< Return to Video

บทพิสูจน์อสมการของโคชี-ชวอช (Cauchy-Schwarz Inequality)

  • 0:01 - 0:03
    สมมุติผมมีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว
  • 0:05 - 0:07
    สมมุติว่าเวกเตอร์แรกคือ x, เวกเตอร์ที่สองคือ y
  • 0:10 - 0:11
    ทั้งสองอยู่ในเซตของเรา
  • 0:12 - 0:13
    ทั้งคู่อยู่ในเซต Rn และมันไม่เป็นศูนย์
  • 0:17 - 0:22
    มันปรากฏว่า ค่าสัมบูรณ์ของ -- ขอผมใช้
  • 0:22 - 0:25
    อีกสีนึงนะ
  • 0:25 - 0:27
    สีนี้สวยหน่อย
  • 0:27 - 0:31
    ค่าสัมบูรณ์ของดอทโปรดัคระหว่างเวกเตอร์
  • 0:31 - 0:35
    สองตัว -- จำไว้, นี่คือปริมาณสเกลาร์ --
  • 0:35 - 0:41
    น้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณของความยาวพวกมัน
  • 0:41 - 0:43
    และเรานิยามดอทโปรดัค กับความยาว
  • 0:43 - 0:44
    ไปแล้ว
  • 0:44 - 0:47
    มันน้อยกว่าหรือเท่ากับผลคูณของความยาว
  • 0:47 - 0:51
    และยิ่งไปกว่านั้น, โอกาสที่มันจะเท่ากันมี
  • 0:51 - 0:58
    อย่างเดียว คือ ดอทโปรดัคของเวกเตอร์สองตัว จะเท่ากับ
  • 0:58 - 1:02
    ความยาวของอันนี้ -- เท่ากับ และ
  • 1:02 - 1:05
    น้อยกว่าเท่ากับ ใช้ได้ในกรณีนี้ -- ขอผมเขียน
  • 1:05 - 1:11
    ลองไปนะ -- เมื่อเวกเตอร์ตัวหนึ่งเป็นจำนวนเท่า
  • 1:11 - 1:12
    ของเวกเตอร์อีกตัว
  • 1:12 - 1:14
    หรือมันอยู่ในเส้นตรงเดียวกัน
  • 1:14 - 1:16
    คุณก็รู้, อันนึงเหมือนอีกอันแค่
  • 1:16 - 1:18
    ยาวกว่าหรือสั้นกว่าเท่านั้น
  • 1:18 - 1:22
    นั่นคือกรณีเดียวเท่านั้น ที่ x เท่ากับ
  • 1:22 - 1:25
    สเกลาร์สักตัวคูณ y
  • 1:28 - 1:31
    อสมการนี้ หรือ ผมบอกได้ว่า สมการ
  • 1:31 - 1:33
    ของอสมการนี้, มันเรียกว่าอสมการโคชี-ชวอส (Cauchy-Schwarz inequality)
  • 1:33 - 1:43
    อสมการโคชี-ชวอส
  • 1:43 - 1:46
    งั้นลองมาพิสูจน์กัน เพราะคุณยังไม่ได้
  • 1:46 - 1:47
    เจออะไรแบบนี้มาก่อน
  • 1:47 - 1:49
    คุณไม่ควรเชื่อในทันที
  • 1:49 - 1:53
    ขอผมสร้างฟังก์ชันตามใจขึ้นมาอันนึง
  • 1:53 - 1:58
    ขอผมสร้างฟังก์ชัน -- นั่นคือฟังก์ชัน
  • 1:58 - 2:00
    ของตัวแปรสักตัว, เป็นสเกลาร์ t
  • 2:00 - 2:05
    ขอผมนิยาม p ของ t เท่ากับความยาวของ
  • 2:05 - 2:12
    เวกเตอร์ t คูณเวกเตอร์ -- สเกลาร์ t คูณเวกเตอร์
  • 2:12 - 2:16
    y ลบเวกเตอร์ x
  • 2:16 - 2:17
    มันคือความยาวของเวกเตอร์นี้
  • 2:17 - 2:19
    นี่จะเป็นเวกเตอร์อันนึง
  • 2:19 - 2:21
    ทั้งหมดกำลังสอง
  • 2:21 - 2:23
    ทีนี้ก่อนจะไปต่อ ผมอยากชี้ให้เห็น
  • 2:23 - 2:24
    อย่างนึงตรงนี้
  • 2:24 - 2:30
    หากผมเอาความยาวของเวกเตอร์ใด ๆ, ผมจะทำตรงนี้นะ
  • 2:30 - 2:33
    สมมุติว่าผมเอาความยาวของเวกเตอร์ v มา
  • 2:33 - 2:37
    ผมอยากให้คุณยอมรับว่ามันเป็นจำนวนบวก
  • 2:37 - 2:39
    หรืออย่างน้อย มันต้องมากกว่าเท่ากับ 0
  • 2:39 - 2:43
    เพราะนี่เท่ากับแต่ละเทอมกำลังสอง
  • 2:43 - 2:45
    v2 กำลังสอง ไปจนถึง vn กำลังสอง
  • 2:45 - 2:47
    ทุกตัวเป็นจำนวนจริง
  • 2:47 - 2:50
    ตอนคุณยกกำลังจำนวนจริง, คุณจะได้ค่า
  • 2:50 - 2:51
    มากกว่าเท่ากับ 0
  • 2:51 - 2:52
    ตอนคุณบวกมันเข้า, คุณก็ยังได้อะไรที่
  • 2:52 - 2:54
    มากกว่าเท่ากับ 0
  • 2:54 - 2:56
    และคุณหาสแควร์รูทของมัน, สแควร์รูทตัวหลัก
  • 2:56 - 2:57
    สแควร์รูทเป็นบวก, คุณก็จะได้
  • 2:57 - 2:59
    อะไรที่มากกว่าเท่ากับ 0 อยู่ดี
  • 2:59 - 3:03
    ดังนั้นความยาวของเวกเตอร์จำนวนจริงใด ๆ จะมากกว่า
  • 3:03 - 3:04
    เท่ากับ 0 เสมอ
  • 3:04 - 3:07
    แล้วนี่ก็คือความยาวของเวกเตอร์จำนวนจริง
  • 3:07 - 3:11
    นี่จะมากกว่าเท่ากับ 0
  • 3:11 - 3:14
    ทีนี้, ในวิดีโอที่แล้ว, ผมว่าวิดีโอสองอันที่แล้ว, ผม
  • 3:14 - 3:19
    ได้แสดงว่าขนาด หรือความยาวของเวกเตอร์
  • 3:19 - 3:23
    กำลังสอง สามารถเขียนใหม่ในรูปของดอทโปรดัค
  • 3:23 - 3:25
    ของเวกเตอร์นั้นกับตัวเอง
  • 3:25 - 3:27
    งั้นลองเขียนเวกเตอร์นี้ใหม่กัน
  • 3:30 - 3:33
    ความยาวของเวกเตอร์นี้กำลังสอง เท่ากับ ดอท
  • 3:33 - 3:34
    โปรดัคของเวกเตอร์นั้นกับตัวเอง
  • 3:34 - 3:45
    มันก็คือ ty ลบ x ดอท ty ลบ x
  • 3:45 - 3:49
    ในวิดีโอที่แล้ว, ผมแสดงให้คุณเห็นว่า คุณสามารถมอง
  • 3:49 - 3:52
    การคูณ หรือทำดอทโปรดัคเหมือนกัน
  • 3:52 - 3:54
    กับการคูณธรรมดา ในเรื่อง
  • 3:54 - 3:57
    ของสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม, กระจาย และ
  • 3:57 - 3:58
    สลับที่
  • 3:58 - 4:00
    ตอนคุณคูณนี่, คุณก็รู้, คุณอาจ
  • 4:00 - 4:02
    มองว่านี่เป็นการคูณทวินาม
  • 4:02 - 4:05
    คุณก็ทำแบบเดียวกับที่คุณคูณ
  • 4:05 - 4:07
    ทวินาม คูณแบบทั่ว ๆ ไป
  • 4:07 - 4:11
    ที่สุดแล้วคุณก็แค่ใช้สมบัติการกระจาย
  • 4:11 - 4:14
    แต่จำไว้, นี่ไม่ใช่การคูณธรรมดา
  • 4:14 - 4:15
    เรายังคงใช้ดอทโปรดัคอยู่
  • 4:15 - 4:18
    นี่คือการคูณเวกเตอร์ หรือการคูณเวกเตอร์
  • 4:18 - 4:19
    แบบนึง
  • 4:19 - 4:25
    แล้วหากเรากระจายมันออก, นี่จะกลายเป็น ty ดอท ty
  • 4:25 - 4:26
    ขอผมเขียนออกมานะ
  • 4:26 - 4:31
    นั่นก็คือ ty ดอท ty
  • 4:31 - 4:36
    แล้วเราจะได้ ลบ -- ขอผมทำแบบนี้นะ
  • 4:36 - 4:43
    เราก็ได้ ลบ x คูณ ty นี่
  • 4:43 - 4:45
    แทนที่จะบอกว่าคูณ, ผมควร
  • 4:45 - 4:46
    ระวัง ต้องเรียกว่า ดอท
  • 4:46 - 4:52
    งั้น ลบ x ดอท ty
  • 4:52 - 4:59
    แล้วคุณก็ได้ ty นี่คูณ ลบ x
  • 4:59 - 5:05
    แล้วคุณได้ลบ ty ดอท x
  • 5:05 - 5:09
    สุดท้าย, คุณก็ได้ x ดอทกับตัวเอง
  • 5:09 - 5:13
    คุณอาจมองมันเป็น ลบ 1x ดอท ลบ 1x
  • 5:13 - 5:16
    หรือบกว่า บวก ลบ 1x
  • 5:16 - 5:22
    ผมแค่มองว่านี่เป็นบวก ลบ 1 หรือ บวก ลบ 1
  • 5:22 - 5:26
    นี่ก็คือ ลบ 1x ดอท ลบ 1x
  • 5:26 - 5:27
    ลองดูกัน
  • 5:27 - 5:30
    นี่ก็คือสิ่งที่พจน์นี้กระจาย หรือจัดรูป
  • 5:30 - 5:31
    ไปเป็นแบบนี้
  • 5:31 - 5:33
    ผมไม่เรียกนี่ว่าการจัดรูปเท่าไหร่
  • 5:33 - 5:35
    แต่เราจะใช้ความจริงที่ว่า การเขียนพจน์
  • 5:35 - 5:38
    พวกนี้สลับที่และเปลี่ยนกลุ่มได้
  • 5:38 - 5:45
    นี่เท่ากับ y ดอท y คูณ t กำลังสอง
  • 5:45 - 5:47
    t เป็นแค่สเกลาร์
  • 5:49 - 5:51
    ลบ -- ที่จริง, นี่คือ 2
  • 5:51 - 5:53
    สองอย่างนี้เทียบเท่ากัน
  • 5:53 - 5:55
    มันก็แค่เรียงใหม่ แล้วเราก็เห็นแล้ว
  • 5:55 - 5:57
    ว่าดอทโปรดัคนั้นเปลี่ยนกลุ่มได้
  • 5:57 - 6:06
    งั้นนี่ก็แค่ 2 คูณ x ดอท y คูณ t
  • 6:06 - 6:09
    ผมควรใช้อีกสีนึงนะ
  • 6:09 - 6:13
    งั้นสองเทอมนี้กลายเป็นเทอมนั่นตรงนั้น
  • 6:13 - 6:17
    แล้วหากคุณเรียงนี่ใหม่ คุณจะได้ ลบ 1
  • 6:17 - 6:17
    คูณ ลบ 1
  • 6:17 - 6:20
    มันตัดกัน, งั้นนี่จะกลายเป็น บวก แล้ว
  • 6:20 - 6:25
    คุณก็เหลือ บวก x ดอท x
  • 6:25 - 6:28
    ผมควรใช้อีกสีนึงเหมือนกัน
  • 6:28 - 6:30
    ผมจะใช้สีส้มนนะ
  • 6:30 - 6:33
    เทอมพวกนี้สุดท้ายมาอยู่กับเทอมนั่น
  • 6:33 - 6:36
    แล้วแน่นอน, เทอมนั้นกลายเป็นเทอมนั้น
  • 6:36 - 6:38
    จำไว้, ที่ผมทำก็แค่ เขียนเทอม
  • 6:38 - 6:38
    พวกนี้ใหม่ แล้วบอกว่า ดูสิ
  • 6:38 - 6:42
    นี่ต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 0
  • 6:42 - 6:45
    ผมสามารถเขียนใหม่ตรงนี้ได้
  • 6:45 - 6:46
    สิ่งนี่ก็ยังเหมือนเดิม
  • 6:46 - 6:47
    ผมแค่เขียนมันใหม่
  • 6:47 - 6:53
    นี่ก็ยังมากกว่าเท่ากับ 0 เหมือนเดิม
  • 6:53 - 6:55
    ทีนี้ลองทำการแทนค่าไปหน่อย เพื่อให้
  • 6:55 - 6:57
    เทอมที่เรามีสะอาดขึ้นหน่อย
  • 6:57 - 6:59
    เราจะแทนค่าลงในนี้ทีหลัง
  • 6:59 - 7:02
    ลองนิยามนี่ว่า a แล้วกัน
  • 7:02 - 7:08
    แล้วนิยามส่วนนี้ตรงนี้ว่า b
  • 7:08 - 7:10
    ส่วนทั้งหมดนี่ ลบ 2x ดอท y
  • 7:10 - 7:12
    ผมจะปล่อย t ไว้
  • 7:12 - 7:17
    แล้วนิยามนี่ ขอผมกำหนด
  • 7:17 - 7:18
    ให้นี่ตรงนี้คือ c
  • 7:18 - 7:20
    x ดอท x คือ c
  • 7:20 - 7:22
    แล้ว, พจน์เราจะกลายเป็นอะไร?
  • 7:22 - 7:30
    มันกลายเป็น a คูณ t กำลังสอง ลบ -- ผมอยาก
  • 7:30 - 7:35
    ระวังเรื่องสีหน่อย -- b คูณ t บวก c
  • 7:39 - 7:41
    และแน่นอน, เรารู้ว่ามันจะมากกว่า
  • 7:41 - 7:42
    เท่ากับ 0
  • 7:42 - 7:44
    มันก็เหมือนกับนี่ตรงนี้, มากกว่า
  • 7:44 - 7:44
    หรือเท่ากับ 0
  • 7:44 - 7:47
    ผมเขียน p ของ t ตรงนี้ได้
  • 7:47 - 7:51
    ทีนี้ นี่มากกว่าเท่ากับ 0 สำหรับ t ใด ๆ ก็ตาม
  • 7:51 - 7:52
    ที่ผมใส่่ลงไปตรงนี้
  • 7:52 - 7:54
    ผมใส่จำนวนจริง t ใด ๆ ลงไป
  • 8:01 - 8:05
    ขอผมแทนค่าฟังก์ชันที่ b ส่วน 2a แล้วกัน
  • 8:05 - 8:08
    ผมทำได้เพราะ a คืออะไร?
  • 8:08 - 8:11
    ผมต้องตรวจก่อนว่า ผมไม่ได้หารด้วย 0 ตรงไหนเลย
  • 8:11 - 8:14
    a ก็คือเวกเตอร์นี่ดอทกับตัวเอง
  • 8:14 - 8:16
    และเราบอกว่านี่คือเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์
  • 8:16 - 8:19
    นี่ก็คือกำลังสองของความยาว
  • 8:19 - 8:22
    มันเป็นเวกเตอร์ไม่ใช่ศูนย์,งั้นบางเทอมบนนี้
  • 8:22 - 8:24
    ต้องเป็นบวก ตอนคุณหาความยาว
  • 8:24 - 8:26
    สิ่งนี้ก็เลยไม่เป็นศูนย์
  • 8:26 - 8:27
    นี่เป็นเวกเตอร์ไม่ใช่ศูนย์
  • 8:27 - 8:31
    แล้ว 2 คูณดอทโปรดัคกับตัวเอง ก็
  • 8:31 - 8:31
    ไม่เท่ากับศูนย์
  • 8:31 - 8:32
    เราเลยทำนี่ได้
  • 8:32 - 8:35
    เราไม่ต้องกังวลเรื่องการหารด้วย 0 ตรงไหนอีก
  • 8:35 - 8:37
    แล้วนี่เท่ากับอะไร?
  • 8:37 - 8:39
    นี่จะเท่ากับ -- ผมจะใช้สีเขียวต่อนะ
  • 8:39 - 8:42
    มันใช้เวลานานไปในการเปลี่ยนสีน่ะ
  • 8:42 - 8:45
    นี่เท่ากับ a คูณพจน์นี้กำลังสอง
  • 8:45 - 8:49
    มันก็คือ b กำลังสอง ส่วน 4a กำลังสอง
  • 8:49 - 8:52
    ผมแค่ยกกำลังสอง 2a แล้วได้ 4a กำลังสอง
  • 8:52 - 8:55
    ลบ b คูณนี่
  • 8:55 - 8:59
    งั้น b คูณ -- นี่ก็แค่การคูณธรรมดา
  • 8:59 - 9:02
    b คูณ b ส่วน 2a
  • 9:02 - 9:04
    แค่เขียนเทอมธรรมดาตรงนี้
  • 9:04 - 9:05
    บวก c
  • 9:05 - 9:08
    และเรารู้ว่าทั้งหมดนั่น ต้องมากกว่าเท่ากับ 0
  • 9:08 - 9:12
    ทีนี้หากเราจัดรูปนี่หน่อย, เราจะได้อะไร?
  • 9:12 - 9:15
    ทีนี่ a นี่ตัดกับเลขชี้กำลังตรงนี้ แล้ว
  • 9:15 - 9:18
    คุณก็ได้ b กำลังสอง ตรงนี้
  • 9:18 - 9:26
    เราเลยได้ b กำลังสอง ส่วน 4a ลบ b กำลังสอง ส่วน 2a
  • 9:26 - 9:28
    นั่นคือเทอมนั่นตรงนั้น
  • 9:28 - 9:32
    บวก c มากกว่าหรือเท่ากับ 0
  • 9:32 - 9:33
    ขอผมเขียนนี่ใหม่นะ
  • 9:33 - 9:37
    หากผมคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 2
  • 9:37 - 9:38
    ผมจะได้อะไร?
  • 9:38 - 9:41
    ผมจะได้ 2b กำลังสอง ส่วน 4a
  • 9:41 - 9:43
    และสาเหตุที่ผมทำแบบนั้น เพื่อให้ได้
  • 9:43 - 9:45
    ตัวหารร่วมตรงนี้
  • 9:45 - 9:46
    แล้วคุณได้ออะไร?
  • 9:46 - 9:50
    คุณจะได้ b กำลังสอง ส่วน 4a ลบ 2b กำลังสอง ส่วน 4a
  • 9:50 - 9:53
    แล้วสองเทอมนี้จัดรูปได้อะไร?
  • 9:53 - 9:55
    ตัวเศษคือ b กำลังสอง ลบ 2b กำลังสอง
  • 9:55 - 10:01
    มันก็กลายเป็น ลบ b กำลังสอง ส่วน 4a บวก c
  • 10:01 - 10:03
    มากกว่าเท่ากับ 0
  • 10:03 - 10:07
    สองเทอมนี้รวมกันเป็นเทอมนี่ตรงนี้
  • 10:07 - 10:11
    ทีนี้หากเราบวกนี่ทั้งสองข้างของสมการ, เราจะได้
  • 10:11 - 10:16
    c มากกว่าเท่ากับ b กำลังสอง ส่วน 4a
  • 10:16 - 10:18
    มันเป็นลบทางซ้ายมือ
  • 10:18 - 10:20
    หากผมบวกมันทั้งสองข้าง มันจะเป็นบวก
  • 10:20 - 10:22
    ทางขวามือแทน
  • 10:22 - 10:24
    เราใกล้ได้อะไรที่หน้าตาเป็นอสมการแล้ว
  • 10:24 - 10:28
    ลองแทนค่ากลับไปเพื่อดู
  • 10:28 - 10:30
    ว่าเราได้อะไรตรงนี้
  • 10:30 - 10:33
    ผมได้แทนค่าอะไรไว้นะ?
  • 10:33 - 10:36
    มันอยู่ตรงนี้ไง
  • 10:36 - 10:38
    ที่จริง, เพื่อจัดรูปไปอีก, ขอผมคูณทั้งสองข้าง
  • 10:38 - 10:39
    ด้วย 4a นะ
  • 10:41 - 10:43
    ผมบอกว่า a, ไม่ใช่แค่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น
  • 10:43 - 10:44
    มันยังเป็นบวกด้วย
  • 10:44 - 10:46
    นี่คือความยาวกำลังสอง
  • 10:46 - 10:50
    และผมได้แสดงให้คุณเห็นแล้วว่าความยาวของ
  • 10:50 - 10:51
    เวกเตอร์จำนวนจริงใด ๆ ย่อมเป็นบวก
  • 10:51 - 10:53
    และสาเหตุที่ผมต้องเสียเวลาแสดงว่า a
  • 10:53 - 10:56
    เป็นบวก เพราะหากผมใช้มันคูณทั้งสองข้าง
  • 10:56 - 10:58
    ผมไม่อยากเปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
  • 10:58 - 11:00
    งั้นขอผมคูณทั้งสองข้างของอันนี้ด้วย a ก่อนที่
  • 11:00 - 11:00
    ผมจะแทนค่ากลับ
  • 11:00 - 11:08
    เราก็ได้ 4ac มากกว่าหรือเท่ากับ b กำลังสอง
  • 11:08 - 11:08
    ได้แล้ว
  • 11:08 - 11:10
    จำไว้, ผมเสียเวลามาแล้ว
  • 11:10 - 11:13
    ผมบอกไปว่า a เป็นเลขบวกแน่นอน เพราะมันคือ
  • 11:13 - 11:17
    ความยาวกำลังสอง y ดอท y คือความยาวของ
  • 11:17 - 11:19
    y กำลังสอง, มันเลยมีค่าเป็นบวก
  • 11:19 - 11:20
    มันต้องเป็นบวก
  • 11:20 - 11:22
    เรากำลังอยู่กับเวกเตอร์จำนวนจริงอยู่
  • 11:22 - 11:24
    ทีนี้ลองแทนค่าพวกนี้กลับไป
  • 11:24 - 11:30
    งั้น 4 คูณ a, 4 คูณ y ดอท y
  • 11:30 - 11:33
    y ดอท y ก็คือ -- ผมเขียนมันตรงนี้ก็ได้
  • 11:33 - 11:39
    y ดอท y ก็เหมือนกับ ขนาดของ y กำลังสอง
  • 11:39 - 11:40
    นั่นคือ y ดอท y
  • 11:40 - 11:43
    นี่คือ a
  • 11:43 - 11:46
    y ดอท y, ผมแสดงให้คุณเห็นแล้วในวิดีโอก่อน
  • 11:46 - 11:47
    คูณ c
  • 11:47 - 11:50
    c คือ x ดอท x
  • 11:50 - 11:54
    ทีนี้ x ดอท x ก็เหมือนกับ
  • 11:54 - 11:56
    ความยาวของเวกเตอร์ x กำลังสอง
  • 11:56 - 11:57
    นี่คือ c
  • 11:57 - 12:01
    แล้ว 4 คูณ a คูณ c จะมากกว่า
  • 12:01 - 12:04
    เท่ากับ b กำลังสอง
  • 12:04 - 12:07
    ทีนี้ b คืออะไร? b ก็คือนี่ตรงนี้
  • 12:07 - 12:15
    b กำลังสองก็คือ 2 คูณ x ดอท y กำลังสอง
  • 12:15 - 12:18
    เราเลยได้ผลออกมาแบบนี้
  • 12:18 - 12:20
    แล้วเราจะทำอะไรกับมันได้?
  • 12:20 - 12:21
    โอ้ ขอโทษที, ทั้งหมดนี่กำลังสอง
  • 12:21 - 12:23
    สิ่งนี่ทั้งหมดนี่คือ b
  • 12:23 - 12:25
    งั้นลองดูว่าเราจะจัดรูปนี่ได้ไหม
  • 12:25 - 12:28
    เราก็ได้ -- ขอผมเปลี่ยนสีหน่อยนะ
  • 12:28 - 12:35
    4 คูณความยาว y กำลังสอง คูณความยาว x
  • 12:35 - 12:38
    กำลังสอง มากกว่าเท่ากับ -- หากเรากำลังสอง
  • 12:38 - 12:46
    เจ้านี่ตรงนี้, เราจะได้ 4 คูณ x ดอท y
  • 12:46 - 12:55
    4 คูณ x ดอท y คูณ x ดอท y
  • 12:55 - 12:57
    ที่จริง, ยิ่งกว่านั้น, ผมยังเขียนแบบนี้ได้
  • 12:57 - 13:01
    ขอผมเขียนเป็น 4 คูณ x ดอท y กำลังสอง
  • 13:01 - 13:03
    ตอนนี้เราหารทั้งสองข้างด้วย 4
  • 13:03 - 13:05
    มันไม่ได้เปลี่ยนเครื่องหมายอสมการ
  • 13:05 - 13:06
    นั่นก็ตัดกันไป
  • 13:06 - 13:08
    ตอนนี้เราก็หาสแควร์รูทของ
  • 13:08 - 13:10
    ทั้งสองข้างของสมการ
  • 13:10 - 13:13
    สแควร์รูททั้งสองข้างของสมการ --
  • 13:13 - 13:15
    พวกนี้เป็นค่าบวกหมด, งั้นสแควร์รูทของข้างนี้
  • 13:15 - 13:17
    คือสแควร์รูทของแต่ละเทอม นั่นมาจาก
  • 13:17 - 13:18
    สมบัติของเลขชี้กำลัง
  • 13:18 - 13:21
    ดังนั้นหากคุณหาสแควร์รูทของทั้งสองข้าง คุณจะได้
  • 13:21 - 13:28
    ความยาวของ y คูณความยาวของ x มากกว่าเท่ากับ
  • 13:28 - 13:30
    สแควร์รูทของอันนี้
  • 13:30 - 13:32
    เราก็หาสแควร์รูทที่เป็นบวก
  • 13:32 - 13:33
    เราจะหาสแควร์รูทที่เป็นบวก
  • 13:33 - 13:34
    ทั้งสองข้างของสมการนี้
  • 13:34 - 13:37
    นั่นปกป้องเราจากเรื่องยุ่งยาก
  • 13:37 - 13:38
    จากอสมการ เครื่องหมายอะไรนั่น
  • 13:38 - 13:43
    งั้นสแควร์รูทที่เป็นบวก จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์
  • 13:43 - 13:44
    ของ x ดอท y
  • 13:44 - 13:46
    และผมต้องบอกว่านี่คือ ค่าสัมบูรณ์
  • 13:46 - 13:51
    ด้วยเพราะเป็นไปได้ที่สิ่งนี่ตรงนี้
  • 13:51 - 13:52
    จะเป็นค่าลบ
  • 13:52 - 13:56
    แต่ตอนคุณยกกำลังสองมัน, คุณต้องระดวัง
  • 13:56 - 13:57
    ตอนคุณหาสแควร์รูท คุณ
  • 13:57 - 13:58
    ต้องได้ค่าบวกเสมอ
  • 13:58 - 14:02
    เพราะไม่อย่างนั้น ตอนคุณหาสแควร์รูทตัวหลัก, เรา
  • 14:02 - 14:04
    อาจทำให้อสมการเพี้ยนไปได้
  • 14:04 - 14:07
    เราก็หาสแควร์รูทที่เป็นบวก, ก็คือ --
  • 14:07 - 14:09
    หากคุณใส่ค่าสัมบูรณ์, คุณก็มั่นใจได้
  • 14:09 - 14:11
    ว่ามันต้องเป็นบวก
  • 14:11 - 14:12
    และนี่คือผลของเรา
  • 14:12 - 14:16
    ค่าสัมบูรณ์ของดอทโปรดัค ระหว่างเวกเตอร์ น้อยกว่า
  • 14:16 - 14:20
    ผลคูณของความยาวเวกเตอร์ทั้งสอง
  • 14:20 - 14:22
    เราเลยได้อสมการของโคชี - ชวอช มา
  • 14:28 - 14:37
    สิ่งสุดท้ายที่ผมบอกไว้คือว่า ลองดู, เกิดอะไรขึ้นหาก x
  • 14:37 - 14:40
    เท่ากับสเกลาร์สักตัวคูณ y?
  • 14:40 - 14:41
    ในกรณีนี้, ค่าสัมบูรณ์จะเป็นอย่างไร?
  • 14:41 - 14:46
    ค่าสัมบูรณ์ของ x ดอท y คืออะไร?
  • 14:46 - 14:49
    มันจะเท่ากับ -- เท่ากับอะไรนะ?
  • 14:49 - 14:51
    หากเราแทนค่า เท่ากับค่าสัมบูรณ์
  • 14:51 - 14:53
    ของ c คูณ y
  • 14:53 - 14:59
    นั่นก็แค่ x ดอท y, ซึ่งเท่ากัน แค่ใช้
  • 14:59 - 15:01
    สมบัติสับกลุ่ม
  • 15:01 - 15:05
    มันจะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของ c คูณ -- เราอยากได้
  • 15:05 - 15:08
    ค่าสัมบูรณ์ เพื่อให้ทุกอย่างเป็นบวก
  • 15:08 - 15:11
    y ดอท y
  • 15:11 - 15:22
    ทีนี้ นี่ก็เท่ากับ c คูณขนาดของ y --
  • 15:22 - 15:24
    ความยาวของ y กำลังสอง
  • 15:24 - 15:31
    ทีนี่ นั่นก็จะเท่ากับขนาดของ c คูณ -- หรือ
  • 15:31 - 15:35
    ค่าสัมบูรณ์ของสเกลาร์ c คูณความยาว y ของเรา
  • 15:40 - 15:44
    นี่ตรงนี้, ผมเขียนนี่ใหม่ได้
  • 15:44 - 15:47
    ผมหมายถึง คุณสามารถพิสูจน์ด้วยตัวเอง หากคุณไม่เชื่อ
  • 15:47 - 15:50
    แต่นี่ -- เราสามารถใส่ c ข้างในขนาดได้
  • 15:50 - 15:52
    มันเป็นแบบฝึกหัดที่ดีให้คุณฝึกพิสูจน์
  • 15:52 - 15:52
    แต่มันก็ตรงไปตรงมา
  • 15:52 - 15:54
    คุณแค่ใช้นิยามของความยาว
  • 15:54 - 15:56
    คูณมันด้วย c
  • 15:56 - 16:02
    นี่เท่ากับขนาดของ cy คูณ -- ขอผมพูดว่า
  • 16:02 - 16:07
    ความยาวของ cy คูณความยาว y
  • 16:07 - 16:11
    ผมลืมเครื่องหมายเวกเตอร์ไว้สักที่ตรงนี้
  • 16:11 - 16:12
    ได้แล้ว
  • 16:12 - 16:14
    ตรงนี้, นี่คือ x
  • 16:14 - 16:19
    นี่ก็เท่ากับความยาวของ x คูณความยาวของ y
  • 16:19 - 16:21
    ผมได้แสดงส่วนที่สองของอสมการ
  • 16:21 - 16:25
    โคชี-ชวอชให้ดูแล้ว ว่านี่จะเท่ากัน
  • 16:25 - 16:29
    พอดีหากตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับสเกลาร์คูณอีกตัว
  • 16:29 - 16:30
    หากคุณไม่ชอบบางขั้น
  • 16:30 - 16:32
    ที่ผมทำไป, คุณก็ลองฝึกพิสูจน์
  • 16:32 - 16:32
    มันดู
  • 16:32 - 16:36
    ตัวอย่างเช่น, ลองพิสูจน์ว่าค่าสัมบูรณ์ของ c คูณ
  • 16:36 - 16:39
    ความยาวเวกเตอร์ y ก็เหมือนกับ
  • 16:39 - 16:42
    ความยาวของ c คูณ y
  • 16:42 - 16:44
    เอาล่ะ, หวังว่าคุณคงเห็นประโยชน์มันนะ
  • 16:44 - 16:47
    อสมการโคชี-ชวอช นั่น เราจะใช้บ่อยตอนเรา
  • 16:47 - 16:50
    พิสูจน์ผลอื่น ๆ ในพีชคณิตเชิงเส้น
  • 16:50 - 16:51
    และในวิดีโอหน้า, ผมจะอธิบายแนวคิด
  • 16:51 - 16:54
    ว่าทำไมมันถึงเป็นอย่างนั้น เมื่อเทียบ
  • 16:54 - 16:56
    กับดอทโปรดัค
Title:
บทพิสูจน์อสมการของโคชี-ชวอช (Cauchy-Schwarz Inequality)
Description:

บทพิสูจน์อสมการของโคชี-ชวอช
more » « less
Video Language:
English
Duration:
16:55
Umnouy Ponsukcharoen added a translation

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.