CA Geometry: Proof by Contradiction
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0:00 - 0:04我們在做第四題,這個題目給我們一個定理。
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0:00 - 0:03一個三角形最多有一個鈍角。
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0:00 - 0:01夠公平的了。
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0:00 - 0:03Eduardo用反證法來證明這個定理。
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0:00 - 0:055
00:00:14,630 --> 00:00:16,750
你怎麼樣用反證法來證明呢,你先想 -
0:00 - 0:02如果這個是錯誤的。
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0:00 - 0:02然後證明這個無法發生。
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0:00 - 0:02我們來看看他是怎麼做的。
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0:00 - 0:03他先想,在三角形ABC中,角A和B
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0:00 - 0:01都是鈍角。
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0:00 - 0:02可以用哪個定理來反證呢?
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0:00 - 0:03好,讓我來畫出來愛德華在做什麼。
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0:00 - 0:0513
00:00:38,680 --> 00:00:40,780
我在畫的方法其實是很難的。 -
0:00 - 0:0614
00:00:40,780 --> 00:00:42,610
這實際上不是按照實際規模畫出來的。 -
0:00 - 0:02愛德華說角A和B都是鈍角。
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0:00 - 0:02也就是說這個角大於90度。
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0:00 - 0:02咱們說這個是角A。
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0:00 - 0:01然後這個是角B。
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0:00 - 0:01並且大於90度。
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0:00 - 0:02那是“鈍角”的意思。
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0:00 - 0:03愛德華可以用哪個定理來反證呢?
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0:00 - 0:02在讀選項之前,先想一想。
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0:00 - 0:02關於三角形我們知道什麼?
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0:00 - 0:03三角形的三個角之和等於180度,對吧?
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0:00 - 0:03這個是角A,這個是角B,我們叫這個
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0:00 - 0:01角C。
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0:00 - 0:03我們知道角A, B, C加起來必須等於
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0:00 - 0:01180度,對吧?
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0:00 - 0:02換一種思路想,角C等於180度
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0:00 - 0:01減去角A和B。
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0:00 - 0:03再換一種思路想,我這樣寫出來
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0:00 - 0:01好幾種方法。
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0:00 - 0:02C等於180減去A加B,對吧?
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0:00 - 0:02現在讓我來問你一個問題。
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0:00 - 0:04如果我們像愛德華那樣想的話,我們在想
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0:00 - 0:01A和B都大於90度
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0:00 - 0:03那麼A加B最少應該大於什麼呢?
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0:00 - 0:03如果這個大於90度並且那個大於90度
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0:00 - 0:02那麼角A加角B就會大於90加90.
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0:00 - 0:02所以這必須大於180.
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0:00 - 0:04如果這個大於180並且我們用180減去這個的話,
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0:00 - 0:02那麼這個說A大於90,
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0:00 - 0:01並且B大於90
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0:00 - 0:03那我們可以從這個聲明中推斷
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0:00 - 0:02從這個等式推斷出
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0:00 - 0:03如果這個和這個都大於90,那麼這整個
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0:00 - 0:01就大於180.
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0:00 - 0:02所以C就必須小於0
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0:00 - 0:02但是角度不可以是負數
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0:00 - 0:02所以這個就矛盾了
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0:00 - 0:02然後你就會說,你不可以有
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0:00 - 0:02兩個大於90度的角
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0:00 - 0:01或者兩個鈍角
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0:00 - 0:02這就是你用反證法的證明
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0:00 - 0:03我們看看我們剛才做的可不可以
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0:00 - 0:02在這些選項中表達出來。
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0:00 - 0:02如果兩個角相等,那麼
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0:00 - 0:02這兩個叫的對邊相等。
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0:00 - 0:01不行。
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0:00 - 0:03如果兩個互補的角相等,那這兩個角
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0:00 - 0:01都是90度。
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0:00 - 0:02我們沒有用到這個。
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0:00 - 0:02一個三角形中最大的角
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0:00 - 0:02是最長的邊的對角。
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0:00 - 0:01不行。
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0:00 - 0:01三角形內角和180.
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0:00 - 0:02這是我們第一寫下來的。
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0:00 - 0:01所以就是D選項。
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0:00 - 0:03愛德華就用這個定理來反證的。
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0:00 - 0:01下一個問題。
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0:00 - 0:01第五題
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0:00 - 0:0372
00:03:27,320 --> 00:03:28,570
好,是這個 -
0:00 - 0:02這是一個很長的題
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0:00 - 0:03我看看能不能複製貼上整道題目
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0:00 - 0:01我複製了
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0:00 - 0:01好了
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0:00 - 0:03我覺得它可以整個放在視窗裡了。
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0:00 - 0:01已知AB等於BC
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0:00 - 0:03所以我們可以說這條邊等於那條邊
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0:00 - 0:01這個是已知的
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0:00 - 0:01D是AC的中點
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0:00 - 0:01D到A和C距離一樣
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0:00 - 0:01AD等於DC
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0:00 - 0:01讓我寫下來
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0:00 - 0:03證明三角形ABD全等於三角形CBD
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0:00 - 0:01好,全等三角形
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0:00 - 0:02在每個方面都一樣
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0:00 - 0:02只不過可能被旋轉了
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0:00 - 0:02它們可以繞某個點被旋轉了
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0:00 - 0:02如果你有相似三角形
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0:00 - 0:02那你也可以有不一樣的邊長
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0:00 - 0:02它們只是有一樣的形狀
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0:00 - 0:02這是大小可能不一樣
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0:00 - 0:02如果全等,那你有
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0:00 - 0:02擁有同樣邊長的相似三角形
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0:00 - 0:02但是即使他們有一樣的邊長
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0:00 - 0:02它們可以被移動位置了
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0:00 - 0:01你可以看看這個
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0:00 - 0:01ABD像是DBC的鏡像
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0:00 - 0:01憑視覺
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0:00 - 0:02他們已經像是全等三角形了
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0:00 - 0:02我們看看他們怎麼證明
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0:00 - 0:01第一個,AB等於BC
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0:00 - 0:01這是已知的
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0:00 - 0:01D是AC中點
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0:00 - 0:01這也是已知的
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0:00 - 0:01AD等於CD
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0:00 - 0:02這是因為D是AC中點
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0:00 - 0:03我們已經做了這一部分,按照重點定義
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0:00 - 0:01夠公平的
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0:00 - 0:01BD當然等於BD
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0:00 - 0:02所有東西都與自己本身全等
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0:00 - 0:02BD的長在那個三角形中等於
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0:00 - 0:02BD的長在這個三角形中
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0:00 - 0:01自反屬性
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0:00 - 0:04看起來是華麗的話語其實是一個非常簡單的想法
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0:00 - 0:02最後,它說三角形ABD
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0:00 - 0:01全等於三角形CBD
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0:00 - 0:01利用這些描述
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0:00 - 0:02我們可以看出他們有
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0:00 - 0:02完全相同的三個邊長度
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0:00 - 0:02兩個三角形都有BD的長度
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0:00 - 0:01都有AD或DC的長度
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0:00 - 0:02並且都有BA的長度
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0:00 - 0:03所以它們所有邊都有相同的長度
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0:00 - 0:03我們在做完前三步就知道這些
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0:00 - 0:02我們可以用什麼來證明
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0:00 - 0:02這兩個三角形全等呢?
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0:00 - 0:02就像我剛說的,這三步
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0:00 - 0:02告訴我們所有邊都相等
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0:00 - 0:02那你就可以可以看見SSS
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0:00 - 0:01什麼原因呢?
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0:00 - 0:02SSS代表“邊,邊,邊”
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0:00 - 0:02你在你的幾何課時
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0:00 - 0:01就用這個
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0:00 - 0:03來說兩個三角形的三條邊相等
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0:00 - 0:03這個是說你有一個角,一個角和一條邊
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0:00 - 0:03這個是說你有一個角,還有一條邊
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0:00 - 0:01在兩角之間
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0:00 - 0:03還有旁邊的一個角,那些都是相等的
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0:00 - 0:02這個說一個邊,一個角
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0:00 - 0:02在另外一條邊,他們都相等
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0:00 - 0:02我們可能會在下幾個問題中
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0:00 - 0:01用到那些
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0:00 - 0:01這個表示三角形
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0:00 - 0:01三條邊相等
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0:00 - 0:03我們可以說這是因為“邊邊邊”
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0:00 - 0:01的原因
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0:00 - 0:01因為“邊邊邊”
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0:00 - 0:02這兩個三角形全等
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0:00 - 0:03可以用這種方法來想全等三角形
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0:00 - 0:01也就是想三條邊
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0:00 - 0:01都是同樣的長度
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0:00 - 0:01下一道題
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0:00 - 0:01好
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0:00 - 0:02在以下圖形中,AB>BC
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0:00 - 0:02好,這條邊大於那條邊
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0:00 - 0:03即使它們畫的像三條邊都相等
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0:00 - 0:02我們看看我們可以做什麼
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0:00 - 0:02如果我們設角A等於
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0:00 - 0:02角C,那麼AB等於BC
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0:00 - 0:01AB等於BC
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0:00 - 0:02我不知道你知不知道這個
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0:00 - 0:01或者度數一樣
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0:00 - 0:01也就是說角A
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0:00 - 0:01等於角C
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0:00 - 0:01它們只是寫了
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0:00 - 0:02兩個角的度數一樣
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0:00 - 0:01那是相等的意思
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0:00 - 0:01就是度數一樣
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0:00 - 0:02你也可以寫角A全等於角C
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0:00 - 0:01如果兩個角相等
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0:00 - 0:02那麼兩個角的對邊
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0:00 - 0:01也相等
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0:00 - 0:01所以這條邊等於
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0:00 - 0:01那條邊
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0:00 - 0:02這也就是他們所寫的
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0:00 - 0:01AB等於BC
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0:00 - 0:01好
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0:00 - 0:02他們說這個和已知的AB大於BC
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0:00 - 0:01是矛盾的
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0:00 - 0:01還寫了AB等於BC
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0:00 - 0:02和已知的是矛盾的
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0:00 - 0:02這要怎麼處理呢?
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0:00 - 0:03可以從這個矛盾之中得到什麼結論?
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0:00 - 0:01我們看看,角A
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0:00 - 0:01等於角B
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0:00 - 0:01這不行
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0:00 - 0:02我可以舉一個例子
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0:00 - 0:02他們可以是30度角
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0:00 - 0:03如果這兩個都是30度角,加起來等於60
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0:00 - 0:04那麼這個就必須是120才能讓他們加起來等於180
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0:00 - 0:02並且那個和我們剛學的
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0:00 - 0:01完全不一樣的
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0:00 - 0:01所以A是錯誤的
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0:00 - 0:02A不一定非要等於B
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0:00 - 0:01角A不等於角B
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0:00 - 0:02但是他們可以啊,對吧?
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0:00 - 0:02有角都可以是60度
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0:00 - 0:02我們還沒有說B肯定不等於A
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0:00 - 0:02這個是60,那個是60
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0:00 - 0:02所以這個也可以是60
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0:00 - 0:02這個就是一個等邊三角形
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0:00 - 0:02我不覺得那是對的
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0:00 - 0:01A等於C
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0:00 - 0:02我知道他們在說什麼
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0:00 - 0:02對不起,並且這是我的錯
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0:00 - 0:02他們在說AB肯定大於BC
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0:00 - 0:02然後他們說如果我們設A
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0:00 - 0:01等於C
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0:00 - 0:01那麼AB等於BC
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0:00 - 0:02他們沒有說這肯定是對的
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0:00 - 0:02只是說如果我們設這是對的
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0:00 - 0:02但是他們沒有說這是肯定的
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0:00 - 0:02矛盾就從這裡來了
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0:00 - 0:03因為是我們說的,那麼AB不可以
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0:00 - 0:01大於BC
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0:00 - 0:01那麼AB等於BC
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0:00 - 0:02我知道他們在問什麼了
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0:00 - 0:02所以這只是一個設想
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0:00 - 0:02不是真正被證明是對的
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0:00 - 0:02所以這個和一直的AB大於BC
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0:00 - 0:01是矛盾的
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0:00 - 0:01對,那是對的
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0:00 - 0:03從這個矛盾中可以得出什麼結論呢?
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0:00 - 0:01我們已經設了A
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0:00 - 0:01等於C
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0:00 - 0:02那麼這兩條邊相等
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0:00 - 0:01和已知是矛盾的
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0:00 - 0:02所以,我們知道這兩個角
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0:00 - 0:01不能相等
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0:00 - 0:02因為如果他們相等了,
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0:00 - 0:02會與已知的結論相矛盾的
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0:00 - 0:02所以我們從這個矛盾中知道
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0:00 - 0:01A不等於C
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0:00 - 0:02我們不可以假設A等於C
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0:00 - 0:01因為會導致矛盾
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0:00 - 0:02所以正確答案是 D
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0:00 - 0:04242
00:11:52,620 --> 00:11:55,900
我們下個影片見!
- Title:
- CA Geometry: Proof by Contradiction
- Description:
-
- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 11:57
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Fran Ontanaya edited Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles for CA Geometry: Proof by Contradiction |