CA Geometry: Proof by Contradiction

我們在做第四題，這個題目給我們一個定理。

一個三角形最多有一個鈍角。

夠公平的了。

Eduardo用反證法來證明這個定理。

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你怎麼樣用反證法來證明呢，你先想

如果這個是錯誤的。

然後證明這個無法發生。

我們來看看他是怎麼做的。

他先想，在三角形ABC中，角A和B

都是鈍角。

可以用哪個定理來反證呢？

好，讓我來畫出來愛德華在做什麼。

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我在畫的方法其實是很難的。

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這實際上不是按照實際規模畫出來的。

愛德華說角A和B都是鈍角。

也就是說這個角大於90度。

咱們說這個是角A。

然後這個是角B。

並且大於90度。

那是“鈍角”的意思。

愛德華可以用哪個定理來反證呢？

在讀選項之前，先想一想。

關於三角形我們知道什麼？

三角形的三個角之和等於180度，對吧？

這個是角A，這個是角B，我們叫這個

角C。

我們知道角A, B, C加起來必須等於

180度，對吧？

換一種思路想，角C等於180度

減去角A和B。

再換一種思路想，我這樣寫出來

好幾種方法。

C等於180減去A加B，對吧？

現在讓我來問你一個問題。

如果我們像愛德華那樣想的話，我們在想

A和B都大於90度

那麼A加B最少應該大於什麼呢？

如果這個大於90度並且那個大於90度

那麼角A加角B就會大於90加90.

所以這必須大於180.

如果這個大於180並且我們用180減去這個的話，

那麼這個說A大於90，

並且B大於90

那我們可以從這個聲明中推斷

從這個等式推斷出

如果這個和這個都大於90，那麼這整個

就大於180.

所以C就必須小於0

但是角度不可以是負數

所以這個就矛盾了

然後你就會說，你不可以有

兩個大於90度的角

或者兩個鈍角

這就是你用反證法的證明

我們看看我們剛才做的可不可以

在這些選項中表達出來。

如果兩個角相等，那麼

這兩個叫的對邊相等。

不行。

如果兩個互補的角相等，那這兩個角

都是90度。

我們沒有用到這個。

一個三角形中最大的角

是最長的邊的對角。

不行。

三角形內角和180.

這是我們第一寫下來的。

所以就是D選項。

愛德華就用這個定理來反證的。

下一個問題。

第五題

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好，是這個

這是一個很長的題

我看看能不能複製貼上整道題目

我複製了

好了

我覺得它可以整個放在視窗裡了。

已知AB等於BC

所以我們可以說這條邊等於那條邊

這個是已知的

D是AC的中點

D到A和C距離一樣

AD等於DC

讓我寫下來

證明三角形ABD全等於三角形CBD

好，全等三角形

在每個方面都一樣

只不過可能被旋轉了

它們可以繞某個點被旋轉了

如果你有相似三角形

那你也可以有不一樣的邊長

它們只是有一樣的形狀

這是大小可能不一樣

如果全等，那你有

擁有同樣邊長的相似三角形

但是即使他們有一樣的邊長

它們可以被移動位置了

你可以看看這個

ABD像是DBC的鏡像

憑視覺

他們已經像是全等三角形了

我們看看他們怎麼證明

第一個，AB等於BC

這是已知的

D是AC中點

這也是已知的

AD等於CD

這是因為D是AC中點

我們已經做了這一部分，按照重點定義

夠公平的

BD當然等於BD

所有東西都與自己本身全等

BD的長在那個三角形中等於

BD的長在這個三角形中

自反屬性

看起來是華麗的話語其實是一個非常簡單的想法

最後，它說三角形ABD

全等於三角形CBD

利用這些描述

我們可以看出他們有

完全相同的三個邊長度

兩個三角形都有BD的長度

都有AD或DC的長度

並且都有BA的長度

所以它們所有邊都有相同的長度

我們在做完前三步就知道這些

我們可以用什麼來證明

這兩個三角形全等呢？

就像我剛說的，這三步

告訴我們所有邊都相等

那你就可以可以看見SSS

什麼原因呢？

SSS代表“邊，邊，邊”

你在你的幾何課時

就用這個

來說兩個三角形的三條邊相等

這個是說你有一個角，一個角和一條邊

這個是說你有一個角，還有一條邊

在兩角之間

還有旁邊的一個角，那些都是相等的

這個說一個邊，一個角

在另外一條邊，他們都相等

我們可能會在下幾個問題中

用到那些

這個表示三角形

三條邊相等

我們可以說這是因為“邊邊邊”

的原因

因為“邊邊邊”

這兩個三角形全等

可以用這種方法來想全等三角形

也就是想三條邊

都是同樣的長度

下一道題

好

在以下圖形中，AB>BC

好，這條邊大於那條邊

即使它們畫的像三條邊都相等

我們看看我們可以做什麼

如果我們設角A等於

角C，那麼AB等於BC

AB等於BC

我不知道你知不知道這個

或者度數一樣

也就是說角A

等於角C

它們只是寫了

兩個角的度數一樣

那是相等的意思

就是度數一樣

你也可以寫角A全等於角C

如果兩個角相等

那麼兩個角的對邊

也相等

所以這條邊等於

那條邊

這也就是他們所寫的

AB等於BC

好

他們說這個和已知的AB大於BC

是矛盾的

還寫了AB等於BC

和已知的是矛盾的

這要怎麼處理呢？

可以從這個矛盾之中得到什麼結論？

我們看看，角A

等於角B

這不行

我可以舉一個例子

他們可以是30度角

如果這兩個都是30度角，加起來等於60

那麼這個就必須是120才能讓他們加起來等於180

並且那個和我們剛學的

完全不一樣的

所以A是錯誤的

A不一定非要等於B

角A不等於角B

但是他們可以啊，對吧？

有角都可以是60度

我們還沒有說B肯定不等於A

這個是60，那個是60

所以這個也可以是60

這個就是一個等邊三角形

我不覺得那是對的

A等於C

我知道他們在說什麼

對不起，並且這是我的錯

他們在說AB肯定大於BC

然後他們說如果我們設A

等於C

那麼AB等於BC

他們沒有說這肯定是對的

只是說如果我們設這是對的

但是他們沒有說這是肯定的

矛盾就從這裡來了

因為是我們說的，那麼AB不可以

大於BC

那麼AB等於BC

我知道他們在問什麼了

所以這只是一個設想

不是真正被證明是對的

所以這個和一直的AB大於BC

是矛盾的

對，那是對的

從這個矛盾中可以得出什麼結論呢？

我們已經設了A

等於C

那麼這兩條邊相等

和已知是矛盾的

所以，我們知道這兩個角

不能相等

因為如果他們相等了，

會與已知的結論相矛盾的

所以我們從這個矛盾中知道

A不等於C

我們不可以假設A等於C

因為會導致矛盾

所以正確答案是 D

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