Dowód nierówności Cauchy'ego-Shwarza.

Dowód nierówności Cauchy'ego-Shwarza.

Powiedzmy, że mam dwa niezerowe wektory

Powiedzmy, że pierwszy z nich to x, z drugi to y.

Oba są elementami przestrzeni R^n i są niezerowe.

Okazuje się, że wartość bezwzględna ich... -

napiszę to innym kolorem.

Ten kolor jest ładny.

Wartość bezwzględna iloczynu skalarnego
dwóch takich wektorów

-i pamiętaj, że jest to wielkość skalarna-

jest mniejsza lub równa iloczynowi ich długości.

Mamy już zdefiniowany iloczyn skalarny i długości.

Jest mniejszy lub równy iloczynowi ich długości i

co więcej, tylko w jednym przypadku zachodzi równość,

dlatego iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy długości tych wektorów gdy -

jest mniejszy

lub równość zachodzi tylko w jednym przypadku
-napiszę to na dole-

kiedy jeden z wektorów jest wielokrotnością drugiego.

czyli są współliniowe.

Wiesz, jeden jest dłuższą lub krótszą wersją drugiego.

Tylko wtedy gdy x jest równe y pomnożonemu
przez liczbę.

Ta nierówność jest nazywana nierównością
Cauchy'ego-Shwarza.

Nierówność Cauchy'ego-Shwarza.

Udowodnijmy to bo nie można wziąć

po prostu wartości nominalnej.

Nie można tego akceptować.

Użyję trochę sztucznej funkcji.

Użyję tej funkcji -
to funkcja pewnej zmiennej,

zmiennej t.

p(t) jest równe długości wektora -

pomnożony przez liczbę t wektor y

minus wektor x.

To jest długość tego wektora.

To będzie teraz wektor.

Podniesiony do kwadratu.

Teraz, zanim przejdę dalej
chciałbym tu zrobić małą uwagę.

Jeśli wezmę długość jakiegoś wektora,
zrobię to tutaj.

Powiedzmy biorę długość wektora v.

Chcę żebyś zrozumiał, że to będzie liczba nieujemna

czyli liczba większa lub równa zero.

Bo każdy z tych składników jest kwadratem.

v2 jest podniesiony do kwadratu i wszystkie do vn też.
Wszystkie są liczbami rzeczywistymi.

Kiedy liczbę rzeczywistą podnosisz do kwadratu

otrzymujesz coś większego lub równego 0.

Kiedy je dodajesz dostajesz coś

większego lub równego zero.

A kiedy wyciągasz z tego pierwiastek kwadratowy,

dodatni pierwiastek kwadratowy,

to masz coś większego lub równego zero.

Więc długość każdego rzeczywistego wektora

jest większa lub równa 0.

To jest długość wektora.

To jest większe lub równe 0.

Teraz, w poprzednim filmie
myślę że to było dwa filmy wcześniej,

zostało pokazane, że kwadrat długości wektora

może być zapisany jako iloczyn skalarny

tego wektora z samym sobą.

Przepiszmy to w ten sposób.

Długość wektora podniesiona do kwadratu
jest równa iloczynowi skalarnemu

tego wektora z samym sobą.

To jest ty minus x kropka ty minus x.

W poprzednim filmie pokazałem
ze możesz traktować mnożenie,

lub możesz traktować iloczyn skalarny

podobnie do zwykłego mnożenia

jeśli chodzi o dodawanie, podział

i przemienność.

Kiedy to mnożysz, wiesz,
możesz to zrobić

jak przy mnożeniu dwóch dwumianów.

Możesz to zrobić w ten sam sposób w jaki mnożymy

dwa dwumiany.

Możesz to zrobić korzystając z własności rozdzielności.

Ale pamiętaj, to nie jest zwykłe mnożenie.

Mnożymy to skalarnie.

To jest mnożenie wektorów lub

jedna z wersji mnożenia wektorów.

Jak to rozdzielimy będzie ty kropka ty.

Napiszę to tutaj.

To będzie ty kropka ty.

I kiedy weźmiemy minus -
zrobię to w ten sposób.

dostaniemy minus x razy ty.

Zamiast mówić razy
powinienem być ostrożniejszy

i powiedzieć kropka.

Mamy minus x kropka ty.

I mamy ty kropka minus x.

Czyli minus ty kropka x.

Na końcu mamy x kropka ze sobą.

I możesz to widzieć jako minus 1x kropka minus 1x.

Można powiedzieć plus minus 1x.

Możesz na to patrzeć jako na plus
minus 1 lub plus minus 1.

To jest minus 1x kropka minus 1x.

Zobaczmy.

Całe wyrażenie jest uproszczone lub

rozłożone.

Nie mogę tego naprawdę
nazwać uproszczeniem.

Ale możemy użyć faktu, że
to jest przemienne

i łączne do przepisania tego
wyrażenia tutaj.

To jest równe y kropka y pomnożone
przez kwadrat t.

T jest liczbą.

Minus - i faktycznie jest to dwa.

Te dwie rzeczy są równoważne.

To jest tylko przeorganizowane, a wiemy

że iloczyn skalarny jest łączny.

To jest równe dwa razy x kropka y pomnożone przez t.

Może powinienem to napisać innym kolorem.

Dwa razy ten wynik.

Jeśli tylko to przestawisz to masz
minus 1 razy

minus 1.

Więc to się staje

x kropka x.

I powinienem zrobić to
innym kolorem.

Napiszę to na pomarańczowo.

Te dwa warunki wynikają z tego.

I pamiętaj, że wszystko przepisałem.

To jest większe lub równe 0.

Mogę to tutaj przepisać.

To nadal jest to samo.

Przepisałem to.

To wszystko jest większe lub równe 0.

Teraz zróbmy małą zamianę żeby
uporządkować

nasze wyrażenie.

Później z powrotem to podstawimy.

Nazwijmy to a.

Nazwijmy ten kawałek tutaj b.

Całe 2x dot y.

Zostawię tutaj t.

Nazwijmy to lub nazwę to tutaj c.

x kropka x jako c.

Czym się stało nasze wyrażenie?

Zrobiło się z tego t kwadrat minus -
staram się uważać na kolory -

b razy t plus c.

Oczywiście wiemy, że to jest większe lub równe 0.

To jest to samo co tutaj,
większe lub równe 0.

Mogę zapisać funkcję p od t tutaj.

Teraz jest ona większa lub równa 0 dla każdego t.

Dla każdego rzeczywistego t które tu wstawię.

Biorę wartość funkcji p w punkcie b/2a.

I mogę to zrobić bo czym jest a?

Muszę się po prostu upewnić,
że nie dzielę przez zero.

a jest wektorem skalarnie wymnożony przez siebie.

I powiedzieliśmy, że to jest niezerowy wektor.

To jest kwadrat długości.

To jest niezerowy wektor,

więc jego długość jest większa od zera.

Więc to coś tutaj jest niezerowe.

To jest niezerowy wektor.

Dwa razy iloczyn skalarny tego
wektora przez siebie też

jest niezerowy.

Więc możemy to zrobić.

Nie martwimy się o dzielenie przez zero.

Ale ile to się równa?

To będzie równe - i będę
się trzymać zielonego.

To trwa zbyt długo żeby móc
panować nad kolorami.

To jest równe a razy to
wyrażenie do kwadratu.

To jest kwadrat b przez
4 kwadraty a.

Po prostu 2a do kwadratu i mamy 4 razy kwadrat a.

Minus b razy to.

b razy - to jest zwykłe mnożenie.

b razy b/2a.

Zapiszę to mnożenie tutaj.

Plus c.

I wiemy że to wszystko jest
większe lub równe 0.

Czy możemy trochę uprościć
to co nam wyszło?

a niweluje wykładnik

i b kwadrat tutaj.

Mamy kwadrat b przez 4a
minus kwadrat b przez 2a

Plus c jest większe lub równe zero.

Niech to przepiszę.

Jeśli pomnożę licznik i mianownik
przez 2 to co dostanę?

Dostanę 2b przez 4a.

Zrobiłem to aby uzyskać

wspólny mianownik.

Co dostajemy?

Masz kwadrat b przez 4a minus
2 razy kwadrat b przez 4a.

Jak to uprościć?

Licznik wynosi b do kwadratu minus 4 razy kwadrat b.

Z tego wynika, że minus kwadrat
b przez 4 a plus c jest

większe lub równe 0.

Dodajemy to tutaj.

Jeśli dodamy to do obu
stron nierówności

dostaniemy, że c jest większe lub
równe niż kwadrat b przez 4a

To było ujemne po lewej stronie.

Jeśli dodam to do obu stron
to będzie dodatnie

po prawej stronie.

Zbliżamy się do czegoś co
wygląda jak nierówność,

Podstawmy wszystko z powrotem

żeby zobaczyć co mamy teraz.

Gdzie są moje podstawienia
których użyłem?

To było tutaj.

Żeby bardziej uprościć
pomnóżmy obie strony

przez 4a.

a jest nie tylko niezerowe

Ono jest dodatnie.

To jest kwadrat długości.

I już pokazałem, że długość
rzeczywistego wektora

jest dodatnia.

I zadaję sobie tyle
trudu pokazując,

że a jest dodatnie, bo jeśli
mnożę obie trony przez a,

to nie chcę zmieniać
znaku nierówności.

Pomnóżmy obie strony nierówności przez a
przed podstawieniem.

Dostajemy 4ac jest większe
lub równe b do kwadratu.

I pamiętaj, włożyłem
w to wiele wysiłku.

Już powiedziałem, że a jest
na pewno dodatnie, bo jest

w istocie kwadratem długości.
y kropka y jest kwadratem

długości wektora y i
jest dodatnią wartością.

To musi być dodatnie.

Mamy do czynienia
z rzeczywistymi wektorami.

Wróćmy do podstawiania.

4 razy a, 4 razy y kropka y.

y kropka y jest też - równie
dobrze mogę to tu zapisać.

y kropka y to to samo
co wielkość y kwadrat

To jest y kropka y.

To jest a.

y kropka y, pokazywałem
Ci to na innym filmie.

Razy c.

c to x kropka x.

x kropka x to to samo co

kwadrat długości wektora x.

Więc to jest c.

4 razy a razy c jest
większe lub równe

b do kwadratu.

Teraz, czym jest b?
b było tutaj.

Kwadrat b to będzie 2 razy
x kropka y do kwadratu.

Doszliśmy do takiego wyniku.

I co możemy z tym zrobić?

Oh przepraszam, i to wszystko
jest do kwadratu.

Wszystko tutaj to b.

Zobaczmy czy możemy to uprościć.

Dostajemy - wezmę inny kolor.

4 razy kwadrat długości y
razy kwadrat długości x

jest większy lub równy -
jeśli podnieśliśmy tę wartość

do kwadratu, otrzymujemy
4 razy x kropka y.

4 razy x kropka y razy x kropka y.

Faktycznie, lepiej
zapisać to tak.

Napiszę 4 razy x kropka y do kwadratu.

Teraz możemy podzielić
obie strony przez 4.

To nie zmieni naszej nierówności.

Po prostu je zamażę.

Teraz wyciągnijmy
pierwiastek kwadratowy

z obu stron nierówności.

Pierwiastki kwadratowe z obu
stron nierówności - to

są dodatnie wartości

Jeśli wyciągniesz pierwiastek kwadratowy
z obydwu stron nierówności

dostaniesz, że długość y razy
długość x jest większa lub równa

pierwiastkowi z tego.

I będziemy brać dodatni
pierwiastek kwadratowy.

I będziemy brać dodatni
pierwiastek kwadratowy

z obu stron nierówności.

Dzięki temu unikamy bałaganu
w nierówności lub coś takiego.

Dodatni pierwiastek
kwadratowy jest wartością

bezwzględną x kropka y.

I chcę być bardzo ostrożny
mówiąc, że to jest wartość

bezwzględna ponieważ
możliwe, że tutaj

jest liczba ujemna.

Jeśli masz kwadrat, musisz uważać

kiedy bierzesz pierwiastek
kwadratowy z tego

aby dostać dodatnią wartość.

Bo inaczej kiedy weźmiemy
pierwiastek kwadratowy

możemy mieć chaos w nierównościach.

Wyciągamy dodatni pierwiastek
kwadratowy który będzie -

jeśli weźmiesz wartość
bezwzględną masz pewność

że będzie dodatni.

Ale to jest nasz wynik.

Wartość bezwzględna iloczynu
skalarnego naszych wektorów

jest mniejsza lub równa od iloczynu
długości tych wektorów.

Otrzymaliśmy nierówność Cauchy'ego-Schwarza.

Teraz ostatnia rzecz o której
powiem, co się dzieje

jeśli x jest równe
wielokrotności y?

Co jest w tym przypadku
wartością bezwzględną?

Absolutną wartością x kropka y?

Jest równy - równy czemu?

Jeśli zrobimy zmianę taką
gdzie to jest równe wartości

bezwzględnej c razy y.

To tylko x kropka y,
które jest równe tylko

z własności dodawania.

To jest równe wartości
bezwzględnej c razy - chcemy

mieć pewność, że nasza wartość
bezwzględna jest dodatnia.

y kropka y.

To jest po prostu równe wielkości c razy

kwadrat długości y.

To jest równe wartości bezwzględnej c

razy długość wektora y.

To jest tutaj,
mogę to przepisać.

Czyli możesz to udowodnić
samodzielnie jeśli nie wierzysz,

ale możemy umieścić c wewnątrz

i dowód może być dla Ciebie
dobrym ćwiczeniem.

Ale to jest bardzo proste.

Po prostu wykorzystujesz
definicję długości.

I mnożysz przez c.

To jest równe długości wektora cy

razy długość wektora y.

Gdzieś tutaj porzuciłem
notację wektorową.

Teraz to jest x.

To jest równe długość x razy dłuść y.

Pokazałem drugą
część dowodu

nierówności Cauchy'ego-Schwarza,
równość zachodzi tylko wtedy gdy

jeden z wektorów jest
wielokrotnością drugiego.

Jeśli niektóre z części dowodu
są dla Ciebie niewygodne

To możesz je udowodnić
w ramach ćwiczenia.

Na przykład, dowód tego, że wartość

bezwzględna c razy długość wektora y jest

tym samym co długość c razy y.

W każdym razie, mam nadzieję że
będzie to dla Ciebie przydatne.

Nierówności Cauchy'ego-Schwarza
będziemy używać w dowodach

innych wyników w algebrze liniowej.

W następnym filmie pokażę Ci

trochę więcej intuicji o tym dlaczego to ma

sens w stosunku do iloczynu skalarnego.