat jednotkový vektor
v kladném smyslu osy z.

I když z je normálně nahoru a dolů.

Ať už je další rozměr jakýkoli,
můžeš definovat vektor „k“,

který míří do toho třetího rozměru.

Udělám to tu trochu neobvykle,
mé „k“ bude směřovat tudy.

I když běžně ve třech rozměrech
je „k“ směr nahoru a dolů.

Toto je už samo
o sobě pěkně vychytané,

protože teď můžeme vyjádřit
jakýkoli vektor jeho složkami

a také to velmi zjednoduší výpočty.