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Introduction to Harmonic Motion

  • 0:01 - 0:04
    我们来看看能否用我们已知的关于弹簧的知识
  • 0:04 - 0:07
    来对弹簧是如何随时间移动有个直观的了解
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    希望我们会学习一点关于简谐运动的内容
  • 0:09 - 0:11
    我们将略微迈入
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    微分方程的领域
  • 0:12 - 0:14
    当我们讲到那时不要害怕
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    或是遇到那样的问题时闭上眼睛吧
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    那么我已经画了一个弹簧
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    就像上几集视频中我做过的那样
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    0 x轴的这一点
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    那是弹簧自然静止状态的位置
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    在这个例题中我有一个物块 物块m
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    附在弹簧上 我要拉伸弹簧
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    我要拉它
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    所以物块现在在点A处
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    那么这个会发生什么呢？
  • 0:37 - 0:41
    据我们所知 力 弹簧的恢复力
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    等于负的某个常数 乘以x位置
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    x位置从A开始
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    所以最初弹簧要往这个方向拉回 是吧？
  • 0:53 - 0:55
    弹簧要往这个方向拉回
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    它变得更快更快更快更快
  • 0:58 - 0:58
    我们学过在这一点
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    它有很多势能
  • 1:00 - 1:03
    在这一点 当它回到它的静止状态时
  • 1:03 - 1:07
    它会有很大速度和很多的动能
  • 1:07 - 1:09
    但是势能很少
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    但它的动量让它继续运动
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    它要一直压缩弹簧
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    直到所有动能
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    都转换回势能
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    然后这个过程又会开始
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    我们看看x作为时间的函数会是怎样
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    能否有个直观了解
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    我们的目标是画出x和t的关系 x(t)
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    那会是这集视频中我们的目标
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    可能下面几集也会讲
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    我们来直观了解一下这里会发生什么
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    我试着画出x作为时间的函数
  • 1:41 - 1:45
    那么时间是自变量
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    我从时间等于0开始
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    这是时间轴 我来画时间轴
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    我要在垂直方向画x轴
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    这对你来说可能有点不寻常
  • 1:57 - 2:00
    但那是因为在这种情况中x是因变量
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    那是x轴 很不寻常
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    或者我们可以说x(t)
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    这样你知道x是时间的函数 x(t)
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    这种情况 这里我已经画好的
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    这是时间等于0 对吧？
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    所以这是在0处 我换个颜色
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    那么在时间等于0处 物块的x位置是什么？
  • 2:24 - 2:29
    x位置是A 对吧？如果我画这个 这是A
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    我在那里画条线
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    那也许会有用的 这是A
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    然后这会是
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    我试着让它相对- 这是负A
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    那是负A
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    那么当时间t等于0时 它在哪？它在A处
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    所以这是图线的位置 对吧？
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    我们来做些有趣的事
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    我们来定义周期
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    我用大写T表示周期
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    假设周期是这么一段时间
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    这个物块从这个位置出发
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    它要加速 加速 加速 加速
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    在这一点会很快 全部变成动能
  • 3:15 - 3:16
    然后开始慢下来
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    变慢 变慢 变慢
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    然后往回一路也是那整个过程
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    假设T是那整个过程
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    花费的时间 对吧？
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    现在在时间0处 我们也知道在时间T时
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    这是时间T 它也会在A处 对吧？
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    我要试着画出这个函数中我知道的一些点
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    看看能不能直观了解一下
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    这个函数是怎样的
  • 3:46 - 3:51
    如果到那再回来需要T秒
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    到这需要T除以2秒 对吧？
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    到这里花费的时间
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    也是回来花费的时间
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    那么在T除以2时 x位置会是什么？
  • 4:06 - 4:09
    在T除以2时 物块是在这
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    它一直被压缩到这里
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    所以在T除以2时 它已经到这
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    然后在之间的点
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    它是在x等于0处 对吧？它在那里
  • 4:23 - 4:27
    希望那讲得通 那么现在我们知道这些点
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    我们来考虑一下实际函数是什么样的
  • 4:29 - 4:32
    它会不会就是一条直线下来 然后一条直线上去
  • 4:32 - 4:34
    然后直线下来 然后一条直线上去
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    那意味着 想一想 如果
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    那整个时间都是一条直线下来 那意味着
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    你的x值的变化率是一个常数
  • 4:44 - 4:46
    或者另一种考虑方法是
  • 4:46 - 4:48
    你会有一个恒定的速度 对吧？
  • 4:48 - 4:51
    这整个时间中我们会有一个恒定的速度吗？
  • 4:51 - 4:52
    不是
  • 4:52 - 4:55
    我们知道在这里这个点处
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    你有一个很高的速度 对吧？
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    你有一个很高的速度
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    我们知道在这一点你有一个很低的速度
  • 5:01 - 5:03
    所以这整个时间中你在加速
  • 5:04 - 5:05
    实际上 你再考虑多一点
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    你实际上是以一个减小的加速度加速
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    但整个时间你是在加速的
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    然后你在加速
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    然后这整个时间你在减速
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    所以实际x的变化率不是常数
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    所以你不会有一个折线图 对吧？
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    它会一直到这 然后你会在这有一个点
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    那么会发生什么呢？
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    当你出发时 你会很慢
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    x的变化很慢
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    然后你开始加速
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    然后 一旦你到达这一点
  • 5:34 - 5:37
    就在这 你开始减速
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    直到这一点 你的速度是0
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    所以你的变化率 或你的斜率 是0
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    然后你要开始加速往回
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    你的速度会变得更快 更快 更快
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    在这一点它会真的很快
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    然后在那一点你会开始减速
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    那么在这一点 这一点对应什么？
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    你回到了A
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    所以在这一点你的速度又是0
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    所以x的变化率是0
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    现在你要开始加速
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    你的斜率在增加 增加 增加
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    这里这是动能最高的点
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    然后你的速度开始慢下来
  • 6:17 - 6:21
    这里要注意 这些点处的斜率是0
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    那意味着在这些点处你没有动能
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    它继续下去 继续 继续 继续
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    这个看起来是什么样呢？
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    我还没有向你证明
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    但是在我讲过的内容的所有函数中
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    这个看起来很像一个三角函数
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    如果我要选一个 我会选余弦 为什么？
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    因为在这里余弦是0 我要在这把它写下来
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    0的余弦等于1 对吧？
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    当t等于0时 这个函数等于A
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    所以这个函数看上去可能像Acos
  • 7:01 - 7:05
    我要用变量ω t
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    它可能看上去像那个 这个函数
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    我们马上要学习它看上去的确像那个
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    但是我想证明给你
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    所以不要只相信我的话
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    那么我们来想想如何计算ω
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    它可能是这个物体质量的函数
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    也可能是弹簧常数的函数
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    但我不确定 我们来看看能算出什么
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    现在我要开始涉及一点微积分
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    实际上 一点微积分
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    实际我们甚至要接触微分方程
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    这可能是你一生中见到的第一个微分方程
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    所以这是一个重大场合
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    我们继续
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    如果你不想糊涂就闭上眼睛
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    或者去看微积分视频
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    至少那样你会知道导数是什么
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    我们来写这个看上去很简单的方程
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    或者用我们知道的方法重写它
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    力的定义是什么？
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    力是质量乘以加速度 对吧？
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    我们可以重新把胡克法则写成 我换个颜色
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    质量乘以加速度等于负的弹簧常数
  • 8:12 - 8:15
    乘以位移 对吧？
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    实际我要把位移写成t的函数
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    这样你能记住
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    如果我们太熟悉用x作为自变量
  • 8:22 - 8:24
    这里我们没有把x作为独立变量 用的是t
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    可能会糊涂
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    你可能 我认为x是独立变量 不
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    因为在这个我们要计算的函数中
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    我们想知道作为时间的函数发生了什么？
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    实际上这也许也是对参数方程的
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    一个很好的复习
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    这是我们进行微分的地方 加速度是什么？
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    如果我称位移是x
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    我的位移等于x 作为t的函数 是吧？
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    我代入某个时间 它会告诉我x值是多少
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    那是我的位移 我的速度是多少？
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    我的速度是这个的导数 对吧？
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    在任一给定点处 我的速度
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    是这个函数的导数
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    这个函数关于t的变化率
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    所以我要求关于t的变化率 x（t）
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    我要把那个写成dx dt 然后加速度是什么呢？
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    加速度就是速度的变化率
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    对吧？它是这个的求导
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    或者用另一种方法做 就是
  • 9:33 - 9:36
    求位移函数的二阶导数 对吧？
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    在这种情况中 加速度等于
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    我们可以把它写成 我只是向你展示
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    所有不同的记法 t(x)的二阶导数
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    x对t的二阶导数
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    或者 这些只是符号 d的平方x除以dt的平方
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    那是二阶导数
  • 9:57 - 9:58
    好像时间要到了
  • 9:58 - 10:00
    那么下集视频再见
  • 10:00 - 10:01
    记住我刚刚写过的
Title:
Introduction to Harmonic Motion
Description:

Intuition behind the motion of a mass on a spring (some calculus near the end).
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Video Language:
English
Duration:
10:03
xyybobbie added a translation

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

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