Proof of the Cauchy-Schwarz Inequality

Proof of the Cauchy-Schwarz Inequality

假设已知两个非0的向量

其中一个向量是x

另一个向量是y

它们都在空间Rn中且非0

从而可以看出它们的绝对值――

我换一种颜色

这个颜色比较好

这两个向量的点积的

绝对值――

注意 这个结果是一个标量

它小于等于二者长度的乘积

我们已经定义了点积

也定义了长度

它小于等于二者长度的乘积

进一步地

等号成立的唯一条件

这两个向量的点积

等于它们长度之积的唯一情况是――

等号成立的

唯一条件是――

我写下来――

即其中一个向量可以看做

另一个向量的常数倍

也就是说它们是共线的

即其中一个向量

是另一个向量的伸长或缩短

当且仅当向量x

等于向量y的常数倍时

我们把

这个不等式

称作Cauchy-Schwarz不等式

我们来证明它

因为你不能仅从表面理解

我能单纯地接受它

下面我要构造一个函数

构造一个函数――

它是变量t的函数

定义函数p(t)等于

等于某个向量的长度

这个向量是ty-x 其中t是标量

就是这个向量的长度

这是一个向量

再加一个平方

在继续进行之前

我还要强调一点

如果要取一个向量的长度 我写在这

若要取向量v的长度

我希望大家知道

这是一个正数

至少是大于等于0的

因为这里是平方和

这是v2? 一直到vn?

所有这些都是实数

当对一个实数平方时

结果总是大于等于0的

当把它们加起来时

得到的结果

当然也大于等于0

在对其开根号

取主平方根 即正的平方根

得到的结果

大于等于0

所以任何实向量的长度

都大于等于0

这就是实向量的长度

它大于等于0

在之前的视频中

应该是上上个视频

我也讲了

一个向量的长度的平方可以写成

该向量与自身做点积

我重新写一下这个向量

这个向量长度的平方等于

那个向量与自身的点积

从而等于(ty-x)・(ty-x)

在上个视频中

我告诉了大家

你可以把向量的点积

近似理解为常数的乘积

它们的结合律

分配律和交换律是类似的

所以当对其做乘法时

你可以把它看做

两个二项式相乘

你可以按照常规的代数二项式乘法的方法

来计算这个点积

用到的就是分配律

但要注意 这同常数的乘法还是有区别的

我们做的是点积

是向量的乘法

或者说是向量的一类乘法

把括号打开

有ty・ty

我写下来

这是ty・ty

然后得到――

我这么做

然后得到-x・ty

我不说“乘以”

而应该说是“点乘”

这是x・ty

然后有ty・(-x)

然后是-ty・x

最后一项是x・x

它可以看做是(-1x)・(-1x)

可以写成+(-1x)

这可以看做是加上-1

所以这是(-1x)・(-1x)

我们看一下

这就是上式

展开后的形式

这其实不能算作化简

但是我可以用交换律和分配律

来改写这个表达式

它等于(y・y)t?

t是一个标量

减去―― 事实上应该是2倍的

这两项是相等的

它们仅仅是排列不一样

我们已经知道点积满足结合律

所以等于2(x・y)t

也许我应该换一个颜色

从而这两项就化成这一项

然后如果重新排列这一项

会得到-1乘以-1

它们消去了 从而符号是+

并且仅剩下x・x

我换个颜色

用橘黄色吧

从而这项就化成了这项

当然 这项化成了这项

注意 我所做的

就是改写这个式子

这项大于等于0

我把它写在这

这两个式子是相等的

我只是改写了一下

所以这个式子大于等于0

下面要做一个替换

来化简这个表达式

然后再反替换回来

将它定义为a

定义这一项是b

就是-2x・y这项

保留t

定义这项

将它定义为c

即x・x=c

那么这个表达式化成了什么呢？

它化成at?减去――

我要注意颜色的使用――

然后是bt+c

我们当然知道

它大于等于0

它与上面这项相等

都大于等于0

我把p(t)写在这

这项现在大于等于0

对于任意的t成立

对于任给的实数t

我取函数在b/2a处的值

我确定可以这么做

因为我确定

分母上不会出现0

a是这个向量与自身做点积

并且已知它是非0的向量

它是这个向量长度的平方

它是非0向量

对于上面这些项

当你取其长度时

结果都是正的

所以这一项是非0的

它是非0的向量

从而2乘以这个点积

也是非0的

所以我们可以这么做

不用担心除以0的事

它等于什么呢？

它等于――

我还用绿色来写

要换颜色太麻烦了

它等于a乘以这个表达式的平方

即b?/4a?

将2a平方得到4a?

减去b乘以这项

即b乘以） 这是常数的乘法

即b乘以b/2a

这是常数的乘法

再加上c

我们这道这个式子大于等于0

如果将其化简 得到什么呢？

这里的a消去了

分子上是b?

从而有b?/4a-b?/2a

就是这一项

再加上c 这个这项大于等于0

我改写一下

如果分子分母同时乘以2

会得到什么？

得到2b?/4a

我这么做是因为

我要使分母相同

那么得到什么？

得到b?/4a-2b?/4a

化简之后是什么？

分子是b?-2b?

从而就得到-b?/4a+c

大于等于0

这两项相加得到这项

如果在等式两边加上这项

得到c大于等于b?/4a

这项在左边是负的

如果在两边同时加上它

则右边的项就变成正的

我们得到的东西

是一个不等式

现在把变量替换回去

看看得到什么

我开始做的替换在哪？

它在这

进一步化简

两边同时乘以4a

a不仅是非0的

而且是正的

这是它长度的平方

并且我已经讲过

任何实向量的长度都是正的

我之所以要强调

a是正的是因为

如果两边同时乘以它

不等式就不用变号

那么在做替换之前

我在两边同时乘以a

得到4ac大于等于b?

得到这个

我煞费苦心地做到了这一步

我说过a一定是正数

因为它是向量长度的平方

y・y是y的长度的平方

它是一个正值

它一定是正的

我们在实数范围内处理问题

现在来做替换

那么4a就是y・y

y・y也是――

我还写在这

y・y就是y的长度的平方

这是y・y 它等于a

我在之前的视频中讲过y・y

乘以c

c是x・x

x・x就等于

向量x的长度的平方

这是c

从而4ac

大于等于b?

那么b是多少？ b就在这里

从而b?等于2(x・y)?

我们得到了这个结果

我们下面怎么做呢？

抱歉 应该是对整个这项平方

这一项才是b

我们看看能否进行化简

我们得到―― 我换一种颜色

4乘以y的长度的平方

乘以x的长度的平方

大于等于――

如果对这项平方

就得到4(x・y)

再乘以(x・y)

事实上

这么写会更好一些

写成4(x・y)?

下面两边同时除以4

这不会改变不等式

两边的4就消去了

现在对等式两边

同时开平方

则两端开平方之后得――

这些都是正值

所以这边开平方

就是每一项的开方

这是根据指数的性质

如果对两边开方

就得到y的长度乘以x的长度

大于等于这一项的开方

我们开方后取正值

不等式两边开方后

都取正值

这使得我们

避免了许多麻烦

从而正的平方根

就是x・y的绝对值

严格地说

这个是绝对值

因为这一项

可能是负值

但当平方之后

你应当注意

当开方之后

还保持正值

否则的话 当我们取主平方根后

就会产生混乱

我们取正的平方根

就是――

如果取绝对值

就确定了值是正的

这是我们的结果

向量点积的绝对值

小于等于这两个向量长度的乘积

从而就证明了

Cauchy-Schwarz不等式

我最后要说的是

如果x是y的常数倍

会怎么样？

如果这样的话 绝对值是多少？

x・y的绝对值

它等于―― 等于什么？

如果进行替换

则它等于cy・y的绝对值

它就是x・y

从而等于

根据结合律

它等于绝对值――

我们已经确定

绝对值总是正的

然后是y・y

这等于c乘以y的长度――

等于y的长度的平方

从而等于c的大小――

或者说常数c的绝对值

乘以向量y的长度

我可以改写这一项

如果你对其不确定的话

可以自己证明一下 但是这一项――

我们可以把c放入绝对值中

这是个很好的证明练习

直接证明就可以

只需应用长度的定义

并且用它乘以c

从而等于cy的长度乘以――

我应该说cy的长度乘以y的长度

有几个向量没有标上记号

我给它们标上

这是x

所以它等于x的长度乘以y的长度

我给大家介绍了

Cauchy-Schwarz不等式的第二部分

式子两边相等

当且仅当它们互为对方的常数倍

如果你对我讲的某些步骤

还有些疑惑

那么你可以去证明一下

例如 证明||cy||

与|c|*||y||

是相等的

无论如何 我希望你能发觉它的用处

在证明线性代数中的一些结论时

我们经常会

用到Cauchy-Schwarz不等式

在下面的视频中

我会更直观地为大家讲解

为什么这个不等式

与向量的点积有关