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CA Geometry: Proof by Contradiction

  • 0:01 - 0:04
    我们在做第四道题，它给我们一个定理。
  • 0:04 - 0:08
    说，一个三角形最多有一个钝角。
  • 0:08 - 0:09
    够公平的了。
  • 0:09 - 0:12
    爱德华用反证法来证明以上定理。
  • 0:15 - 0:17
    你怎么样用反证法来证明呢，你先想
  • 0:17 - 0:18
    如果这个是错误的。
  • 0:18 - 0:20
    让我来证明这个无法发生。
  • 0:20 - 0:22
    我们来看看他是怎么做的。
  • 0:22 - 0:26
    他先想，在三角形ABC中，角A和B
  • 0:26 - 0:28
    都是钝角。
  • 0:28 - 0:33
    爱德华可以用那个定理来反正呢？
  • 0:33 - 0:39
    好，让我来画出来爱德华在做什么。
  • 0:39 - 0:41
    我在画的方法其实是很难的。
  • 0:41 - 0:43
    这实际上不是按照实际规模画出来的。
  • 0:43 - 0:46
    爱德华说角A和B都是钝角。
  • 0:46 - 0:49
    也就是说这个角大于90度。
  • 0:49 - 0:50
    咱们说这个是角A。
  • 0:50 - 0:51
    然后这个是角B。
  • 0:51 - 0:52
    并且它也大于90度。
  • 0:52 - 0:55
    那是“钝角”的意思。
  • 0:55 - 0:59
    爱德华可以用那个鼎利来反正呢？
  • 0:59 - 1:01
    再读选项之前，先想一想。
  • 1:01 - 1:03
    关于三角形我们知道什么？
  • 1:03 - 1:08
    三角形三角志贺等于180度，对吧？
  • 1:08 - 1:10
    这个是角A，这个是角B，我们叫这个
  • 1:10 - 1:12
    角C。
  • 1:12 - 1:18
    我们知道角A, B, C加起来必须等于
  • 1:18 - 1:21
    180度，对吧？
  • 1:21 - 1:29
    换一种思路想，角C等于180度
  • 1:29 - 1:32
    减去角A和B。
  • 1:32 - 1:34
    再换一种思路想，我就是写出来
  • 1:34 - 1:34
    好几种方法。
  • 1:34 - 1:40
    C等于180减去A加B，对吧？
  • 1:40 - 1:42
    现在让我来问你一个问题。
  • 1:42 - 1:46
    如果我们像爱德华那样想的话，我们在想
  • 1:46 - 1:51
    A和B都大于90度
  • 1:51 - 1:54
    那么A加B最少应该大于什么呢？
  • 1:54 - 1:56
    如果这个大于90度并且那个大于90度
  • 1:56 - 1:59
    那么角A加角B就会大于90加90.
  • 1:59 - 2:02
    所以这必须大于180.
  • 2:02 - 2:04
    如果这个大于180并且我们用180减去这个的话，
  • 2:04 - 2:11
    那么这个说A大于90，
  • 2:11 - 2:15
    并且B大于90
  • 2:15 - 2:18
    那我们可以从这个声明中推断
  • 2:18 - 2:20
    从这个等式推断出
  • 2:20 - 2:22
    如果这个和这个都大于90，那么这整个
  • 2:22 - 2:24
    就大于180.
  • 2:24 - 2:27
    所以C就必须小于0
  • 2:27 - 2:29
    但是角度不可以是负数
  • 2:29 - 2:35
    所以这个就矛盾了
  • 2:35 - 2:38
    然后你就会说，你不可以有
  • 2:38 - 2:40
    两个大于90度的角
  • 2:40 - 2:42
    或者两个钝角
  • 2:42 - 2:46
    那就是你用反正的证明
  • 2:46 - 2:49
    我们看看我们刚才做的可不可以
  • 2:49 - 2:50
    在这些选项中表达出来。
  • 2:50 - 2:53
    如果两个角相等，那么
  • 2:53 - 2:54
    这两个叫的对边相等。
  • 2:54 - 2:54
    不行。
  • 2:54 - 3:01
    如果两个互补的角相等，那这两个角
  • 3:01 - 3:02
    都是90度。
  • 3:02 - 3:05
    我们没有用到这个。
  • 3:05 - 3:07
    一个三角形中最大的角
  • 3:07 - 3:08
    是最长的变得对角。
  • 3:08 - 3:08
    不行。
  • 3:08 - 3:11
    三角形内角和180.
  • 3:11 - 3:13
    这是我们第一写下来的。
  • 3:13 - 3:16
    所以就是D选项。
  • 3:16 - 3:20
    爱德华就用这个定理来反正的。
  • 3:20 - 3:23
    下一个问题。
  • 3:23 - 3:24
    第五道题
  • 3:27 - 3:29
    好，是这个
  • 3:32 - 3:36
    这是一个很长的题
  • 3:36 - 3:40
    我看看能不能复制粘贴整道题
  • 3:40 - 3:41
    我复制了
  • 3:44 - 3:46
    好了
  • 3:50 - 3:52
    我觉得它整个可以放在窗户里了。
  • 3:52 - 3:55
    它说，用这个证明来回答
  • 3:55 - 3:56
    以下问题
  • 3:56 - 4:03
    已知AB等于BC
  • 4:03 - 4:06
    所以我们可以说这条边等于那条边
  • 4:06 - 4:07
    这个是已知的
  • 4:07 - 4:08
    D是AC的中点
  • 4:08 - 4:10
    D到A和C距离一样
  • 4:10 - 4:13
    AD等于DC
  • 4:13 - 4:15
    让我写下来
  • 4:20 - 4:27
    证明三角形ABD全等于三角形CBD
  • 4:30 - 4:33
    好，全等三角形
  • 4:33 - 4:36
    在每个方面都一样
  • 4:36 - 4:39
    只不过可能被旋转了
  • 4:39 - 4:41
    它们可以绕某个点被旋转了
  • 4:41 - 4:43
    如果你有相似三角形
  • 4:43 - 4:45
    那你也可以有不一样的边长
  • 4:45 - 4:46
    它们只是有一样的形状
  • 4:46 - 4:50
    但是大小可能不一样
  • 4:50 - 4:53
    如果全等，那你有
  • 4:53 - 4:55
    拥有同样边长的相似三角形
  • 4:55 - 4:57
    但是即使他们有一样的变长
  • 4:57 - 4:58
    它们可以被移动位置了
  • 4:58 - 4:59
    你可以看看这个
  • 4:59 - 5:05
    ABD像是DBC的镜像
  • 5:05 - 5:08
    就凭视觉
  • 5:08 - 5:09
    他们已经像是全等三角形了
  • 5:09 - 5:12
    我们看看他们怎么来证明
  • 5:12 - 5:17
    第一个，AB等于BC
  • 5:17 - 5:18
    这是已知的
  • 5:18 - 5:20
    D是AC中点
  • 5:20 - 5:22
    这也是已知的
  • 5:22 - 5:24
    AD等于CD
  • 5:27 - 5:30
    这是因为D是AC中点
  • 5:30 - 5:32
    我们已经做了这一部分，按照重点定义
  • 5:32 - 5:33
    够公平的
  • 5:33 - 5:38
    BD等于BD
  • 5:38 - 5:40
    所有东西都与自己本身全等
  • 5:40 - 5:44
    BD的长在那个三角形中等于
  • 5:44 - 5:45
    BD的长在这个三角形中
  • 5:45 - 5:47
    自反属性
  • 5:47 - 5:50
    很豪华的话语为一个非常简单的想法
  • 5:50 - 5:55
    最后，它说三角形ABD
  • 5:55 - 5:57
    全等于三角形CBD
  • 5:57 - 6:01
    用这些话
  • 6:01 - 6:03
    我们可以看出他们有
  • 6:03 - 6:05
    完全相同的三条边长度
  • 6:05 - 6:07
    两个三角形都有BD的长度
  • 6:07 - 6:11
    都有AD或DC的长度
  • 6:11 - 6:14
    并且都有BA的长度
  • 6:14 - 6:17
    所以它们所有边都有相同的长度
  • 6:17 - 6:21
    我们在做完前三步就知道这些
  • 6:21 - 6:25
    我们可以用什么来证明
  • 6:25 - 6:25
    这两个三角形全等呢？
  • 6:25 - 6:28
    就像我刚说的，这三步
  • 6:28 - 6:30
    告诉我们所有变都相等
  • 6:30 - 6:32
    所以你可以看见SSS
  • 6:32 - 6:33
    什么原因呢？
  • 6:33 - 6:34
    SSS代表“边，边，边”
  • 6:37 - 6:42
    你在你的几何班
  • 6:42 - 6:46
    就用这个
  • 6:46 - 6:48
    来说两个三角形的三条边相等
  • 6:48 - 6:50
    这个是说你有一个角，一个角和一条边
  • 6:50 - 6:53
    这个是说你有一个角，还有一条边
  • 6:53 - 6:54
    在两角之间
  • 6:54 - 6:56
    还有旁边的一个角，那些都是相等的
  • 6:56 - 6:59
    这个说一个边，一个角
  • 6:59 - 7:00
    在另外一条边，他们都相等
  • 7:00 - 7:02
    我们可能会在下几个问题中
  • 7:02 - 7:02
    用到那些
  • 7:02 - 7:06
    反正，这个表示三角形
  • 7:06 - 7:07
    三条边相等
  • 7:07 - 7:13
    我们可以说这是因为“边边边”
  • 7:13 - 7:17
    的原因
  • 7:17 - 7:19
    因为“边边边”
  • 7:19 - 7:20
    这两个三角形全等
  • 7:20 - 7:24
    可以用这种方法来想全等三角形
  • 7:24 - 7:26
    也就是想三条边
  • 7:26 - 7:28
    都是同样的长度
  • 7:28 - 7:29
    下一道题
  • 7:33 - 7:35
    好
  • 7:42 - 7:48
    在以下图形中，AB>BC
  • 7:48 - 7:50
    好，这条边大于那条边
  • 7:50 - 7:53
    即使它们画的像三条边都相等
  • 7:53 - 7:55
    我们看看我们可以干什么
  • 7:55 - 7:59
    如果我们设角A等于
  • 7:59 - 8:19
    角C，那么AB等于BC
  • 8:19 - 8:23
    AB等于BC
  • 8:23 - 8:25
    我不知道你知不知道这个
  • 8:25 - 8:29
    但是你学过如果两个角相等
  • 8:29 - 8:30
    或者度数一样
  • 8:30 - 8:31
    也就是说角A
  • 8:31 - 8:33
    等于角C
  • 8:33 - 8:35
    它们只是写了
  • 8:35 - 8:37
    两个角的度数一样
  • 8:37 - 8:39
    那是相等的意思
  • 8:39 - 8:41
    就是度数一样
  • 8:41 - 8:46
    你也可以写角A全等于角C
  • 8:46 - 8:50
    反正，如果两个角相等
  • 8:50 - 8:53
    那么两个角的对边
  • 8:53 - 8:54
    也相等
  • 8:54 - 8:56
    所以这条边等于
  • 8:56 - 8:57
    那条边
  • 8:57 - 8:58
    这也就是他们所写的
  • 8:58 - 9:02
    AB等于BC
  • 9:02 - 9:03
    好
  • 9:03 - 9:07
    他们说这个和已知的AB大于BC
  • 9:07 - 9:10
    是矛盾的
  • 9:10 - 9:13
    还写了AB等于BC
  • 9:13 - 9:15
    和已知的是矛盾的
  • 9:15 - 9:16
    他们要到哪里去呢？
  • 9:16 - 9:20
    可以从这个矛盾之中得到什么结论？
  • 9:23 - 9:25
    我们看看，角A
  • 9:25 - 9:26
    等于角B
  • 9:32 - 9:34
    这不行
  • 9:34 - 9:35
    我可以举一个例子
  • 9:35 - 9:37
    他们可以是30度角
  • 9:37 - 9:41
    如果这两个都是30度角，加起来等于60
  • 9:41 - 9:44
    那么这个就必须是120才能让他们加起来等于180
  • 9:44 - 9:46
    并且那个和我们刚学的
  • 9:46 - 9:46
    会完全不一样的
  • 9:46 - 9:48
    所以A是错误的
  • 9:48 - 9:52
    A不一定非要等于B
  • 9:52 - 9:55
    角A不等于角B
  • 9:59 - 10:01
    但是他们可以啊，对吧？
  • 10:01 - 10:04
    所有角都可以是60度
  • 10:04 - 10:06
    我们还没有说B肯定不等于A
  • 10:06 - 10:08
    这个是60，那个是60
  • 10:08 - 10:09
    所以这个也可以是60
  • 10:09 - 10:13
    这个就是一个等边三角形
  • 10:13 - 10:15
    我不觉得那是对的
  • 10:15 - 10:19
    A等于C
  • 10:25 - 10:28
    我知道他们在说什么
  • 10:28 - 10:29
    对不起，并且这是我的错
  • 10:29 - 10:32
    他们在说AB肯定大于BC
  • 10:37 - 10:42
    然后他们说如果我们设A
  • 10:42 - 10:44
    等于C
  • 10:44 - 10:45
    那么AB等于BC
  • 10:45 - 10:48
    他们没有说这肯定是对的
  • 10:48 - 10:52
    只是说如果我们设这是对的
  • 10:52 - 10:54
    但是他们没有说这是肯定的
  • 10:54 - 10:56
    矛盾就从这里来了
  • 10:56 - 10:59
    因为是我们说的，那么AB不可以
  • 10:59 - 11:01
    大于BC
  • 11:01 - 11:04
    那么AB等于BC
  • 11:04 - 11:06
    我知道他们在问什么了
  • 11:06 - 11:07
    所以这只是一个设想
  • 11:07 - 11:09
    不是真正被证明是对的
  • 11:09 - 11:12
    所以这个和一直的AB大于BC
  • 11:12 - 11:13
    是矛盾的
  • 11:13 - 11:14
    对，那是对的
  • 11:14 - 11:18
    从这个矛盾中可以得出什么结论呢？
  • 11:18 - 11:21
    我们已经设了A
  • 11:21 - 11:22
    等于C
  • 11:22 - 11:25
    那么这两条边相等
  • 11:25 - 11:27
    和已知是矛盾的
  • 11:27 - 11:30
    所以，我们知道这两个角
  • 11:30 - 11:32
    不能相等
  • 11:32 - 11:35
    因为如果他们相等了，
  • 11:35 - 11:36
    会与已知的结论相矛盾的
  • 11:36 - 11:39
    所以我们从这个矛盾中知道
  • 11:39 - 11:45
    A不等于C
  • 11:45 - 11:46
    我们不可以想A等于C
Title:
CA Geometry: Proof by Contradiction
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:57

Chinese (Simplified, China) subtitles

Incomplete

Revisions

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