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No último vídeo nós calculamos
a média, a variância e
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o desvio padrão para a
distribuição de Bernoulli com
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números específicos.
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O que eu quero fazer neste vídeo
é generalizá-lo.
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Para realmente calcular as
fórmulas para a média e a
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variância de uma distribuição
de Bernoulli se nós não tivermos
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os números reais.
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Se nós só soubermos que a
probabilidade de sucesso é p
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e que a probabilidade de fracasso
é um menos p.
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Vamos ver isso, vamos observar uma
população em que
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a probabilidade de sucesso -- nós
definimos sucesso como um --
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com uma probabilidade p, e
a probabilidade de fracasso
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é um menos p.
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O que quer que signifique isso.
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E obviamente, se você adicionar
esses dois,
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se você vê-los como percentagens,
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resultará em 100 por cento.
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Ou se você somar esses dois,
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um será o valor somado.
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E esse tem que ser o caso por que
essas são as únicas duas
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possibilidades que
podem ocorrer.
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Se isso significa 60 por cento de chance
de sucesso,
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haverá 40 por cento
de chance de fracasso.
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70 por cento de chance de sucesso,
30 por cento de chance de fracasso.
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Agora, com essa definição --
e essa é
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a definição mais geral de uma
distribuição de Bernoulli.
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É exatamente o que fizemos
no último vídeo, eu agora
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quero calcular o valor esperado,
que é o mesmo que
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a média dessa distribuição,
e eu também quero
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calcular a variância, que
é o mesmo que
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a distância esperada de um valor
da média ao quadrado.
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Então vamos fazer isso.
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Qual é a média aqui?
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Ela será somente a
soma ponderada
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de valores que isso poderia
assumir.
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Há uma probabilidade de
um menos p de que
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teremos um fracasso,
de que teremos zero.
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Há uma probabilidade de
um menos p
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de obter zero, então vezes zero.
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E há uma probabilidade p
de obter um,
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mais p vezes um.
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Bom, isso é muito fácil
de calcular.
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zero vezes qualquer coisa é zero.
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Então isso é cancelado.
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E então p vezes um será
somente p.
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Isso é bem claro.
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A média, o valor esperado
desse distribuição, é p.
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E p pode estar
por aqui.
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Repetindo, é um valor que
você não pode realmente
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obter nessa distribuição,
o que é interessante.
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Mas é o valor esperado.
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Agora, qual será a
variância?
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Qual é a variância dessa
distribuição?
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Lembre-se de que ela é a
soma ponderada
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das distâncias em relação
à média ao quadrado
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E qual é a probabilidade
de obtermos um zero?
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Nós já calculamos isso.
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Há uma probabilidade de
um menos p
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de que obteremos
um zero.
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Essa é a parte de probabilidade.
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E qual é a distância ao quadrado
de zero ao valor médio?
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-- deixe-me escrever isso aqui --
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será zero, esse é o valor que estamos
considerando -- deixe-me escrever em azul
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já que eu já escrevi zero assim --
zero menos a média -- vou escrever
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em uma cor nova -- menos a média.
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Essa é muito similar
ao laranja.
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Vou escrever a média
em branco.
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zero menos a média, que é p,
mais a probabilidade
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de obter um, que é somente p --
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essa é a distância ao quadrado,
serei cuidadoso.
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É a soma ponderada
das distâncias
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em relação ao valor
médio ao quadrado.
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Agora, nós temos um e
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qual é a diferença entre um
e o valor médio?
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É um menos a valor médio,
que é igual a p.
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E nós iremos elevar
isso ao quadrado também.
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Isso aqui será a variância.
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Vamos calcular isso.
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Isso será igual a um menos p.
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zero menos p será p negativo.
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Se elevamos isso ao quadrado,
será somente p ao quadrado.
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E mais p vezes -- o que será
um menos p ao quadrado?
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um menos p ao quadrado será
um ao quadrado, que é somente um,
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menos duas vezes o produto disso.
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Então será menos dois p.
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E mais p negativo ao quadrado.
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Logo p ao quadrado.
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Agora vamos multiplicar tudo.
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Isso será -- esse termo aqui será --
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p ao quadrado menos p ao cubo.
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E esse termo aqui, tudo isso aqui, será
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p vezes um, que é igual a p.
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p vezes menos dois p
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é menos dois p ao quadrado
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E p vezes p ao quadrado é p ao cubo.
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Agora podemos simplificar isso.
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p ao cubo é cancelado
com p ao cubo.
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E nós temos p ao quadrado menos
dois vezes p ao quadrado.
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Então isso se torna -- você tem
esse p aqui --
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isso é igual a p.
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E quando você adiciona p ao quadrado
a menos dois vezes p ao quadrado
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você fica com p negativo ao quadrado
menos p ao quadrado.
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E se você isolar o p,
isso será
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igual a p vezes -- se você dividir p por p
você obtém um --
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p ao quadrado dividido
por p é p.
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Então p vezes um menos p, que é
uma fórmula bem clara.
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Nossa variância então é p
vezes um menos p.
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Se quisermos melhorar isso e
calcular o desvio padrão,
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o desvio padrão é a raiz
quadrada da variância,
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que é igual a raiz quadrada
de p vezes um menos p.
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E nós podemos até verificar que
isso realmente funciona para
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o exemplo que nós fizemos aqui.
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Nosso valor médio é p, a
probabilidade de sucesso.
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Nós vemos que de fato era,
era 0.6
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E sabemos que a variância é
essencialmente a probabilidade
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de sucesso vezes a probabilidade
de fracasso.
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Essa é a nossa variância aqui.
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A probabilidade de sucesso
neste exemplo era 0,6,
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a probabilidade de
fracasso era 0,4.
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Você multiplica esses dois e obtém 0,24,
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que é o que obtivemos
nesse exemplo.
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E se você calcular a raiz quadrada
para o desvio padrão,
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que nós fizemos aqui,
será igual a 0,49.
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Espero que você tenha achado isso útil,
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e nós iremos continuar mais tarde
com a nossa estatística inferencial.
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[Traduzido por
Musa Morena Marcusso Manhães]
