Prova da Inequação de Cauchy-Schwarz

Digamos que eu possua dois vetores não-nulos.

Digamos que o primeiro vetor seja x, o segundo vetor, y.

Ambos são parte do nosso conjunto.

Ambos estão no conjunto Rn e eles não são nulos.

Disso provém que o valor absoluto deles... deixe-me fazer isso

em uma cor diferente.

Esta cor é legal.

O valor absoluto do produto escalar dos dois

vetores... e lembre-se, isso é apenas um valor escalar... é

menor ou igual que o produto dos seus comprimentos.

E nós já definimos o produto escalar e nós já

definimos também os comprimentos.

Isso é menor ou igual ao produto dos seus comprimentos e

apenas para o levar mais além, a única circunstância que isso for

igual, então que o produto escalar de dois vetores apenas será

igual aos comprimentos disso... igual ou menor

que ou que a igualdade se aplica apenas à situação... deixe-me escrever

aqui embaixo... quando um destes vetores for um múltiplo escalar

do outro.

Ou seja, que eles forem colineares.

Você sabe, um deles é algo como uma versão alongada ou encurtada

do outro.

Então apenas na situação quando, digamos x é igual a

algum múltiplo escalar de y.

Estas inequações ou eu espero que a equalidade desta

inequação, isso é chamada a Inequação de Cauchy-Schwarz.

Inequação de Cauchy-Shwarz.

Então vamos demonstrá-la porque você não pode aceitar isso

apenas como um valor de face.

Você não pode aceitar isso!

Então deixe-me construir algo como uma função artificial.

Deixe-me construir alguma função de... isso é uma função de algumas

variáveis, algum t escalar...

Deixe-me definir p de t como sendo igual ao comprimento do

vetor t vezes o vetor... algum escalar t, vezes o vetor

y menos o vetor x.

Isso é o comprimento do vetor.

Isso irá agora ser o vetor.

Isso ao quadrado.

Agora, antes de eu avançar, eu gostaria de fazer um

comentário bem aqui...

Se eu pegar o comprimento de qualquer vetor, e eu farei isso aqui.

Digamos que eu peguei o comprimento de um vetor v...

Eu quero que você aceite que isso será um número

positivo, ou ao menos que isso será maior ou igual a zero...

Porquê isso irá ocorrer quando eu elevar todos estes termos ao quadrado.

v2 ao quadrado... por toda a vida... até vn ao quadrado.

Todos estes são números reais.

E quando você eleva um número real ao quadrado, você obterá sempre algo maior ou

igual a zero.

Quando você os soma, você terá algo

maior ou igual a zero.

E você pega a raiz quadrada disso, a raiz quadrada

principal, a raiz positiva, e você terá

algo maior ou igual a zero.

Então o comprimento de qualquer vetor real ira ser maior

ou igual a zero.

Então este é o comprimento do vetor real.

Então isso será maior ou igual a zero.

Agora, no vídeo anterior, eu penso que dois vídeos atrás...

também mostrei que a magnitude ou o comprimento de um vetor

elevado ao quadrado também pode ser reescrita como o produto vetorial

daquele vetor por ele mesmo.

Então vamos reescrever este vetor desta maneira.

O comprimento deste vetor ao quadrado é igual ao produto

vetorial deste vetor por ele mesmo.

Então isso é ty menos x ponto ty menos x.

No último vídeo, eu mostrei a você que você pode tratar a

multiplicação ou você pode tratar o produto escalar de maneira

bastante similar à multiplicação, quando ele ocorrer,

nas propriedades associativa, distributiva

e comutativa.

Então quando você multiplicar estes, você sabe, você pode tipo

ver isso como a multiplicação destes dois binomiais...

Você pode fazer isso da mesma maneira que você pode apenas multiplicar

dois binomiais algébricos.

Você está de fato apenas usando a propriedade distributiva.

Mas lembre-se, isso não é apenas uma multiplicação comum.

O que estamos fazendo é um produto escalar.

Isto é uma multiplicação vetorial, ou uma das versões de multiplicação

de vetores.

Então se nós distribuirmos isso, isso será ty ponto ty.

E então deixe-me escrever isso.

Isso será ty ponto ty.

E quando nós tivermos um menos... Deixe-me fazer desta maneira.

Quando nós tivermos o menos x vezes este ty...

Ao invés de dizer "vezes", eu deveria dizer com muito

cuidado "escalar"!

Então x escalar ty...

E quando você tem este ty vezes este menos x...

Então você tem menos ty escalar x...

E então finalmente, você tem os xs escalar com todos os outros...

E você pode os ver como menos 1x escalar 1x.

Você pode dizer mais -1x.

Eu posso ter isso apenas como um mais -1 ou + menos 1.

E então isso é menos 1x escalar menos 1x.

Agora vejamos.

Então esta é a maneira de expandir ou simplificar

toda a minha equação.

Eu realmente não posso chamar isso de simplificação.

Mas nós podemos usar o fato de que isso é comutativo e

associativo para reescrever esta equação bem aqui...

Isso é igual a y escalar y vezes ao quadrado.

t é apenas um escalar.

Menos... e isso de fato são 2...

Estas duas coisas são equivalentes.

Elas apenas foram rearranjadas e nós vimos que

o produto escalar é associativo!

Então isso é igual a 2 vezes x escalar y vezes t.

E eu talvez possa fazer isso em uma cor diferente...

Então estes dois termos resultam neste termo bem aqui.

E se você apenas os rearranjar você terá um menos 1

vezes um menos 1.

Eles se cancelam e então isso se torna mais e nós

restamos com mais x escalar x.

E eu poderia fazer isso em outra cor ainda diferente...

Eu farei isso em laranja.

Então estes termos terminam com aquele termo.

E agora é claro, aquele termo resulta neste termo...

E lembre-se, a única coisa que eu fiz foi reescrever essa

coisa e dizer, "olhe...

Isso precisou se tornar maior ou igual a zero!

Então eu posso reescrever isso aqui...

Esta coisa continua sendo a mesma...

Eu apenas a reescrevi!

Então tudo isso deverá se tornar maior ou igual a zero.

Agora vamos fazer um pouco de substituições apenas para

limpar nossa expressão...

E mais tarde eu substituirei de volta nisso aqui...

Vamos definir isso como sendo a.

Vamos definir esta peça bem aqui como b...

Então a coisa toda, menos 2x escalar y...

E eu deixarei o t aqui.

E vamos definir isso ou deixe-me definir

isso bem aqui como c.

x escalar x como c.

E então, como ficará esta expressão toda?

Isso se torna a vezes t ao quadrado menos... Eu preciso ser cauteloso

com as cores... b vezes t mais c.

E é claro, nós sabemos que isso se tornará maior

ou igual a zero.

Isso é a mesma coisa que isso bem aqui, maior

ou igual a zero.

Eu poderia escrever p de t aqui.

Agora isso é maior ou igual a zero para qualquer y que eu

colocar aqui!

Para qualquer t real que eu puser aqui!

Deixe-me resolver nossa função para b sobre 2a.

E eu decerto posso fazer isso, porquê o que era a?

Eu apenas tenho que me certificar de que eu não estou dividindo por zero em algum lugar...

Então isso era este vetor escalar dele mesmo...

E nós dissemos que isso era um vetor não nulo.

Então isso é o quadrado deste comprimento.

Isto é um vetor não nulo, então alguns destes termos bem aqui devem

se tornar positivos quando você tomar os seus comprimentos!

Então esta coisa bem aqui é diferente de zero!

Isto é um vetor não nulo!

Então 2 vezes o produto escalar com ele mesmo irá ser

diferente de zero!

Então nós podemos fazer isso.

Nós não temos que nos preocupar em estarmos dividindo por zero, ou outra coisa...

Mas o que isso irá ser igual?

Isso irá ser igual a... e agora eu irei tentar resistir no verde...

Isso toma tempo, ficar trocando de cores...

Isso é igual a a vezes esta expressão ao quadrado.

Então isso é b ao quadrado sobre 4a ao quadrado.

Eu apenas elevei 2a ao quadrado para obter o 4a ao quadrado.

Menos b vezes isso...

Então b vezes... isso é apenas uma multiplicação comum!

b vezes b sobre 2a.

Apenas escrevendo uma multiplicação comum...

Mais c.

E nós sabemos que tudo isso é maior ou igual a zero.

Agora se nós simplificarmos isso um pouco, o que nós teremos?

Bem, isso se cancela com este expoente aqui e você

termina com um a b ao quadrado bem aqui.

Então nós pegamos b ao quadrado sobre 4a menos b ao quadrado sobre 2a.

Isto é este termo bem aqui.

Mais c é maior ou igual a zero.

Deixe-me reescrever isso.

Se eu multiplicar o numerador e o denominador disso por 2...

O que eu obtenho?

Eu fico com 2b ao quadrado sobre 4a.

E a razão de eu ter feito isso foi para conseguir

um denominador comum aqui.

Então o que eu obtenho?

Você pega b ao quadrado sobre 4a menos 2b ao quadrado sobre 4a.

Então o que simplifica estes termos?

Bem, o numerador é b ao quadrado menos 2b ao quadrado.

Então isso se torna apenas menos b ao quadrado sobre 4a mais c que

é maior ou igual a zero!

Estes dois termos somam para aquele bem ali...

Agora se nós adicionarmos isso aos dois lados da equação, nós obtemos

c que é maior ou igual a b ao quadrado sobre 4a.

Isso recebeu um negativo no lado esquerdo.

Então se eu somar isso aos dois lados isso irá ficar positivo

no lado direito.

Nós estamos nos aproximando de algo que se parece com uma inequação...

Então vamos reverter nossas substituições originais para ver

agora o que temos...

Então quais foram as substituições originais que eu fiz?

Isso está bem aqui!

E agora, apenas para simplificar mais, deixe-me multiplicar ambos

os lados por 4a.

Eu disse a, não apenas que isso é diferente de zero...

Isso irá ser positivo!

Isso é o quadrado deste comprimento.

E eu realmente lhe mostre que o comprimento de qualquer vetor

real terá que ser positivo.

E a razão pela qual eu estou penando para mostrar que a é

positivo é porquê se eu multiplicar ambos os lados disso eu

não quero ter que mudar o sinal da inequação!

Então deixe-me multiplicar ambos os lados disso por a antes de eu

substituír.

Então nós temos que 4ac é maior ou igual a b ao quadrado.

E aí vamos nós...

E lembre-se que eu penei um bocado...

E eu afirmei que a é definitivamente um número positivo porquê isso

é essencialmente o quadrado do comprimento, y escalar y é o quadrado

do comprimento de y, então isso é um valor positivo.

Isso tem que ser positivo!

Nós estamos lidando com vetores reais!

Agora vamos reverter a substituição disso...

Então 4 vezes a, 4 vezes y escalar y.

y escalar y é também... Eu espero já ter escrito isso...

y escalar y é a mesma coisa que a magnitude de y ao quadrado.

Isso é y escalar y.

Isso é a...

y escalar y... eu mostrei isso no vídeo anterior...

Vezes c.

c é x escalar x.

Bem, x escalar x é a mesma coisa que

o comprimento do vetor x ao quadrado.

Então isso era c...

Então 4 vezes a vezes c irá ser maior ou igual

a b ao quadrado.

E agora o que era b? Era esta coisa aqui...

Então b ao quadrado deverá ser 2 vezes x escalar y ao quadrado.

E então nós chegamos neste resultado.

E o que nós podemos fazer com isso?

A, desculpe-me... e esta coisa toda é ao quadrado!

Esta coisa toda bem aqui é b.

Então vejamos se podemos simplificar isso...

Então nos obtemos... deixe-me trocar de cor...

4 vezes o comprimento de y ao quadrado vezes o comprimento de x

ao quadrado é maior ou igual a... se nós elevarmos isso ao quadrado

nós obtemos 4 vezes x escalar y.

4 vezes x escalar y vezes x escalar y.

De fato, ainda melhor, deixe-me escrever isso como isso aqui...

Deixe-me apenas escrever 4 vezes x escalar y ao quadrado.

Agora nós podemos dividir ambos os lados por 4.

E nós não vamos mudar nossa inequação.

Então isso apenas cancela aqui...

E agora nós temos que fazer a raiz quadrada de ambos

os lados desta equação.

Então as raízes de ambos os lados desta equação... estes

são valores positivos, e então a raiz quadrada deste lado é

a raiz quadrada de cada um de seus termos. Isso é

apenas uma propriedade do expoente.

Então se você fizer a raiz quadrada em ambos os lados você obtém

o comprimento de y vezes o comprimento de x que é maior ou igual

à raiz quadrada disso...

E nós iremos tomar a raiz quadrada positiva.

Nós iremos pegar a raiz quadrada positiva de ambos

os lados desta equação.

Isso nos evita de nos embaralharmos com alguma coisa da

inequação ou algo assim...

Então a raiz positiva irá ser o valor absoluto

de x escalar y.

E eu gostaria de ser bem cauteloso para dizer que isso é o

valor absoluto, porque é possível que esta coisa bem aqui tenha

um valor negativo.

Mas quando você eleva isso ao quadrado, você precisa ser ser bem cauteloso para quando

fazer a raiz quadrada disso que você permaneça

no valor positivo!

Porquê de outra forma, quando você pegar a raiz quadrada principal, você

pode se atrapalhar na inequação!

Nós estamos tomando a raiz quadrada positiva, que irá ser...

então se você tomar o valor positivo, você está assegurando que

isso irá ser positivo!

Mas este é o nosso resultado!

O valor absoluto do produto escalar dos nossos vetores é menor

que o produto do comprimento dos dois vetores.

E então nós chegamos à nossa inequação de Cauchy-Shwarz!

Agora, a última coisa que eu disse foi "olhe, o que ocorre se x é

igual a algum escalar múltiplo de y?

Bem, sente caso, qual o valor absoluto?

O valor absoluto de x escalar y?

Bem, isso é igual... Isso é igual a quê?

Se nós substituirmos, isso fica igual ao valor absoluto

de c vezes y.

Então isso é apenas x escalar y, que é igual ao resultado da

propriedade associativa.

Isso é igual ao valor de c vezes... nós queremos

ter certeza do nosso valor absoluto, manter tudo positivo!

y escalar y.

Bem isso é apenas igual a c vezes a magnitude de y... o comprimento

de y ao quadrado.

Bem, isso é apenas igual à magnitude de c vezes... ou o valor

absoluto do nosso escalar c vezes nosso comprimento de y.

Bem, isso bem aqui... Eu posso reescrever...

Eu digo que você pode provar isso a você mesmo se você não acreditar

nisso, mas isso... nós podemos colocar c para dentro da magnitude

e isso poderia ser um bom exercício para você provar.

Isso é bastante simples.

Você apenas faz a definição de comprimento.

E você a multiplica por c...

Isso é igual à magnitude de cy vezes... digamos que o

comprimento de cy vezes o comprimento de y...

Eu perdi minha notação vetorial em algum lugar por aqui.

E aqui vamos nós...

Agora isso é x...

Então isso é igual ao comprimento de x vezes o comprimento de x...

E então eu lhe mostrei algo como a segunda parte da

Inequação de Cauchy-Schwarz que é apenas igual entre

si se um deles for um escalar múltiplo do outro!

Se você se sentiu um pouco desconfortável com algum dos

passos que eu fiz, será um bom exercício

para você provar isso!

Por exemplo, provar que o valor absoluto de c vezes o

comprimento do vetor y é a mesma coisa que

o comprimento de c vezes y.

De qualquer maneira, na esperança de que você tenha achado isso bastante útil!

Nós usamos bastante a Inequação de Cauchy-Schwarz quando nós provamos

outros resultados da álgebra linear.

E em um vídeo futuro, eu irei lhe trazer mais

intuições sobre como isso faz sentido para o

produto escalar.