-
Pojďme se podívat,
jak využít naše znalosti o pružinách,
-
abychom pochopili, jak se pružina
pohybuje v čase.
-
A naučíme se něco
o harmonickém pohybu.
-
Vlastně i vstoupíme do světa
diferenciálních rovnic.
-
A nenechte se zastrašit,
až se tam dostaneme.
-
Nebo jen zavřete oči,
až se to stane.
-
Nakreslil jsem pružinu,
stejně jako v několika posledních videích.
-
A 0, tento bod na ose x,
je rovnovážný stav pružiny.
-
A v tomto příkladu mám závaží
o hmotnosti ‚m‛, připevněné na pružinu.
-
A pružinu jsem napnul.
-
V podstatě jsem ji natáhl,
takže závaží se teď nachází v bodě A.
-
Co se teď stane?
-
Jak víme síla pružnosti se rovná minus
koeficient tuhosti (tuhost) krát poloha x.
-
Poloha ‚x‛ začíná v bodě A.
-
Takže nejprve se pružina
pohne zpět tímto směrem.
-
Pružina se pohne zpět tímto směrem.
-
A bude se pohybovat
rychleji a rychleji a rychleji.
-
Zjistili jsme, že v tomto bodě
má mnoho potenciální energie.
-
V tomto bodě, kdy se pružina
vrací do své rovnovážné polohy,
-
bude mít velkou rychlost
a hodně kinetické energie,
-
ale velmi málo potenciální energie.
-
Ale hybnost jí udrží v pohybu
a ona se úplně stlačí,
-
než se všechna kinetická energie
promění zpět v potenciální energii.
-
A pak se děj bude opakovat.
-
Podívejme se, zda můžeme pochopit,
jak se ‚x‛ mění v závislosti na čase.
-
Náš cíl je vyjádřit x(t)
...‚x‛ jako funkci času.
-
To bude náš cíl v tomto videu
a asi i v dalších několika.
-
Pojďmě se nejdříve podívat,
co se tady děje.
-
Nejdříve se pokusím nakreslit ‚x‛,
jako funkci času.
-
Čas je nezávislá proměnná.
-
A začnu v čase rovném 0.
-
Toto je časová osa.
-
Namaluji osu x.
-
Toto je pro vás asi trochu nezvyklé,
abych maloval osu x na vertikále,
-
ale to kvůli tomu, že ‚x‛ je
v této situaci závislá proměnná.
-
Toto je osa x, velmi nezvykle.
-
Nebo bychom mohli říci x(t), jen abyste
věděli, že ‚x‛ je funkce času.
-
A tento stav, co jsem namaloval tady,
toto je v čase rovno 0.
-
Takže toto je v 0.
...Vyměním si barvy...
-
V čase rovném 0,
jaká je pozice ‚x‛ závaží?
-
Pozice ‚x‛ je A.
-
Když to namaluji, tak toto je A.
-
Ještě namaluji čáru tady.
Mohla by se hodit.
-
Toto je A.
-
A toto bude...pokusím se...
...toto je záporné A.
-
To je -A.
-
Takže v čase ‚t‛ rovno 0, kde je?
V bodě A.
-
Tady v grafu.
-
Raději se pojďme podívat
na něco zajímavějšího.
-
Definujme periodu.
-
Periodu označím velkým ‚T‛.
-
Řekněme, že perioda je čas,
za který se závaží pohne z tohoto místa.
-
Bude zrychlovat, zrychlovat,
zrychlovat, zrychlovat.
-
Bude opravdu rychlé v tomto bodě,
jen s kinetickou energií.
-
A potom bude zpomalovat,
zpomalovat, zpomalovat.
-
A potom se tento děj
bude opakovat cestou zpět.
-
Řekněme, že ‚T‛ je množství času,
za který se uskuteční celý tento děj.
-
V čase 0 je to v bodě A
a potom také víme, že v čase ‚T‛...
-
...Toto je čas ‚T‛...
to bude také v bodě A.
-
Snažím se nakreslit pár bodů této funkce,
které znám a pak se podívat,
-
jestli budu umět vyjádřit
tuto funkci analyticky.
-
Jestliže trvá cesta tam a zpět ‚T‛ sekund,
-
trvá to ‚T lomeno 2‛ sekundy,
než se to dostane sem.
-
Množství času potřebného k tomu
dostat se sem, je stejné,
-
jako jeho množství na cestu zpět.
-
‚T lomeno 2‛...jaká je pozice ‚x‛?
-
V ‚T lomeno 2‛, závaží bude tady.
Bude stlačené až sem.
-
Takže v ‚T lomeno 2‛ bude závaží zde.
-
A potom mezi body, to bude v ‚x‛ rovno 0.
-
Bude to tady a tady.
-
Doufám, že to dává smysl.
-
Teď známe tyto body.
-
Ale pojďme se zamyslet,
jak vypadá vlastní funkce.
-
Bude to jen přímá čára dolů,
potom přímá čára nahoru
-
a potom přímá čára dolů
a potom přímá čára nahoru.
-
To by znamenalo...zamyslete se nad tím...
-
...když máte přímou čáru dolů celou dobu,
znamenalo by to,
-
že máte stálou rychlost
změny hodnoty ‚x‛.
-
Nebo také můžeme říci,
že máme konstantní rychlost.
-
Máme konstantní rychlost po celou dobu?
-
Ne.
-
Víme, že přesně v tomto bodě
máte velmi vysokou rychlost.
-
Máte velmi vysokou rychlost.
-
Víme, že v tomto bodě máte velmi nízkou
rychlost, takže zrychlujete celou dobu.
-
A čím více se nad tím zamyslíte,
vlastně zrychlujete s klesající rychlostí.
-
Ale zrychlujete celou dobu.
-
A potom zrychlujete
a pak zpomalujete celou tuto dobu.
-
Vaše skutečná rychlost
změny ‚x‛ není konstantní,
-
tudíž nebudete mít cikcak vzor.
-
A budu pokračovat sem
a potom budete mít bod tady.
-
Co se děje?
-
Když začnete, pohybujete se velmi pomalu.
-
Změna ‚x‛ je velmi pomalá.
-
A potom začnete zrychlovat.
-
A potom, až se dostanete k tomuto bodu,
začnete zpomalovat.
-
Až do tohoto bodu.
Vaše rychlost je zde přesně 0.
-
Takže vaše rychlost změny,
neboli sklon, bude 0.
-
A potom začnete zrychlovat zpět.
-
Vaše rychlost bude vyšší a vyšší.
-
Bude opravdu vysoká v tomto bodě.
A potom začnete zpomalovat do tohoto bodu.
-
V tomto bodě, čemu odpovídá?
Jste zpět v A.
-
Takže v tomto bodě
bude rychlost znovu 0.
-
Takže rychlost změny ‚x‛ je 0.
-
A teď začnete zrychlovat.
-
Sklon roste, roste, roste.
-
Toto je bod s největší
kinetickou energií, přesně tady.
-
Potom vaše rychlost začne zpomalovat.
-
A všimněte si tady,
sklon v těchto bodech je 0.
-
V těchto bodech nemáte
žádnou kinetickou energie.
-
A to se pořád opakuje.
-
Dokola a dokola a dokola.
-
Jak to vypadá?
-
Ještě jsem vám to nedokázal,
ale ze všech funkcí, které znám,
-
mi toto hodně připomíná
trigonometrické funkce.
-
A kdybych si měl jednu vybrat,
vyberu kosinus.
-
Proč?
-
Protože, když je kosinus 0...
...napíši to zde...kosinus 0 se rovná 1.
-
Když ‚t‛ je rovno 0,
tato funkce se rovná A.
-
Takže tato funkce vypadá,
jako A kosinus...
-
...a použiji zde proměnnou omega t...
-
tato funkce vypadá, jako něco takového.
-
A za chvilku se naučíme,
že tohle vypadá přesně takto.
-
Ale chci vám to dokázat,
takže mi zatím nevěřte.
-
Pojďme se podívat,
jak vyřešit, co je omega.
-
A je to pravděpodobně funkce
hmotnosti tohoto předmětu
-
a asi i funkce koeficientu tuhosti,
ale nejsem si jistý.
-
Tak se pojďme podívat,
co můžeme vyřešit.
-
A teď zamířím do diferenciálních počtů.
Trochu decentních diferenciálních počtů.
-
A vlastně potkáme i diferenciální rovnice.
-
Možná první diferenciální rovnice,
kterou uvidíte ve svém životě,
-
což je důležitá událost.
-
Ale pojďme se pohnout vpřed.
-
Zavřete oči, jestli nechcete být zmateni
-
nebo se podívejte na videa diferenciálních
počtů, abyste věděli, co je derivace.
-
Pojďme napsat tuto zdánlivě
jednoduchou rovnici
-
nebo ji pojďme přepsat tak,
abychom jí pochopili.
-
Jak je definována síla?
-
Síla je hmotnost krát zrychlení.
-
Můžeme přepsat Hookeův zákon, jako...
...vyměním si barvy...
-
...hmotnost krát zrychlení je rovno
minus koeficient tuhosti krát poloha.
-
Napíši polohu, jako funkci ‚t‛,
jen abyste si to zapamatovali.
-
Jsme tak zvyklí, že ‚x‛
je nezávislá proměnná,
-
že by bylo zmatečné,
nenapsat to jako funkci ‚t‛.
-
Řekli byste...„Oh myslel jsem,
že ‚x‛ je nezávislá proměnná." NE.
-
Protože v této funkci,
kterou si chceme vyjádřit,
-
chceme vědět,
co se stane v závislosti na čase.
-
Toto je vlastně i dobré
opakování parametrických rovnic.
-
A teď se dostáváme
do diferenciálních počtů.
-
Co je zrychlení?
-
Jestliže nazvu svou polohu ‚x‛...
moje poloha se rovná (x)t.
-
Dosadím nějaký čas, což mi řekne,
jaká je hodnota ‚x‛.
-
To je moje poloha.
-
Co je moje rychlost?
Moje rychlost je derivace tohoto.
-
Moje rychlost, v jakémkoli bodě,
bude derivací této funkce.
-
Změna rychlosti
této funkce v závislosti na ‚t‛.
-
Takže se podívám na změnu
rychosti v závislosti na ‚t‛...x(t).
-
A mohu to napsat jako dx/dt.
-
A co je zrychlení?
-
Zrychlení je jen rychlost změny rychlosti.
-
Takže je to, jako derivace tohoto.
-
Nebo jinak, je to jako počítat
druhou derivaci funkce polohy.
-
V této situaci je zrychlení rovno...
-
...mohli bychom to napsat jako...
...jen vám ukazuji různé způsoby zápisu...
-
...x čárka čárka t,
druhá derivace ‚x‛ v závislosti na ‚t‛.
-
Nebo...toto jsou jen zápisy...
...d na druhou x děleno dt na druhou.
-
Toto je druhá derivace.
Vypadá to, že mi dochází čas.
-
Na viděnou v dalším videu.
-
A zapamatujte si,
co jsem právě napsal.
