CA Geometry: Proof by Contradiction

...

Jesteśmy przy zadaniu nr 2, mamy twierdzenie,

które mówi, że każdy trójkąt ma co najwyżej jeden kąt rozwarty.

W porządku.

"Eduardo zamierza dowieść powyższe twierdzenie przez zaprzeczenie...

Na początku założył, że..."

Kiedy dowodzimy przez zaprzeczenie, zastanawiamy się:

a co jeśli to nieprawda?

Postaram się pokazać, że tak być nie może.

Tak czy owak, zobaczmy, co zrobił Eduardo.

"Na początku założył, że w trójkącie ABC, obydwa kąty A i B

są rozwarte.

Którego z twierdzeń użyje Eduardo, by doprowadzić do sprzeczności?"

Dobrze, narysuje to, co próbuje zrobić Eduardo.

Narysować to jest bardzo trudno.

To, co narysowałem, w ogóle nie zachowuje skali.

Eduardo twierdzi, że obydwa katy A i B są rozwarte.

To oznacza, że ten kąt jest większy od 90 stopni.

Nazwijmy go kątem A.

A to jest kąt B.

I też jest większy od 90 stopni.

Taka jest definicja kąta rozwartego.

"Którego z twierdzeń użyje Eduardo, by doprowadzić do sprzeczności?"

Jeszcze zanim przeczytamy możliwe odpowiedzi, zastanówmy się nad tym.

Co wiemy o trójkątach?

Wiemy, że wszystkie kąty sumują się do 180 stopni, prawda?

Zatem jeśli to jest kąt A, a to jest kąt B, ten kąt

nazwijmy C.

Wiemy, że A dodać B dodać C musi być równe

180 stopni, prawda?

Możemy też patrzeć na to tak, C jest równy 180

odjąć A odjąć B.

Możemy myśleć o tym jeszcze inaczej, mogę zapisać to na

wiele różnych sposobów.

C jest równy 180 odjąć A odjąć B, tak?

A teraz pozwólcie, że zadam Wam pytanie.

Jeśli na początku założymy, tak jak Eduardo,

że obydwa kąty A i B mają więcej niż 90 stopni, to A dodać

B musi być większe od co najmniej ilu?

Jeśli to jest większe od 90 i to jest większe od 90, to wówczas A

dodać B musi być większe od 90 dodać 90.

Czyli musi być większe od 180.

Zatem jeśli to jest większe od 180, to odejmijmy to

od 180, dostajemy, że jeśli A jest większe

od 90, i B jest większe od 90, to możemy stąd

wywnioskować, że... Z tego oto stwierdzenia,

z tego równania.

Jeśli to i to jest większe od 90 to wówczas całe to wyrażenie

jest większe od 180.

Zatem możemy wyciągnąć wniosek, że C musi być mniejsze od

zera, a przecież kąty nie mogą być ujemne.

W tym właśnie miejscu mamy sprzeczność.

Wtedy powiedzielibyśmy, dobrze, nie możemy mieć dwóch

kątów mających więcej niż 90 stopni lub dwóch

kątów rozwartych.

I to jest właśnie dowód przez zaprzeczenie.

Zobaczmy czy to, co zrobiliśmy, odnajdziemy wśród

możliwych odpowiedzi.

(A) Jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to boki leżące naprzeciw

tych kątów są równe.

Nie.

(B) Jeśli dwa kąty przyległe są równe, to każdy z tych kątów

ma 90 stopni.

Nie, nie korzystaliśmy z tego.

(C) Największy kąt trójkąta leży na przeciwko

najdłuższego boku.

Nie.

(D) Suma wszystkich kątów trójkąta jest 180.

To pierwsza rzecz jaką napisaliśmy.

Zatem wybieramy odpowiedź D.

Tego twierdzenia użył Eduardo, żeby doprowadzić do sprzeczności.

Następne pytanie.

Zadanie nr 5.

...

Tak, to to zadanie.

...

To długie pytanie.

Spróbuje skopiować to zadanie i wkleić je tu całe.

Skopiowałem je.

...

W porządku.

...

Myślę, że teraz dobrze widać.

Spójrzmy, jest powiedziane, że mamy użyć dowodu aby odpowiedzieć

na pytanie poniżej.

A zatem, "wiedząc, że bok AB przystaje do boku BC"

Możemy powiedzieć, że ten bok jest równy temu...

To wiemy.

"D jest środkiem odcinka AC"

To oznacza, że D jest równoodległy od A i C.

Czyli odcinki AD i DC mają równą długość.

Zapiszę to.

AD i DC mają taką samą długość.

"Udowodnij, że trójkąt ABD przystaje do trójkąta CBD."

...

Dobrze. Dla porządku, przystające trójkąty to

trójkąty takie same pod każdym względem, poza tym, że mogą

być obrócone.

Mogą być w jakiś sposób obrócone.

Jeśli mamy trójkąty podobne, to wtedy mogą one mieć

boki różnych długości.

Mają taki sam kształt, ale mogą być

powiększone lub pomniejszone.

Jeśli trójkąty są przystające, to są podobne, a ponadto mają

boki takiej samej długości.

Jednak mimo, że mają boki równych długości, mogą być

odwrócone.

Na przykład, spójrzmy na ten trójkąt.

ABD wygląda jak lustrzane odbicie DBC.

Jeśli przyjrzymy się im bliżej, widzimy, że są one

przystające.

Zobaczmy jak chcą to wykazać.

Stwierdzenie pierwsze, AB przystaje do BC.

To wiemy.

D jest środkiem odcinka AC.

Dobrze, to też wiadomo.

AD przystaje do CD.

...

A to dlatego, że D jest środkiem odcinka AC.

To już zrobiliśmy, z definicji środka odcinka.

Dobrze.

BD przystaje do BD, to jest oczywiste.

Każdy obiekt przystaje sam do siebie.

To jedynie mówi nam, że BD w tym trójkącie jest takiej samej

długości, co BD w tym trójkącie.

Dobrze, mamy zwrotność.

Trudne słowo dla bardzo prostego pojęcia.

I ostatecznie, jest powiedziane, że trójkąt ABD

przystaje do CBD.

Dobra, z początkowych założeń, korzystając z tych stwierdzeń,

pokazaliśmy już, że mają trzy boki

tej samej długości.

Obydwa trójkąty mają bok długości BD.

Obydwa trójkąty mają bok długości AD lub DC.

Oraz obydwa trójkąty mają bok długości BA.

Zatem wszystkie ich boki mają taką samą długość.

To wiemy już po trzech pierwszych krokach.

"Jakiego uzasadnienia użyjemy, by dowieść że te

trójkąty są przystające?"

Przed chwilą powiedzieliśmy, trzy kroki pokazały że wszystkie

boki są takie same.

(D) Także ten podpunkt SSS, który widzimy...

Jakie uzasadnienie?

SSS [po polsku BBB] oznacza bok, bok, bok.

Bok - bok - bok.

Takiego argumentu używamy na lekcjach z

geometrii by powiedzieć, że wszystkie trzy boki

trójkątów są przystające.

(A) Ten podpunkt oznacza, że mamy kąt, kąt i bok.

(B) To oznacza, że mamy kąt i bok

pomiędzy dwoma kątami.

Potem kolejny kąt, one wszystkie są przystające.

(C) Ten podpunkt mówi, że mamy jeden bok, kąt, potem

kolejny bok, i że są one przystające.

Prawdopodobnie będziemy korzystać z tych własności

w kolejnych zadaniach.

Tak czy owak, to pokazuje, że trzy boki obydwu

trójkątów są równe.

I dlatego, z własności bok - bok - bok,

nie jestem znawcą terminologii.

Z własności bok - bok - bok, te dwa

trójkąty są przystające.

Tak jak mówiłem, jeden ze sposobów, w jaki możemy myśleć o

trójkątach przystających, to że ich boki będą miały

tę samą długość.

Następne pytanie.

Następne pytanie...

Dobrze.

Dobrze...

W poniższej figurze, bok AB jest dłuższy od BC.

OK, czyli ten bok jest dłuższy od tego.

Mimo, że na rysunku wygląda, jakby były takie same.

Zobaczmy co możemy zrobić.

Jeśli założymy, że miara kąta A jest równa mierze

kąta C... Miara A jest równa mierze B... "Wówczas z tego wynika, że AB jest równy BC."

AB jest równy BC...

Nie wiem czy już się na to natknęliście, ale na pewno

wiecie, że jeśli mamy dwa przystające kąty, lub

jeśli miary tych kątów są równe...

To to samo, co powiedzieć, że kąt A

przystaje do C.

Zamiast tego jest powiedziane, że miary tych

kątów są równe.

To jest definicja przystawania kątów, że ich

miary są równe.

Można było napisać kąt A przystaje do kąta C.

Tak czy owak, jeśli mamy dwa kąty, które są równe, to wówczas

boki naprzeciwko tych kątów też

będą równe.

Zatem ta prawa strona będzie

równa stronie lewej.

I dlatego mamy napisane, że

"z tego wynika, że AB jest równe BC."

W porządku.

Potem mamy powiedziane, że "to zaprzecza stwierdzeniu, że AB jest

dłuższe od BC."

Słusznie, jest powiedziane, że "z tego wynika, że AB jest równe BC i że

to zaprzecza temu stwierdzeniu."

Dokąd to zmierza?

"Jaki wniosek możemy wyciągnąć z otrzymanej sprzeczności?"

"... z otrzymanej sprzeczności?"...

Zobaczmy... (A) Miara kąta A jest równa

mierze kąta B.

...

Nie, to nie o to chodzi.

Mogę podać przykład.

Każdy z tych kątów może być równy 30 stopni.

Jeśli obydwa te kąty mają po 30 stopni, to sumują się do 60,

wówczas ten musiałby mieć 120, tak by razem dawały 180.

I to świetnie pasuje do wszystkiego tego,

co już wiemy.

Zatem A nie jest poprawną odpowiedzią.

Że A nie musi być równe B.

(B) Miara kąta A nie jest równa mierze kąta B.

Miara kąta A nie jest równa mierze kąta B...

Ale one mogą być równe, prawda?

Wszystkie te kąty mogą być równe 60.

Nie powiedzieliśmy, że B na pewno nie jest równe A.

To może być 60, to może być 60, i to

też może być równe 60.

I dostalibyśmy przykład trójkąta równobocznego.

Czyli to też nie jest poprawna odpowiedź.

(C) Miara kąta A jest równa mierze kąta C

Miara kąta A...

O, widzę już o co tu chodzi.

Przepraszam, moja wina.

Jest powiedziane, że "AB jest większe od BC."

Tak? AB jest większe od BC.

A teraz, mówią nam, że "jeśli założymy, że miara kąta A

jest równa mierze kąta C, to z tego wynika, że

AB jest równe BC."

Nie jest powiedziane, że to musi być prawda.

Tylko, że jeśli założymy, że to jest prawda.

Co nie musi wcale mieć miejsca.

I stąd się wzięła sprzeczność.

Bo jeśli to założymy, to wówczas AB nie może być

większe od BC.

Bo wtedy AB byłoby równe BC.

Teraz widzę o co pytają.

To tylko założenie.

To wcale nie jest dowiedzione.

"I to zaprzecza początkowemu stwierdzeniu, że AB jest

większe od BC."

Dobrze, to prawda.

Jaki wniosek możemy wyciągnąć z tej sprzeczności?

Założyliśmy, że miara kąta A jest

równa mierze kąta C.

Z tego wynika, że te dwa boki są równe, a to z kolei

zaprzecza początkowemu stwierdzeniu.

I dlatego wiemy, że miary tych dwóch kątów

nie mogą być sobie równe.

Ponieważ gdyby były, to mielibyśmy sprzeczność z danym

założeniem.

A zatem, sprzeczność mówi nam, że miara

kąta A nie może być równa mierze kąta C.

Nie możemy czegoś takiego zakładać, bo to prowadzi do

sprzeczności.

Czyli poprawna odpowiedź to D.

OK. Do zobaczenia w następnym filmiku.