< Return to Video

CA Geometry: Proof by Contradiction

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:04
    ตอนนี้เราอยู่ที่โจทย์ข้อสี่, เขาบอกทฤษฎีบทเรามา
  • 0:04 - 0:08
    มันบอกว่า สามเหลี่ยม, มีอย่างมาก, มุมป้านเดียว
  • 0:08 - 0:09
    ใช้ได้
  • 0:09 - 0:12
    เอดูอาร์โด พิสูจน์ทฤษฎีข้างต้นด้วยการขัดแย้ง
  • 0:12 - 0:15
    -
  • 0:15 - 0:17
    วิธีการพิสูจน์ด้วยการขัดแย้ง, ก็คือว่า,
  • 0:17 - 0:18
    จะเกิดอะไรขึ้นหากมันไม่จริง
  • 0:18 - 0:20
    ขอผมพิสูจน์ว่านั่นไม่มีทางเกิดขึ้น
  • 0:20 - 0:22
    ลองดูว่าเขาทำยังไงแล้วกัน
  • 0:22 - 0:26
    เขาเริ่มต้นด้วยการสมมุติว่า, สามเหลี่ยม ABC, มุม A กับ B
  • 0:26 - 0:28
    ทั้งคู่เป็นมุมป้าน
  • 0:28 - 0:33
    ทฤษฎีใดที่เอดูอาร์โดจะใช้เพื่อให้ได้การขัดแย้ง?
  • 0:33 - 0:39
    ขอโอเค, ขอผมวาดนี่, สิ่งที่เอดูอาร์โดพยายามทำ
  • 0:39 - 0:41
    วิธีที่ผมวาดที่จะดูยาก
  • 0:41 - 0:43
    นี่ไม่ได้วาดให้ถูกสเกลเลย
  • 0:43 - 0:46
    เขาก็บอกว่ามุม A กับ B ทั้งคู่เป็นมุมป้าน
  • 0:46 - 0:49
    นี่หมายความว่ามุมนี้มากกว่า 90
  • 0:49 - 0:50
    สมมุติว่านั่นคือมุม A
  • 0:50 - 0:51
    นี่คือมุม B
  • 0:51 - 0:52
    และมันมากกว่า 90
  • 0:52 - 0:55
    นั่นคือสิ่งที่ ป้าน หมายถึง
  • 0:55 - 0:59
    ทฤษฎีใดที่เอดูอาร์โดใช้เพื่อให้ได้การขัดแย้ง?
  • 0:59 - 1:01
    ทีนี้, ก่อนที่เราจะอ่านตัวเลือก, คิดกันก่อน
  • 1:01 - 1:03
    เรารู้อะไรบ้างเกี่ยวกับสามเหลี่ยม?
  • 1:03 - 1:08
    มุมทั้งหมดรวมกันได้ 180 องศา, จริงไหม?
  • 1:08 - 1:10
    หากนี่คือมุม A, นี่คือมุม B, แล้วเรียกนี่
  • 1:10 - 1:12
    ว่ามุม C
  • 1:12 - 1:18
    เรารู้ว่า A บวก B บวก C ต้องเท่ากับ
  • 1:18 - 1:21
    180 องศา, จริงไหม?
  • 1:21 - 1:29
    หรืออีกวิธีมองคือว่า C เท่ากับ 180
  • 1:29 - 1:32
    ลบ A ลบ B
  • 1:32 - 1:34
    หรือวิธีคิดอีกอย่างคือ, ผมแค่เขียน
  • 1:34 - 1:34
    มันหลาย ๆ แบบ
  • 1:34 - 1:40
    C เท่ากับ 180 ลบ A บวก B, จริงไหม?
  • 1:40 - 1:42
    ทีนี้, ขอผมถามคุณหน่อย
  • 1:42 - 1:46
    หากเราสมมุติจากที่ตั้งไว้, ตามที่เอดูอาร์โอทำ, หากเรา
  • 1:46 - 1:51
    สมมุติว่า A กับ B ทั้งคู่มากกว่า 90 องศา, A บวก B
  • 1:51 - 1:54
    จะต้องมีค่าอย่างน้อยมากกว่าเท่าไหร่?
  • 1:54 - 1:56
    หากนี่มากกว่า 90 และนั่นมากกว่า 90, แล้ว
  • 1:56 - 1:59
    A บวก B จะมากกว่า 90 บวก 90
  • 1:59 - 2:02
    นี่จะต้องมากกว่า 180
  • 2:02 - 2:04
    แล้วหากนี่มากกว่า 180, เราจะลบมัน
  • 2:04 - 2:11
    จาก 180, นี่ก็จะบอกเราว่า หากมุม A มากกว่า
  • 2:11 - 2:15
    90, มุม B มากกว่า 90, แล้วเราจะสรุป
  • 2:15 - 2:18
    ได้ว่า, จากประโยคนี่ตรงนี้
  • 2:18 - 2:20
    จากสมการนี่ตรงนี้
  • 2:20 - 2:22
    หากนี่กับนี่มากกว่า 90 แล้ว ทอมทั้งหมดนี่
  • 2:22 - 2:24
    จะมากกว่า 180
  • 2:24 - 2:27
    และข้อสรุปจะเป็นว่า C ต้องน้อยกว่า
  • 2:27 - 2:29
    ศูนย์, แต่เรามีมุมเป็นลบไม่ได้
  • 2:29 - 2:35
    ตรงนี้, นั่นเลยเป็นข้อขัดแย้ง
  • 2:35 - 2:38
    แล้วคุณก็บอกว่า, โอเค, ดังนั้น คุณเลยมี
  • 2:38 - 2:40
    มุมมากกว่า 90 องศา หรือมุมป้าน
  • 2:40 - 2:42
    สองมุมไม่ได้
  • 2:42 - 2:46
    และนั่นคือการพิสูจน์โดยการขัดแย้ง
  • 2:46 - 2:49
    ลองดูว่าเราสามารถพูดอันนี้
  • 2:49 - 2:50
    เป็นตัวเลือกไหนได้
  • 2:50 - 2:53
    หากมุมสองมุมของสามเหลี่ยมเท่ากัน, ด้านตรงข้าม
  • 2:53 - 2:54
    มุมพวกนั้นจะเท่ากัน
  • 2:54 - 2:54
    ไม่ใช่
  • 2:54 - 3:01
    หากมุมที่ติดกันสองมุมเท่ากัน, มุม
  • 3:01 - 3:02
    แต่ละมุมจะวัดได้ 90
  • 3:02 - 3:05
    เราไม่ได้ใช้อันนั้น
  • 3:05 - 3:07
    มุมที่ใหญ่ที่สุดของสามเหลี่ยม จะอยู่ตรงข้าม
  • 3:07 - 3:08
    กับด้านที่ยาวที่สุด
  • 3:08 - 3:08
    ไม่ใช่
  • 3:08 - 3:11
    ผลรวมมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180
  • 3:11 - 3:13
    นั่นคือสิ่งแรกที่เราเขียนตรงนี้
  • 3:13 - 3:16
    คำตอบคือข้อ D
  • 3:16 - 3:20
    นั่นคือทฤษฎีที่เอดูอาร์โดใช้ในการขัดแย้ง
  • 3:20 - 3:23
    คำถามต่อไป
  • 3:23 - 3:24
    ข้อห้า
  • 3:24 - 3:27
    -
  • 3:27 - 3:29
    โอเค, อันนี้
  • 3:29 - 3:32
    -
  • 3:32 - 3:36
    โอเค, อันนี้ยาว
  • 3:36 - 3:40
    ลองดูว่าผมจะคัดลอกแล้ววางทั้งหมดนี่ได้ไหม
  • 3:40 - 3:41
    ผมลอกมาแล้ว
  • 3:41 - 3:44
    -
  • 3:44 - 3:46
    ใช้ได้
  • 3:46 - 3:50
    -
  • 3:50 - 3:52
    ผมว่านี่เต็มหน้าต่างพอดี
  • 3:52 - 3:55
    ลองดู, เขาบอกว่าให้ใช้บทพิสูจน์เพื่อ
  • 3:55 - 3:56
    ตอบคำถามข้างล่าง
  • 3:56 - 4:03
    กำหนดให้ด้าน AB คอนกรูเอนต์กับด้าน BC
  • 4:03 - 4:06
    เราเลยบอกว่า ด้านนั้นเท่ากับด้านนั่น
  • 4:06 - 4:07
    นั่นกำหนดมา
  • 4:07 - 4:08
    D เป็นจุดกึ่งกลางของ AC
  • 4:08 - 4:10
    นั่นหมายความว่า D แบ่ง AC เท่า ๆ กัน
  • 4:10 - 4:13
    นั่นหมายความว่า AD กับ DC ยาวเท่ากัน
  • 4:13 - 4:15
    ขอผมเขียนลงไปนะ
  • 4:15 - 4:20
    -
  • 4:20 - 4:27
    พิสูจน์ว่าสามเหลี่ยม ABD เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม CBD
  • 4:27 - 4:30
    -
  • 4:30 - 4:33
    ใช้ได้, แค่ให้คุณรู้ไว้, สามเหลี่ยมคอนกรูเอนต์ หรือ เท่ากันทุกประการ
  • 4:33 - 4:36
    คือสามเหลี่ยมที่เหมือนกันทุกอย่าง, ยกเว้นว่า
  • 4:36 - 4:39
    มันอาจหมุนคนละแบบ
  • 4:39 - 4:41
    มันอาจหมุนไปแบบนึง
  • 4:41 - 4:43
    หากคุณมีสามเหลี่ยมคล้าย, คุณก็อาจมี
  • 4:43 - 4:45
    ด้านยาวไม่เท่ากัน
  • 4:45 - 4:46
    มันประมาณว่ามีรูปร่างเหมือนกัน, แต่มันอาจ
  • 4:46 - 4:50
    ย่อหรือขยายได้
  • 4:50 - 4:53
    หากคุณเท่ากันทุกประการ, คุณก็มีสามเหลี่ยมคล้าย
  • 4:53 - 4:55
    แต่มันมีด้านยาวเท่ากันด้วย
  • 4:55 - 4:57
    และแม้ว่ามันจะมีด้านเท่ากัน, มันยัง
  • 4:57 - 4:58
    พลิกได้ด้วย
  • 4:58 - 4:59
    เช่น, คุณอาจดูที่อันนี้
  • 4:59 - 5:05
    ABD เหมือนกับภาพกระจกของ DBC
  • 5:05 - 5:08
    แค่มองด้วยตา, มันก็รู้สึกเหมือนกันว่า
  • 5:08 - 5:09
    มันเป็นสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการแล้ว
  • 5:09 - 5:12
    ลองดูว่าเขาจะพิสูจน์มันยังไง
  • 5:12 - 5:17
    ประโยคแรก, AB คอนกรูเอนต์กับ BC
  • 5:17 - 5:18
    เขาให้เรามา
  • 5:18 - 5:20
    D คือ จุดกึ่งกลางด้าน AC
  • 5:20 - 5:22
    นั่นกำหนดมา, ใช้ได้
  • 5:22 - 5:24
    AD คอนกรูเอนต์กับ CD
  • 5:24 - 5:27
    -
  • 5:27 - 5:30
    นั่นเป็นเพราะ D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AC
  • 5:30 - 5:32
    เราทำส่วนั่นตรงนี้, ตามนิยามของจุดกึ่งกลาง
  • 5:32 - 5:33
    ใช้ได้
  • 5:33 - 5:38
    BD คอนกรูเอนต์กับ BD, แน่นอน
  • 5:38 - 5:40
    อะไรก็ตามย่อมคอนกรูเอนต์กับตัวอย่าง
  • 5:40 - 5:44
    นั่นแค่บอกว่า BD สำหรับสามเหลี่ยนนั้น ยาว
  • 5:44 - 5:45
    เท่ากับ BD ของสามเหลี่่ยมนี้
  • 5:45 - 5:47
    ใช้ได้, สมบัติสะท้อน
  • 5:47 - 5:50
    เป็นคำหรู ๆ สำหรับแนวคิดธรรมดา ๆ
  • 5:50 - 5:55
    แล้วสุดท้าย, เขาบอกว่าสามเหลี่ยม ABD
  • 5:55 - 5:57
    คอนกรูเอนต์กับ CBD
  • 5:57 - 6:01
    โอเค, จากข้อมูลพวกนี้, ใช้ประโยคพวกนี้,
  • 6:01 - 6:03
    เราได้แสดงแล้วว่าพวกมันมี
  • 6:03 - 6:05
    ด้านสามด้านเท่ากัน
  • 6:05 - 6:07
    สามเหลี่ยมทั้งสองมีด้านยาว BD
  • 6:07 - 6:11
    ทั้งคู่มีด้าน AD หรือ DC เหมือนกัน
  • 6:11 - 6:14
    และสามเหลี่ยมทั้งคู่มีด้าน BA
  • 6:14 - 6:17
    ดังนั้นด้านทั้งหมด มีความยาวเท่ากัน
  • 6:17 - 6:21
    นั่นคือสิ่งที่เรารู้หลังจากสามขั้นแรกแล้ว
  • 6:21 - 6:25
    แล้วเหตุผลไหนสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ว่า
  • 6:25 - 6:25
    สามเหลี่ยมคอนกรูเอนต์กัน?
  • 6:25 - 6:28
    เราแค่บอกว่า, สามขั้นนี้แสดงว่า
  • 6:28 - 6:30
    ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน
  • 6:30 - 6:32
    และนี่คือ (s-s-s) ด-ด-ด อย่างที่เห็น
  • 6:32 - 6:33
    เหตุผลไหน?
  • 6:33 - 6:34
    นั่นหมายถึง ด้าน (side) , ด้าน, ด้าน
  • 6:34 - 6:37
    -
  • 6:37 - 6:42
    และนั่นคือเหตุผลที่คุณใช้ในวิชาเรขาคณิต
  • 6:42 - 6:46
    เพื่อบอกว่าทั้งสามของสามเหลี่ยม
  • 6:46 - 6:48
    นั้นคอนกรูเอนต์
  • 6:48 - 6:50
    นี่หมายความว่า หากคุณมีมุม, มุม, และด้าน
  • 6:50 - 6:53
    นี่หมายความว่าคุณมี มุม, แล้วก็ด้าน
  • 6:53 - 6:54
    ระหว่างมุมสองมุม
  • 6:54 - 6:56
    แล้วมุมต่อไปทั้งหมดคอนกรูเอนต์
  • 6:56 - 6:59
    และนี่บอกว่า ด้านด้านหนึ่ง กับมุม แล้วก็
  • 6:59 - 7:00
    อีกด้านนึง, ทั้งหมดคอนกรูเอนต์
  • 7:00 - 7:02
    เราอาจพูดถึงมัน
  • 7:02 - 7:02
    ในคำถามต่อ ๆ ไป
  • 7:02 - 7:06
    แต่ช่างเถอะ, นี่แสดงว่าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม
  • 7:06 - 7:07
    ทั้งสองเท่ากัน
  • 7:07 - 7:13
    แล้วก็, เราเรียกมันว่าการให้เหตุผล ด้าน ด้าน ด้าน
  • 7:13 - 7:17
    ผมไม่เก่งเรื่องคำศัพท์เลย
  • 7:17 - 7:19
    แต่ด้วยเหตุผลแบบ ด้าน ด้าน ด้าน, สองอันนี้
  • 7:19 - 7:20
    เป็นสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ
  • 7:20 - 7:24
    และผมบอกว่า, นี่เป็นหนึ่งในวิธีคิดถึง
  • 7:24 - 7:26
    สามเหลี่ยมเท่ากับทุกประการ, ว่าด้านทุกด้าน
  • 7:26 - 7:28
    ต้องเท่ากัน
  • 7:28 - 7:29
    ข้อต่อไป
  • 7:29 - 7:33
    -
  • 7:33 - 7:35
    เอาล่ะ
  • 7:35 - 7:42
    -
  • 7:42 - 7:48
    ในภาพข้างล่างนี้, AB มากกว่า BC
  • 7:48 - 7:50
    โอเค, ด้านนี่ยาวกว่าด้านนั้น
  • 7:50 - 7:53
    แม้ว่าวิธีที่เขาวาดมัน, จะดูเท่ากันก็ตาม
  • 7:53 - 7:55
    ลองดูเราว่าเราทำอะไรได้
  • 7:55 - 7:59
    หากเราสมมุติว่าค่ามุม A เท่ากับค่ามุม C
  • 7:59 - 8:19
    มันจะได้ว่า AB เท่ากับ BC
  • 8:19 - 8:23
    AB เท่ากับ BC
  • 8:23 - 8:25
    ผมไม่รู้ว่าคุณมาถึงนี่หรือยัง, แต่คุณรู้แล้วว่า
  • 8:25 - 8:29
    หากคุณมีมุมสองมุมที่คอนกรูเอนต์กัน, หรือ
  • 8:29 - 8:30
    วัดได้เท่ากัน
  • 8:30 - 8:31
    นี่ก็จะบอกว่า มุม A
  • 8:31 - 8:33
    คอนกรูเอนต์กับมุม C
  • 8:33 - 8:35
    แทนที่จะทำอย่างนั้น เขาเขียนมันว่าค่า
  • 8:35 - 8:37
    ของมุมนั้นเท่ากัน
  • 8:37 - 8:39
    นั่นคือนิยามของคอนกรูเอนต์, ว่าค่า
  • 8:39 - 8:41
    ของมุมนั้นเท่ากัน
  • 8:41 - 8:46
    คุณอาจเขียนว่ามุม A คอนกรูเอนต์กับมุม C
  • 8:46 - 8:50
    แต่ช่างเถอะ, หากคุณมีมุมสองมุมเท่ากัน, แล้ว
  • 8:50 - 8:53
    ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมพวกนั้น
  • 8:53 - 8:54
    จะเท่ากันด้วย
  • 8:54 - 8:56
    ดังนั้นด้านนี่ตรงนี้จะ
  • 8:56 - 8:57
    เท่ากับด้านนั้น
  • 8:57 - 8:58
    และนั่นคือสิ่งที่เขาเขียนไว้
  • 8:58 - 9:02
    มันตามมาว่า AB เท่ากับ BC
  • 9:02 - 9:03
    ใช้ได้
  • 9:03 - 9:07
    แล้วเขาบอกว่านี่ขัดแย้งกับประโยคที่กำหนดไว้ว่า AB
  • 9:07 - 9:10
    มากกว่า BC
  • 9:10 - 9:13
    ใช่แล้ว, เขาบอกว่า, มันตามมาว่า AB เท่ากับ BC และ
  • 9:13 - 9:15
    มันขัดแย้งกับประโยคนี้
  • 9:15 - 9:16
    แล้วเขาจะไปยังไงต่อ?
  • 9:16 - 9:20
    เราสามารถสรุปอะไรได้จากการขัดแย้งนี้?
  • 9:20 - 9:23
    -
  • 9:23 - 9:25
    ลองดู, ค่าของมุม A เท่ากับ
  • 9:25 - 9:26
    ค่าของมุม B
  • 9:26 - 9:32
    -
  • 9:32 - 9:34
    ไม่, ไม่ใช่อันนั้น
  • 9:34 - 9:35
    ผมคิดตัวอย่างนึงได้
  • 9:35 - 9:37
    พวกนี้ทั้งคู่เท่ากับ 30 องศา
  • 9:37 - 9:41
    หากทั้งคู่เป็นมุม 30 องศา, รวมกันได้ 60, แล้ว
  • 9:41 - 9:44
    นี่จะต้องเป็น 120 เพื่อให้รวมกันได้ 180
  • 9:44 - 9:46
    แล้วมันก็เข้ากับ
  • 9:46 - 9:46
    ทุกอย่างที่เรามีมา
  • 9:46 - 9:48
    ดังนั้น A ไม่ใช่ข้อที่ถูก
  • 9:48 - 9:52
    A ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B
  • 9:52 - 9:55
    ขนาดของ A ไม่เท่ากับขนาดของมุม B
  • 9:55 - 9:59
    -
  • 9:59 - 10:01
    มันเท่ากันได้, จริงไหม?
  • 10:01 - 10:04
    มุมทุกมุมอาจเท่ากับ 60 องศา
  • 10:04 - 10:06
    เราไม่ต้องบอกว่า B ไม่เท่ากับ A แน่นอน
  • 10:06 - 10:08
    นี่อาจเป็น 60, นั่นอาจเป็น 60 แล้วนั่น
  • 10:08 - 10:09
    ก็เป็น 60
  • 10:09 - 10:13
    และเราจะได้สามเหลี่ยมด้านเท่า
  • 10:13 - 10:15
    ผมไม่คิดว่านี่ถูกเหมือนกัน
  • 10:15 - 10:19
    ค่าของมุม A เท่ากับค่าของมุม C
  • 10:19 - 10:25
    -
  • 10:25 - 10:28
    ผมเห็นสิ่งที่เขากำลังบอกแล้ว
  • 10:28 - 10:29
    โทษที, ผมผิดเอง
  • 10:29 - 10:32
    เขาบอกว่า, AB มากกว่า BC แน่นอน
  • 10:32 - 10:37
    -
  • 10:37 - 10:42
    ทีนี้, เขาบอกว่า หากเราสมมุติว่ามุม A
  • 10:42 - 10:44
    เท่ากับ C, มันจะได้ว่า
  • 10:44 - 10:45
    AB เท่ากับ BC
  • 10:45 - 10:48
    เขาไม่ได้บอกว่านี่เป็นจริงแน่นอน
  • 10:48 - 10:52
    เขาแค่บอกว่า หากเราสมมุติว่านี่เป็นจริง
  • 10:52 - 10:54
    แต่เขาไม่ได้บอกว่า นี่ใช่แน่ ๆ
  • 10:54 - 10:56
    และนั่นคือตอนที่การขัดแย้งเกิดขึ้น
  • 10:56 - 10:59
    เพราะหากเราสมมุตินี่มา, แล้ว AB
  • 10:59 - 11:01
    จะไม่มากกว่า BC
  • 11:01 - 11:04
    เพราะ AB จะเท่ากับ BC
  • 11:04 - 11:06
    ตอนนี้ผมเลยเห็นว่าเขาบอกอะไร
  • 11:06 - 11:07
    งั้นนี่คือสิ่งสมมุติ
  • 11:07 - 11:09
    มันไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นจริง
  • 11:09 - 11:12
    แล้วนี่ขัดแย้งกับประโยคที่กำหนดไว้ ว่า AB
  • 11:12 - 11:13
    มากกว่า BC
  • 11:13 - 11:14
    ใช่, ใช่แล้ว
  • 11:14 - 11:18
    แล้วเราสรุปอะไรได้จากการขัดแย้งนี้?
  • 11:18 - 11:21
    เราสมมุติว่ามุม A
  • 11:21 - 11:22
    เท่ากับมุม C
  • 11:22 - 11:25
    แล้วมันตามมาว่า ด้านสองด้านนี้เท่ากัน, ซึ่ง
  • 11:25 - 11:27
    ทำให้ขัดแย้งกับประโยคที่กำหนด
  • 11:27 - 11:30
    ดังนั้น, เรารู้ว่ามุมสองมุมไม่
  • 11:30 - 11:32
    สามารถมีค่าเท่ากันได้
  • 11:32 - 11:35
    เพราะหากมันเป็นจริง, เราจะขัดแย้ง
  • 11:35 - 11:36
    กับข้อมูลที่กำหนด
  • 11:36 - 11:39
    ดังนั้น เรารู้จากการขัดแย้งว่า มุม
  • 11:39 - 11:45
    A ไม่มีทางเท่ากับมุม C
  • 11:45 - 11:46
    เราไม่สามารถสมมุติเช่นนั้นได้ เพราะมันนำไปสู่
  • 11:46 - 11:48
    การขัดแย้ง
  • 11:48 - 11:53
    คำตอบที่ถูกต้องคือ D
  • 11:53 - 11:56
    เอาล่ะ, แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
Title:
CA Geometry: Proof by Contradiction
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
11:57

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.