CA Geometry: Proof by Contradiction

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Estamos no problema número quatro, e nos dão um teorema.

O teorema afirma que um triângulo tem, no máximo, um ângulo obtuso.

Muito bem.

Eduardo está provando o teorema acima por contradição.

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Para provar por contradição, você se pergunta,

bom, e se isso não for verdade?

Tenho que provar que isso é impossível.

Vamos ver o que ele fez então.

Ele começou afirmando que, em um triângulo ABC, os ângulos A e B

são ambos obtusos.

Que teorema Eduardo vai usar pra chegar a uma contradição?

OK, vou desenhar o que Eduardo está tentando fazer.

É bem difícil desenhar algo desse jeito, na verdade.

Então esse desenho está completamente fora de escala.

Ele está dizendo que os ângulos A e B são obtusos.

Então isso significa que esse ângulo é maior que 90.

Digamos que esse seja o ângulo A.

E esse o ângulo B.

E ele também é maior que 90.

É isso que significa ser obtuso.

Que teorema Eduardo vai usar pra chegar a uma contradição?

Bom, antes mesmo de ler as alternativas, pense um pouco.

O que sabemos sobre triângulos?

Que a soma dos ângulos é 180 graus, certo?

Então se esse ângulo é o A e esse é o B, vamos chamar

esse de ângulo C.

Sabemos que A, mais B, mais C tem que ser igual

a 180 graus, certo?

Outro jeito de ver isso, C é igual a 180

menos A, menos B.

Ou de qualquer outro modo, eu só estou escrevendo

de várias maneiras diferentes.

C é igual a 180 menos A, menos B, certo?

Deixe-me fazer uma pergunta.

Se assumimos desde o começo, como Eduardo, se assumimos

que tanto A quanto B são maiores que 90 graus, A mais

B vai ser maior que pelo menos quanto?

Se isso é maior que 90 e isto é maior que 90, então A

mais B vai ser maior que 90 mais 90.

Então isso tem que ser maior que 180.

Se isso é maior que 180, e estamos subtraindo isso

de 180, estamos dizendo que, se A é maior que

90 e B é maior que 90, então o que

podemos deduzir, dessa afirmação aqui.

Dessa equação aqui.

Se esses dois são maiores que 90 então esse termo

é maior que 180.

Daí então deduzimos que C teria que ser menor que

zero, e não podemos ter ângulos negativos.

Então aí está, essa é a contradição.

Então você diria, OK, não podemos ter dois

ângulos que são maiores que 90 graus,

dois ângulos obtusos.

E essa é a sua prova por contradição.

Vejamos se o que fizemos está em

uma dessas alternativas.

Se dois ângulos de um triângulo são iguais, os lados

opostos a eles são iguais.

Não.

Se dois ângulos suplementares são iguais, ambos

medem 90.

Bom, não usamos isso.

O maior ângulo de um triângulo se opõe

ao maior lado.

Não.

A soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180.

Essa é a primeira coisa que escrevemos.

Então é a alternativa D.

Esse é o teorema que Eduardo usou para chegar à contradição.

Próxima questão.

Problema cinco.

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OK, esse aqui.

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OK, é uma pergunta grande.

Vou ver se consigo copiar e colar a coisa toda.

Copiei.

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Tá certo.

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Acho que cabe tudo na janela.

Vejamos, diz aqui para usar a prova pra

responder a pergunta.

Dado que o lado AB é congruente ao lado BC.

Então podemos dizer que esse lado é igual àquele lado.

Isso é um dado.

D é o ponto médio de AC.

Quer dizer que D é equidistante de A e C.

Significa que AD e DC tem o mesmo comprimento.

Vou escrever isso.

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Prove que o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD.

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Certo, só pra explicar melhor, triângulos congruentes são

triângulos iguais em todos os sentidos, mas eles podem

estar rotacionados.

Eles podem estar em uma posição diferente.

Se fossem triângulos semelhantes, os lados

poderiam ser diferentes.

São a mesma forma, mas poderiam ser

expandidos ou diminuídos de algum jeito.

Se forem congruentes, também são similares, mas

os lados também são iguais.

Mas mesmo tendo os lados do mesmo tamanho, eles podem

rodar como um todo.

Você olhar pra esse aqui, por exemplo,

ABD parece uma imagem espelhada de DBC.

Então, de olho, já parece que eles são

triângulos congruentes.

Vamos ver como se prova isso.

Afirmação um, AB é congruente a BC,

já nos disseram isso.

D é o ponto médio de AC.

Isso também já foi dado, muito bem.

AD é congruente a CD.

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Isso é porque D é o ponto médio de AC.

Fizemos isso aqui, a definição de ponto médio.

Muito bem.

BD é congruente a BD, é claro.

Qualquer coisa é congruente a si mesma.

Isso só diz que BD pra este triângulo é o mesmo

que BD para esse triângulo.

Muito bem, propriedade reflexiva.

Palavra difícil pra uma ideia bem simples.

E finalmente, dizem que o triângulo ABD é

congruente a CBD.

OK, a princípio, usando essas afirmações, nós

já provamos que eles têm exatamente

as mesmas medidas nos lados

Ambos têm uma medida de tamanho BD.

Ambos têm uma medida igual a AD ou DC.

E ambos têm uma medida de tamanho BA.

Então todos os lados são do mesmo tamanho.

Isso é o que sabemos dos três primeiros passos.

Então com que razão pode provar que

os triângulos são congruentes?

Bom, acabamos de ver, esses três passos nos mostraram

que os lados são iguais.

Então, esse SSS que está aqui.

Que razão?

Isto significa lado, lado, lado.

(side, side, side, em inglês, por isso SSS)

E esse é o argumento que você usa na aula de geometria

pra dizer que os três lados do dois

triângulos são congruentes.

Isso quer dizer que você tem um ângulo, um ângulo e um lado.

Aqui significa um ângulo, depois o lado

entre os dois ângulos.

E depois o outro ângulo, que todos são congruentes.

E esse aqui diz que um dos lados e um ângulo e depois

o outro lado, que eles todos são congruentes.

Nós provavelmente vamos ver esses

nas próximas questões.

De qualquer modo, esse aqui diz que todos os lados do

triângulo são iguais.

Então, podemos dizer que pela lógica lado, lado, lado,

não sou muito bom com terminologia.

Pela lógica lado, lado, lado, esses dois são

triângulos congruentes.

E eu disse, esse é um dos jeitos de ver um

triângulo congruentes, todos os lados vão ser

do mesmo tamanho.

Próxima questão.

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Tá certo.

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Na figura abaixo, AB é maior que BC.

OK, então esse lado é maior que este lado.

Mesmo que pelo desenho eles parecem iguais.

Vejamos o que dá pra fazer.

Se assumimos que o ângulo A é igual ao

ângulo C, então AB tem que ser igual a BC.

AB é igual a BC.

Eu não sei se você já viu isso, mas você aprendeu

que, se você tem dois ângulos congruentes, ou

se as medidas são as mesmas.

Basicamente isso mostra que o ângulo A é

congruente ao ângulo C.

Em vez disso eles disseram que as medidas dos ângulos

são iguais.

Essa é a definição de congruência, as

medidas dos ângulos são iguais.

Você poderia escrever, ângulo A é congruente ao ângulo C.

De qualquer modo, se você tem dois ângulos iguais, então

os lados opostos a esses ângulos também

vão ser iguais.

Então essa lado aqui vai ser

igual a este lado aqui.

E é isso que eles escreveram aqui.

Então AB é igual a BC.

Muito bem.

Daí eles dizem que isso contradiz a afirmação que AB é

maior que BC.

Certo, é verdade, assim AB é igual a BC e isso

contradiz essa afirmação.

Aonde eles querem chegar?

O que se pode concluir dessa contradição?

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Vejamos, a medida do ângulo A é igual à

medida do ângulo B.

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Não, esse não é o caso.

Posso pensar em um exemplo.

Esses dois podem ser ângulos de 30 graus.

Se ambos são ângulos de 30 graus, somando 60, então

esse teria que ser 120 pra soma chegar a 180.

E estaria completamente errado de

acordo com o que aprendemos.

Então A, definitivamente, não está certa.

Que A não precisa ser igual a B.

A medida de A não é igual à medida do ângulo B.

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Bom, ele poderia, não é?

Todos eles poderiam ser 60 graus.

Não dissemos que B não possa ser igual a A.

Esse pode ser 60, e este também 60, então

esse aqui seria 60.

E seria então um triângulo equilátero.

Então essa aqui também não está certa.

Medida do ângulo A é igual à medida do ângulo C.

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Entendi o que eles estão perguntando.

Me desculpem, foi uma falha minha.

Eles dizem aqui, AD com certeza é maior que BC.

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Aqui, se assumimos que a medida do ângulo A

é igual à medida do ângulo C, então

AB seria igual a BC.

Eles não disseram que isso é verdade.

Só disseram que assumimos que isso é verdade.

Mas não disseram que esse era o caso verdadeiro.

E foi daí que saiu a contradição.

Porque se assumirmos isso, então AB não poderia

ser maior que BC.

Porque AB então seria igual a BC.

Agora entendi o que estão perguntando.

Isso é uma suposição.

Não há provas de que isso seja verdade.

Então isso contradiz o dado que AB é

maior que BC.

Certo, isso é verdade.

Que conclusão podemos tirar dessa contradição?

Assumimos que a medida do ângulo A

é igual à medida do ângulo C.

Então esses dois lados seriam iguais, o que

contradisse a afirmação inicial.

Portanto, sabemos que as medidas desses dois ângulos

não podem ser iguais.

Porque, se elas fossem, então estaríamos contradizendo a

afirmação inicial.

Então, sabemos pela contradição que a medida

do ângulo A não pode ser igual à medida do ângulo C.

E não podemos assumir isso, porque levaria a

uma contradição.

Então a resposta correta é D.

Muito bem, vejo você no próximo vídeo.