Unit vectors and engineering notation | Two-dimensional motion | Physics | Khan Academy

Using unit vectors to represent the components of a vector. Created by Sal Khan.

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/science/physics/two-dimensional-motion/two-dimensional-projectile-mot/v/unit-vector-notation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=physics

Missed the previous lesson? https://www.khanacademy.org/science/physics/two-dimensional-motion/two-dimensional-projectile-mot/v/projectile-on-an-incline?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=physics

Physics on Khan Academy: Physics is the study of the basic principles that govern the physical world around us. We'll start by looking at motion itself. Then, we'll learn about forces, momentum, energy, and other concepts in lots of different physical situations. To get the most out of physics, you'll need a solid understanding of algebra and a basic understanding of trigonometry.

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Physics channel: https://www.youtube.com/channel/UC0oGarQW2lE5PxhGoQAKV7Q?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

В това видео
искам да ти покажа

начин да представиш един вектор
чрез компонентите му.

И това понякога се нарича
разлагане на вектори

по компоненти.

Но това е супер полезно,
понеже ни позволява

да следим компонентите
на вектора

и прави нещата
по-осезаеми,

когато говорим
за отделните компоненти.

Нека разложим
този вектор тук.

Просто приемам,
че е вектор на скоростта.

Вектор v – неговата големина
е 10 метра в секунда.

И сочи в посока 30 градуса
над хоризонтала (над оста х).

Разлагали сме тези вектори
в миналото.

Вертикалната компонента тук...

Големината ѝ ще е –

големината на
вертикалната компонента

ще е 10 по синус от 30 градуса.

Ще е 10 метра в секунда
по синус от 30 градуса.

Това произлиза от
основните тригонометрични тъждества.

Говоря за това
в повече детайли в предишни видеа.

Синус от 30 градуса е 1/2.

Това ще е 5,
или 5 метра в секунда.

10 по 1/2
е 5 метра в секунда.

Това е големината
на вертикалната компонента.

В последните няколко видеа

често използвам това обозначение
за определяне на вертикалния вектор,

което не е толкова интуитивно,
колкото ми се иска.

И затова ще направя

нещата по-добре
в това видео.

Казах, че самият този вектор
е 5 метра в секунда.

Но ти казах,
че посоката е изрично зададена,

понеже това е
вертикален вектор.

И в предишни видеа ти казах,
че ако това е положително, означава нагоре,

а ако е отрицателно,
означава надолу.

Трябва да ти дам
този контекст,

за да осъзнаеш,
че това е вектор, чийто синус

ти дава посоката.

Но трябва да продължавам
да ти казвам, че това е вертикален вектор.

Това не беше
толкова конкретно.

И имахме същия проблем,

когато говорихме
за хоризонтални вектори.

Този хоризонтален вектор тук,

големината на
този хоризонтален вектор

ще е 10 по косинус от 30 градуса.

Отново, това директно
произлиза

от основните тригонометрични тъждества.

10 по косинус от 30 градуса.

И косинус от 30 градуса
е корен квадратен от 3 върху 2.

Умножаваш по 10,
получаваш

5 по корен квадратен от 3
метра в секунда.

И, отново, в предишни видеа

понякога използвах
това обозначение,

при което казвах,
че векторът е

5 по корен квадратен от 3
метра в секунда на квадрат.

Но за да се уверя,
че това не беше просто големината,

трябваше отново и отново да ти казвам,
че е в хоризонтална посока.

Ако е положително,
отива надясно,

а ако е отрицателно,
отива наляво.

В това видео

искам да ти дам
една условност,

така че да не трябва
да продължавам да ти казвам посоката.

Това прави нещата
малко по-ясни.

И въведохме

идеята за
единични вектори.

По определение
ще въведем вектор i.

Понякога се нарича
i с шапка.

Ще го
начертая тук.

Ще го направя
малко по-малък.

Векторът i с шапка.

Това тук е изображение
на вектора i с шапка.

Поставих малка шапка
върху това i,

за да покажа,
че това е единичен вектор.

И единичният вектор е –
i с шапка

отива в положителна
посока х.

Така е определен.

И единичният вектор
ни казва, че големината му е 1.

Големината на вектор i с шапка
е равна на 1.

И посоката му е в
положителна посока х.

Ако наистина искахме
да определим

тази х компонента на вектора
по по-добър начин,

трябва да я назовем
5 по корен квадратен от 3

по този
единичен вектор.

Понеже този зелен вектор тук

ще е 5 по корен квадратен от 3

по този вектор тук,
понеже този вектор тук

просто има дължина 1.

Това е 5 по корен квадратен от 3
по единичния вектор.

И това ми харесва –

че не трябва да ти казвам:

"Помни, че това е
хоризонтален вектор.

Положително е надясно,
отрицателно е наляво."

Тук това е изрично.

Понеже очевидно,
ако това е положителна стойност,

ще е положително кратно на i

Отива надясно.

Ако е отрицателна стойност,
преобръща вектора

а после отива наляво.

Това е по-добър начин
да определим

х компонентата на вектора.

Или ако разложа
този вектор v на неговата х компонента,

това е по-добър начин
да определим този вектор.

Същото е за посока у.

Можем да определим
единичен вектор.

И нека избера цвят,
който още не съм използвал.

Нека избера това розово,
което не съм използвал.

Можем да намерим единичен вектор,
който отива право нагоре

в посока у,
наречен единичен вектор j.

И, отново, големината
на единичния вектор j, е равна на 1.

Тази малка шапка отгоре
ни казва –

или понякога се нарича
коректорски знак –

ни казва, че това е вектор,
но е единичен вектор.

Има големина от 1.

И по определение
вектор j има големина 1

и отива в
положителна посока у.

у компонентата на този вектор,

вместо да казвам,
че е 5 метра в секунда

в посока нагоре,
или вместо да казвам изрично,

че е нагоре,
понеже е вертикален вектор,

или е вертикална компонента
и е положителна,

сега можем
да сме по-точни.

Можем да кажем,
че е равен на 5 по j.

Понеже, виж, че
този цикламен вектор

отива точно в същата посока като j,
просто е 5 пъти по-дълъг.

Не знам дали е точно 5 пъти.

Опитвам да го приближа
в момента.

Той е просто
5 пъти по-дълъг.

Хубавото на това,

освен, че можем да изразим
компонентите като кратни

на определени вектори, е,
че вместо просто да правим това,

което направихме –

изразяваме компонентите
като определени вектори –

също знаем,

че вектор v е сборът
на компонентите си.

Ако започнеш с този зелен вектор

и добавиш тази
вертикална компонента,

имаш всичко.

Получаваш
синия вектор.

И можем да използваме
компонентите,

за да изразим
самия вектор.

Не е нужно винаги
да го чертаем така.

Сега можем да запишем,
че вектор v е равен на –

нека го запиша така –
равен е на х компонентата на вектора

плюс у компонентата на вектора.

И можем да запишем, че
х компонентата на вектора

е 5 по корен квадратен от 3 по i.

И това ще е плюс
у компонентата,

вертикалната компонента,
която е 5j, 5 по j.

И хубавото тук е,
че можеш да определиш

всеки вектор в две измерения
чрез някаква комбинация от i и j,

или някакви скалирани
комбинации от i и j.

И ако искаш да преминеш
към три измерения,

и много често ще го правиш,
особено с напредване

на класа ти по физика,

можеш да въведеш вектор
в положителна z посока,

в зависимост от това
как искаш да го направиш.

Въпреки че z обикновено
е нагоре и надолу.

Но каквото и да е следващото измерение,

можеш да определиш вектор k,
който е от третото измерение.

Тук ще го направя
по неконвенционален начин.

Ще направя k
да отива в тази посока.

Въпреки че стандартната
конвенция, когато правиш това

в три измерения,
е k да е измерението нагоре-надолу.

Това само по себе си
е доста хубаво,

понеже можем да представим
всеки вектор чрез компонентите му

и това доста
ще улесни изчисленията.