Exponent Properties Involving Products

Exponent Properties Involving Products

.

Bu videoda üslü sayılar ve üslü sayıların özellikleriyle ilgili örnekler çözeceğiz.

.

Örneklere geçmeden önce üslü sayılar hakkında kısa bir tekrar yapalım.

.

iki üzeri üçü ele alalım.

Bunun altıya eşit olduğunu söyleyebilirsiniz, ama değil.

.

Bu ikiyi kendi ile üç kere çarp demek.

Yani bu iki çarpı iki çarpı ikiye eşit olacak.

İki çarpı iki dört.

Dört ile ikiyi çarparsak sekiz olur.

Size üç üzeri ikinin, yani üçün karesinin kaç olduğunu sorsam, üçün kendiyle iki kere çarpının olduğunu söylemeniz gerekir.

.

.

Yani dokuz.

Bu örneklerden bir tane daha yapalım.

.

.

Beş üzeri yediyi ele alalım.

Bu beşin kendisiyle yedi kere çarpımı demektir.

5 kere 5 kere 5 kere 5 kere 5 kere 5 kere 5.

.

.

Bu çok büyük bir sayıya eşit olacak, bu yüzden bunu şuan hesaplamıyorum.

.

.

.

.

Gördüğünüz gibi sayılar çok çok hızlı artıyor.

.

Beşin on yedinci kuvveti çok çok daha büyük bir sayı olacaktır.

Her neyse bu sadece üslü sayıların bir tekrarıydı.

Hadi biraz üslü sayıları kullanarak cebir yapalım.

.

Peki 3x çarpı 3x çarpı 3x kaçtır?

.

.

.

Bu 3 çarpı 3 çarpı 3 çarpı x çarpı x çarpı x ile aynı şey olacaktır.

.

.

Yani burası 3 üssü 3 olacaktır.

.

Ve x i kendisiyle 3 kez çarptığımız için burası ise x üssü 3 olur.

.

Bu tüm işlem üçün küpü çarpı x' in küpü şeklinde yazılabilir.

.

Üçün küpü 9 çarpı 3 yani 27' dir.

.

Yani 27x küp olacaktır.

Bunun 3x çarpı 3x çarpı 3x olmadığını söyleyebilirsiniz.

.

.

3x' i kendi ile 3 kere çarpıyorsunuz.

.

Yani buna 3x küp diyebiliriz.

.

.

.

.

Eğer bir sayı çarpı bir sayı şeklindeki bir şeyin üssünü alıyorsak, her ikisinin de üssünü alıp birbirleriyle çarpacağız demektir.

.

.

Yani 3x küp, 3 küp çarpı x küp ile aynı şeydir.

Yani cevap 27 çarpı x küptür.

Hadi birkaç örnek daha yapalım.

Peki 6 üzeri 3 çarpı 6 üzeri 6 nın kaç olduğunu sorsam, ne yapardınız?

.

Bu çok büyük bir sayı olacak.

Ben bunu 6 nın kuvveti şeklinde yazmanızı istiyorum.

.

.

.

6 üzeri 3 ün altının kendisiyle üç kez çarpımı olduğunu biliyoruz.

.

Yani 6 kere 6 kere 6.

.

.

.

.

Peki altı üzeri 6 nedir?

.

Yani 6 kere 6 kere 6 kere 6 kere 6 kere 6.

.

.

.

Peki toplamda altıyı kendi ile kaç kere çarpıyoruz.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 kere değil mi?

.

3 kere burada ve 6 kere de burada yani 9 kere çarpıyoruz.

.

3 artı 6.

.

Yani 6 üzeri 9 olacaktır.

Burada üslü sayıların başka bir özelliği ile karşılaşıyoruz.

.

.

.

.

Tabanların eşit olduğu durumda iki üslü sayıyı çarparken üsleri birbirleriyle toplarız.

.

Hadi bunun hakkında biraz daha örnek yapalım.

.

2 üssü 2, çarpı 2 üssü 4, çarpı 2 üssü 6' yı ele alalım.

.

Bunların hepsinde tabanlar aynı.

Yani yapmamız gereken üsleri toplamak.

Bu da 2 üssü, 2 artu 4 artı 6 yani, 2 üssü 12' ye eşit olacaktır.

.

Bu mantıklı çünkü ikiyi kendisiyle 2 kere, 4 kere ve 6 kere çarptığımızda, onu kendisiyle 12 kere çarpmış oluyoruz.

.

.

.

.

Hadi bunu biraz daha soyut bir şekilde gösterelim.

.

x kare çarpı x üssü 4 nedir?

Az önce öğrendiğimiz özelliği kullanabiliriz.

Tabanlarımız aynı, yani üsleri toplayacağız.

2 artı 4, yani 6 olacaktır.

x üssü 6.

Eğer inanmadıysanız kanıtlayalım.

X kare x çarpı x' e eşittir.

Eğer bunu x üssü 4 ile çarparsak,

.

.

x'i kendi ile kaç kere çarpmış oluruz?

1, 2, 3, 4, 5, 6 kere.

Yani x üssü 6.

Hadi başka bir tane daha çözelim.

.

.

.

a üssü 3 üssü 4' ü ele alalım.

Şimdi size buradaki özelliği anlatacağım.

.

Bir üssün üssünü aldığınızda bu iki üssü birbiri ile çarparsınız.

.

Yani bu soru için 3 kere 4 yani 12 olacaktır.

.

Peki neden üsleri birbiri ile çarpıyoruz?

Burada a' nın küpünü kendisi ile 4 kere çarpıyoruz.

.

Bu da a küp çarpı a küp çarpı a küp çarpı a küp.

.

Tabanlar aynı olduğundan üsleri toplayalım.

3 kere 4, değil mi?

Çünkü bu 3 artı 3 artı 3 artı 3' e eşit.

Bu da 3 çarpı 4 ile aynıdır, yani a üssü 12.

.

Bu videoda öğrendiklerimizi kısaca tekrarlayalım.

Eğer x üssü a, çarpı x üssü b şeklinde bir terimimiz var ise, tabanlar eşit olduğundan üsleri toplarız.

.

Yani bu örnek için cevap x üssü a artı b olur.

.

.

Burada gördüğümüz gibi x kare çarpı x üssü 4, x üssü altıya eşit.

.

Ayrıca eğer x çarpı y üssü a gibi bir terimimiz var ise,

bu x üssü a çarpı y üssü a' ya eşittir.

.

Bunu daha önce görmüştük.

.

3x üssü 3, 3 üssü 3 çarpı x üssü 3 ile aynı şeydi.

.

.

.

.

Ve en son öğrendiğimiz özellik şuydu: Eğer üssü a üssü b gibi bir terimimiz var ise, bunu x üssü a çarpı b şeklinde yazabiliyoruz.

.

.

Daha önce gördüğümüz gibi a üssü 3 üssü 4,

a üssü 3 çarpı 4, yani a üssü 12' ye eşitti.

.

Hadi bu özellikleri kullanarak daha karışık bir örnek çözelim.

2x y kare, eksi x kare çarpı y, üzeri 2, çarpı 3x kare çarpı y kareyi sadeleştirelim.

.

.

Bunu sadeleştirmek istiyoruz.

.

Bunu eksi bir çarpı x kare çarpı y kare şeklinde görebiliriz.

.

Eğer bunun karesini almak istersek, hepsinin teker teker karesinin alabiliriz.

.

Yani bu kısım eksi 1 üssü 2, çarpı x kare üssü 2, çarpı y üssü 2 olur.

.

Eksi 1 in karesi 1 dir.

X kare kare, hatırladığımız gibi x üssü 4, çünkü 2 ve 2 yi çarpıyoruz.

.

Ve zaten sonuncusu y kare.

.

Bakalım diğer taraflarla birleştirebiliyor muyuz.

2x y kare ve 3x kare çarpı y kare

.

Şimdi hepsini birbiri ile çarpabiliriz.

.

Bildiğimiz gibi çarpma yaparken sıranın bir önemi yok.

.

.

2 çarpı x çarpı y kare çarpı x üssü 4, çarpı y kare, çarpı 3 çarpı x kare çarpı y kare.

.

.

Bunu sadeleştirelim.

.

Önce 2 ve 3 ü çarpalım, daha sonra x terimiyle ilgileniriz.

.

.

Ve elimde x çarpı x üssü 4 çarpı x kare var.

Ve sonra da y terimleriyle ilgileneceğim, yani y kare çarpı y kare çarpı y kare.

.

.

Peki bunlar neye eşit?

2 çarpı 3 6 ya eşit.

.

.

x çarpı x üssü 4 çarpı x kare neye eşittir?

x in x üssü 1 ile aynı şey olduğunu biliyoruz.

.

.

Bildiğimiz gibi 2 üssü 1, 2 ya da 3 üssü 3, 3 oluyor.

.

.

Tabanlarımızın hepsi x, yani üsleri toplayacağız.

Yani x üssü 1 artı 4 artı 2.

Bunları daha sonra toplayacağım.

y lere bakalım.

y üssü 2 artı 2 artı 2.

Peki bu neye eşittir?

Bu 6x üssü 7, y üssü 6 ya eşittir.

.

Şimdi size büyük ihtimalle önceden bildiğiniz bir şey göstereceğim.

.

Bir sayının sıfırıncı kuvvetini alırsanız ne olur?

.

7 üssü 0 neye eşittir?

.

Bu bire eşittir.

1 üssü 1 de 1 e eşittir.

Tüm sayıların sıfırıncı kuvveti birdir.

.

.

.

Şu şekilde düşünün.

3 üssü 1,



.

.

.

3 üssü 1 3' e eşittir.

.

3 üssü 2 9 a eşittir.

3 üssü 3 ise 27 dir.

Ve tabi ki biz 3 ün sıfırıncı kuvvetinin kaç olduğunu bulmaya çalışıyoruz.

.

.

.

Üssü her 1 ile azalttığımızda, sayıyı 3 ile bölüyoruz.

.

27 den 9' a, üç ile bölüyoruz.

9 dan 3 e, yine 3 ile bölüyoruz.

Yani tekrar 3 ile bölmemiz gerek.

.

Bu durumda 3 üssü 0, 3 bölü 3, yani 1 e eşit olacaktır.

.

Bir sonraki videoda görüşürüz.