-
.
-
I den siste videoen, så vi på gjennomsnitt, varians, og
-
standard avvik for vår Bernoulli fordeling med
-
spesifikke tall.
-
Det vi skal se på i denne videoen, er å generalisere det.
-
For å finne ut av formlene for gjennomsnitt og
-
variansen for Bernoulli fordelingen hvis vi ikke har
-
de presise tallene.
-
Vi vet at sannsynligheten for suksess er p
-
og sannsynligheten for feil er 1-p
-
La oss se på det. La oss se på en populasjon hvor
-
sannsynligheten for suksess - vi definerer suksess som 1 - som
-
å ha en sannsynlighet av p, og sannsynligheten for feil,
-
sannsynligheten for feil er 1-p
-
Hva er enn det måtte være.
-
Og tydeligvis, hvis vi legger disse to sammen, hvis vi ser på de
-
som prosenter, så gir de 100%.
-
Eller hvis vi legger disse to sammen, så
-
vil de gi 1.
-
Og dette er nødt til å være tilfelle, da disse er de eneste to
-
utfallene som kan forekomme.
-
Hvis det blir 60% sjanse for suksess, må det være 40%
-
sjanse for feil.
-
70% sjanse for suksess, 30% for feil.
-
Med denne definisjonen - og dette er den mest
-
generelle definisjonen på en Bernoulli fordeling
-
.
-
Det er faktisk nøyaktig hva vi gjorde i den forrige videoen, vi vil
-
nå beregne den forventete verdien, som er det samme som
-
gjennomsnittet av fordeling og vi vil også
-
beregne variansen, som er det samme som
-
den forventede avstanden i annen, fra gjennomsnittet.
-
La oss gjøre det.
-
Hva er gjennomsnitt her over, så?
-
Hva vil gjennomsnittet være?
-
Det er bare summen av den vektene sannsynligheten for
-
de verdiene som dette kan anta.
-
Det er altså en, 1-p sannsynlighet for at vi får
-
feil, altså at vi får 0.
-
Det er altså 1-p, sannsynlighet for
-
å få 0 - så gange 0.
-
Og så er det p sannsynlighet for å få 1
-
Pluss p, ganger 1.
-
Dette er rent faktisk ganske lett å beregne.
-
0 ganger hva som helst, gir 0.
-
Så den går altså ut.
-
Og så er p ganger 1, det samme som p.
-
.
-
Så det er greit.
-
Gjennomsnittet, den forventede verdien av denne fordelingen, er p.
-
Og p kan kanskje være her.
-
Så det er altså en verdi, som man ikke riktig kan forstå
-
i denne fordelingen, som er interessant.
-
Men det er den forventede verdien.
-
Men hva blir variansen?
-
Hva er variansen i denne fordelingen?
-
Husk, at det er en den vektene summen av avstanden i andre
-
fra gjennomsnittet.
-
Hva er sannsynligheten for at vi får en 0?
-
Det har vi allerede beregnet.
-
Det er 1-p sannsynlighet for at vi får 0.
-
Det er altså sannsynlighets delen.
-
Og hva er avstanden i andre fra 0 til våres gjennomsnitt?
-
Avstanden i andre fra 0 til våres gjennomsnitt - la oss skrive det
-
her borte - det blir 0, det er den verdien vi vil
-
snappe - la oss gjøre det i blått, etter som vi allerede har skrevet
-
0'en - 0 minus våres gjennomsnitt, la oss skrive det i en ny
-
farge - minus våres gjennomsnitt.
-
Det er for nærme den oransje.
-
La oss skrive det i hvit.
-
0 minus våres gjennomsnitt, som er p pluss sannsynligheten for at vi
-
får 1, som bare er p - dette er avstanden i andre
-
la oss være forsiktige.
-
det er den vekta summen av sannsynligheter for avstanden i andre
-
fra gjennomsnittet.
-
Hva er avstanden så - vi har en 1 - og hva er
-
forskjellen mellom 1 og gjennomsnittet?
-
Det er 1 minus vårt gjennomsnitt, som vil bli p her borte.
-
Og vi vil også sette den i andre.
-
Det rett her kommer til å være våres varians.
-
La oss nå regne det ut.
-
Det blir altså det samme som 1 minus p.
-
så 0 minus p, kommer til å bli et en negativ p.
-
Hvis vi setter dette i andre, får vi bare p i andre.
-
Så det blir p i andre.
-
Så pluss p ganger - hva er 1 minus p i andre?
-
1 minus p i andre blir 1 i andre, som bare er 1.
-
minus 2 ganger produktet av dette.
-
Så det blir minus 2, rett her.
-
Og så pluss -p^2
-
så pluss p i andre - sånn.
-
Og la oss nå gange det hele ut.
-
Dette blir, denne termen rett her, blir
-
p i andre minus p i 3.
-
Og denne her, hele denne klammen her,
-
blir pluss p ganger 1, er p.
-
p ganger -2p er negativ 2p i andre
-
Og så vil p ganger p i andre bli til p i tredje.
-
Nå kan vi forenkle dette.
-
p i tredje utligner denne p i tredje.
-
og så har vi p i andre minus 2 p i andre
-
dette rett her blir, vi har den p her borte,
-
så det blir til p.
-
så når man legger p i andre sammen med minus 2p i andre
-
så har man -p^2 minus p^2
-
og hvis vi vil ha en faktor p ut av alt dette, vil
-
det bli lik p ganger, hvis vi tar p dividert med p, får vi 1,
-
p i andre, dividert med p er p.
-
p ganger 1 minus p, som er en ganske enkel formel.
-
Våres varians er p ganger 1 minus p.
-
Og hvis vi vil ta det til neste nivå og finne ut av
-
standard avviket, standard avviket er bare
-
kvadratroten av variansen som er lik med
-
kvadratroten av p ganger 1 minus p.
-
Og vi kan bekrefte at dette faktisk virker for
-
dette eksempelet vi brukte her oppe.
-
Våres gjennomsnitt er p, sannsynligheten for suksess.
-
Vi så at den var 0,6.
-
Og vi vet at våres varians i sannsynligheten
-
for suksess ganger sannsynligheten for feil.
-
Det er våres varians her borte.
-
Sannsynligheten for suksess i dette eksemeplet var 0,6
-
sannsynligheten for feil var 0,4
-
Vi ganger de to og får 0,24 som er nøyaktig det vi
-
fikk i det forrige eksempelet.
-
Og hvis vi tar kvadratroten for standard
-
avviket, som er det vi gjør rett her, er det 0,49
-
Forhåpentligvis var det lærerikt, og vi skal
-
bygge videre på dette, senere når vi skal se på empirisk statistikk.
