-
...
-
W ostatnim filmiku wyznaczyliśmy średnią, wariancję i
-
odchylenie standardowe rozkładu Bernoullego
-
dla podanych liczb.
-
W tym filmiku chcę to uogólnić.
-
I wyznaczyć formuły na średnią i
-
wariancję rozkładu Bernoullego, kiedy nie mamy podanych
-
konkretnych liczb.
-
Kiedy wiemy tylko, że prawdopodobieństwo sukcesu to p,
-
a prawdopodobieństwo porażki to 1-p.
-
Przyjrzyjmy się temu, weźmy populację, w której
-
prawdopodobieństwo sukcesu... przyjmijmy, że sukces oznacza 1...
-
wynosi p, a prawdopodobieństwo porażki...
-
prawdopodobieństwo porażki to 1-p.
-
Cokolwiek by to było.
-
I oczywiście, jeśli dodasz te dwie wartości, jeśli spojrzysz na nie
-
jako procenty, zsumują się do 100%.
-
A jeśli dodasz te dwie wartości, zsumują się
-
do 1.
-
I musi tak być, ponieważ to są jedyne dwie
-
możliwości, które mogą zajść.
-
Jeśli szansa sukcesu to 60%, to szansa porażki
-
musi wynieść 40%.
-
Szansa sukcesu 70%, szansa porażki 30%.
-
Z taką definicją... a to jest najbardziej
-
ogólna definicja rozkładu Bernoullego.
-
...rozkładu Bernoullego...
-
To jest dokładnie to, co robiliśmy w ostatnim filmiku, teraz
-
chcę obliczyć wartość oczekiwaną, która jest tym samym
-
co średnia tego rozkładu, a do tego chcę
-
obliczyć wariancję, która jest tym samym, co
-
oczekiwany kwadrat odległości wartości od średniej.
-
Więc zróbmy to.
-
Ile tutaj wynosi średnia?
-
Czym będzie średnia?
-
To po prostu ważona prawdopodobieństwami suma
-
wartości, które mogą się pojawić.
-
Czyli mamy prawdopodobieństwo 1-p, że dostaniemy
-
porażkę, czyli 0.
-
Czyli mamy prawdopodobieństwo 1-p, że
-
dostaniemy 0, razy 0.
-
A do tego dostaniemy 1 z prawdopodobieństwem p,
-
plus p razy 1.
-
To jest dość proste do policzenia.
-
0 razy cokolwiek to 0.
-
Czyli to się kasuje.
-
A p razy 1 to po prostu p.
-
... to po prostu p...
-
To całkiem oczywiste.
-
Średnia, czyli wartość oczekiwana tego rozkładu, to p.
-
A p może być tutaj lub gdzie indziej.
-
Czyli jeszcze raz wychodzi wartość, której właściwie nie możemy otrzymać
-
w tym rozkładzie, co jest interesujące.
-
Ale to jest wartość oczekiwana.
-
A czym będzie wariancja?
-
Czym jest wariancja tego rozkładu?
-
Pamiętaj, to jest ważona suma odległości od średniej
-
podniesionych do kwadratu.
-
Jakie jest prawdopodobieństwo, że dostaniemy 0?
-
Już to wyznaczyliśmy.
-
Dostaniemy 0 z prawdopodobieństwem 1-p.
-
Czyli to jest część od prawdopodobieństwa.
-
A czym jest podniesiona do kwadratu odległość od 0 do naszej średniej?
-
Cóż, podniesiona do kwadratu odległość od 0 do naszej średniej... zapiszę
-
to tutaj... to będzie 0, to jest wartość, którą się
-
zajmujemy... zapiszę to na niebiesko, bo już napisałem 0...
-
0 minus nasza średnia... zapiszę to innym
-
kolorem... minus nasza średnia.
-
To jest zbyt podobne do tego pomarańczowego.
-
Zapiszę to na biało.
-
0 minus nasza średnia, która wynosi p, plus prawdopodobieństwo,
-
że dostaniemy 1, które wynosi p... to jest odległość podniesiona do kwadratu,
-
muszę być bardzo ostrożny.
-
To jest ważona prawdopodobieństwami suma podniesionych do kwadratu odległości
-
od średniej.
-
A teraz czym jest odległość... teraz mamy 1... i czym jest
-
różnica między 1 a średnią?
-
To 1 minus nasza średnia, która wynosi p.
-
I tutaj też będziemy chcieli kwadrat.
-
To wyrażenie tutaj to będzie wariancja.
-
A teraz to obliczmy.
-
Tak więc to będzie 1 minus p.
-
Teraz 0 minus p to będzie minus p.
-
Jeśli podniesiesz to do kwadratu, dostaniesz p kwadrat.
-
Czyli to będzie p kwadrat.
-
Teraz plus p razy... czym jest 1 minus p do kwadratu?
-
1 minus p do kwadratu to będzie 1 kwadrat, czyli po prostu 1,
-
minus 2 razy iloczyn tych dwóch,
-
czyli tutaj będzie minus 2p
-
i jeszcze dodać minus p do kwadratu,
-
czyli plus p kwadrat, właśnie tak.
-
A teraz wszystko wymnóżmy.
-
To będzie, to wyrażenie wyniesie
-
p kwadrat minus p do trzeciej.
-
A to tutaj, to całe wyrażenie
-
wyniesie plus... p razy 1 to p,
-
p razy minus 2p to minus 2 razy p kwadrat,
-
a p razy p kwadrat to p do trzeciej.
-
Teraz możemy to uprościć.
-
p do trzeciej się skraca z p do trzeciej.
-
I teraz mamy p kwadrat minu 2 razy p kwadrat.
-
Czyli to wyniesie... mamy tutaj to p,
-
więc to będzie równe p...
-
I teraz trzeba dodać p kwadrat do minus 2 razy p kwadrat,
-
zostanie minus p kwadrat, więc... minus p kwadrat...
-
A jeśli chcesz wyłączyć czynnik p przed nawias, to będzie
-
równe p razy... jeśli podzielisz p przez p, otrzymasz 1,
-
p kwadrat przez p to p...
-
Więc wychodzi p razy 1 minus p, całkiem ładna, przejrzysta formuła.
-
Tak więc nasza wariancja wynosi p razy 1 minus p.
-
A jeśli chcemy zrobić krok dalej i obliczyć
-
odchylenie standardowe, to będzie po prostu
-
pierwiastek kwadratowy z wariancji, który wynosi pierwiastek
-
kwadratowy z p razy 1 minus p.
-
I możemy nawet sprawdzić, że to naprawdę działa dla
-
przykładu, który zrobiliśmy wcześniej.
-
Nasza średnia to p, czyli szansa sukcesu.
-
Widzimy, że rzeczywiście tak wyszło, to było 0.6.
-
I wiemy, że nasza wariancja to zasadniczo prawdopodobieństwo
-
sukcesu razy prawdopodobieństwo porażki.
-
To jest nasza wariancja, tutaj.
-
Prawdopodobieństwo sukcesu w tym przykładzie wynosiło 0.6,
-
prawdopodobieństwo porażki 0.4.
-
Jak wymnożysz te dwie liczby, dostaniesz 0.24, czyli dokładnie to,
-
co otrzymaliśmy w poprzednim przykładzie.
-
A jeśli obliczysz pierwiastek kwadratowy z tego, żeby wyznaczyć odchylenie
-
standardowe, czyli to co robimy tutaj, to będzie 0.49.
-
Mam nadzieję, że okazało się to pomocne, będziemy
-
korzystać z tego później, we wnioskowaniu statystycznym.
-
...
