CA Geometry: Proof by Contradiction

Welkom

We zijn op probleem nummer vier, en ze geven ons een stelling.

Het zegt dat een driehoek hooguit een stompe hoek heeft.

OK.

Eduardo bewijst de stelling boven door tegenstrijdigheid.

.

Dus de manier waarop je door een tegenstrijdigheid bewijzen, je net als,

nou wat als dit niet waar.

Ik wil bewijzen dat dat niet kan gebeuren.

Nou laten we eens kijken wat hij deed.

Hij begon met de aanname, dat in het driehoek ABC, hoek A en b

beide stomp zijn.

Die stelling zal Eduardo gebruiken om een tegenstrijdigheid te bereiken?

OK, ik teken wat Eduardo probeert te doen.

De manier waarop ik het teken is eigenlijk heel moeilijk.

Dus is dit eigenlijk helemaal niet op schaal getekend.

Hij zegt dus dat hoek A en hoek B beide stomp zijn.

Dus dit betekent dat deze hoek groter is dan 90.

Laten we zeggen dat dit hoek A is.

En dit is hoek B.

Hij is ook groter dan 90.

Dat is wat stomp betekent.

Die stelling zal Eduardo gebruiken om een tegenstrijdigheid te bereiken?

Nou, denk er over na voordat je de keuzemogelijkheden leest.

Wat weten we over driehoeken?

Dat alle hoeken samen 180 graden zijn.

Dus als dit hoek A is en dit hoek B, en dan noemen we

deze hoek C.

We weten A plus B plus C moet gelijk te zijn aan

180 graden.

Of een andere manier om het te bekijken is, C is gelijk aan 180

min A en min B.

Of een andere manier van benaderen,

ik schrijf het gewoon op verschillende manieren op.

C is gelijk aan 180 minus A plus B.

Nu, laat me u een vraag stellen.

Als we van het begin aannemen, zoals Eduardo deed, als we veronderstellen

dat zowel A en B zijn meer dan 90 graden,

wat is A plus B dan minimaal?

Als dit groter is dan 90 en dat is meer dan 90,

dan is A plus B meer dan 90 plus 90.

Dus moet dit groter zijn dan 180.

Dus als dit groter dan 180 is, en we zijn het aftrekken

van 180, dus zegt dit in wezen als hoek A groter is

dan 90 en hoek is B groter dan 90, dan wat we

kunnen afleiden is van deze verklaring hier.

Uit deze vergelijking hier.

Als dit en dit is meer dan 90 dan deze hele term

is groter dan 180.

Dus dan zou de herleiding zijn dat C minder moet zijn dan

nul, en wij kunnen geen negatieve hoeken hebben.

Dus daar, is dat de tegenstrijdigheid.

En dan kunnen we zeggen, je kan twee hoeken hebben

die meer dan 90 graden zijn of twee

hoeken die stomp zijn.

En dat zou uw bewijs door tegenstrijdigheid.

Laten we eens kijken of dat beschreven staat in

een van deze keuzes.

Als twee hoeken van een driehoek gelijk zijn, de tegenovergestelde zijden

van de hoeken zijn gelijk.

Nee

Als twee aanvullende hoeken gelijk zijn, zijn de hoeken

elk 90.

Nou, die gebruiken wij niet.

De grootste hoek van een driehoek is tegenover de

langste zijde.

Nee

De som van de hoeken van een driehoek is 180.

Dat is het eerste wat dat we daar schreven

Het is dus keuze D

Dat is de stelling die Eduardo gebruikt om een tegenstrijdigheid te bereiken.

Volgende vraag.

Probleem vijf.

.

OK, dit één.

.

OK, het is een grote vraag.

Laat me zien of ik het hele ding kan kopiëren en plakken.

Ik heb het gekopieerd.

.

OK.

.

Ik denk dat het allemaal in het venster past.

Laten we eens kijken, het zegt, gebruik het bewijs om

de onderstaande vraag te beantwoorden.

Dus gegeven dat kant AB congruent is aan zijde BC.

We kunnen dus zeggen dat deze kant gelijk is aan die kant.

Die wordt gegeven.

D is het middelpunt van AC

Dus is dat betekent D op gelijke afstand staat tussen AC.

Dus dat dat betekent AD en DC gelijke lengte zijn.

Laat me dat opschrijven.

.

Bewijz dat driehoek ABD congruent is aan de driehoek CBD.

.

En voor de duidelijkheid, Congruent driehoeken zijn,

driehoeken die in alle opzichten het zelfde zijn,

behalve dat ze misschien zijn gedraaid.

Ze kunnen op een bepaalde manier gedraaid zijn.

Als je soortgelijke driehoeken hebt, kunnen die ook

verschillende afmetingen hebben.

Ze zijn gewoon soort van dezelfde vorm, maar ze kunnen

vergroot of verkleind zijn op een bepaalde manier.

Als je congruent bent, hebt u soortgelijke driehoeken maar ze

ook hebben de dezelfde kant lengtes.

Maar ook al ze de dezelfde kant lengtes hebben,

kunnen ze worden omgedraaid.

Zoals, we kunnen naar deze kijken.

ABD ziet er uit als een spiegelbeeld van DBC.

Dus, gewoon door te kijken, voelt het al alsof ze

congruent driehoeken zijn.

Laten we eens kijken hoe ze het bewijzen.

Zo verklaring een, AB is congruent is aan BC.

ze geven ons dat.

D is het middelpunt van AC

Dat werd gegeven, eerlijk genoeg.

AD is congruent aan CD.

.

Dat komt omdat D het middelpunt is van AC.

We hebben dat deel daar, definitie van middelpunt.

OK.

BD is congruent aan BD, natuurlijk.

Alles is congruent aan zichzelf.

Dus zegt enkel dat de BD voor die driehoek de zelfde

lengte is als de BD voor deze driehoek.

Eerlijk genoeg, wederkerend eigenschap.

Fancy woord voor een zeer eenvoudig idee.

En ten slotte zeggen ze dat driehoek ABD

congruent is aan CBD.

OK, goed van het begin, met behulp van deze verklaringen, hebben we

al aangetoond dat de

drie kanten exact hetzelfde zijn.

Beide driehoeken hebben een kant van lengte BD.

Beide driehoeken hebben een kant van lengte AD of DC.

En beide driehoeken hebben een kant van lengte BA.

Dus al hun zijden zijn dezelfde lengte.

Dat is wat we weten na de eerste drie stappen.

Dus wat redenering kan gebruikt worden om te bewijzen dat

de driehoeken congruent zijn?

Goed zoals we zojuist al aangaven, deze drie stappen geeft aan dat

alle zijden hetzelfde zijn.

Dus deze SSS die u ziet.

Welke reden?

Dat betekent kant, kant, kant.

.

En dat is gewoon het argument dat je gebruikt in de geometrie

klasse om te zeggen dat alle drie kanten van beide

driehoeken congruent zijn.

Dit betekent dat je een hoek, een hoek en een kant hebt.

Dit betekent dat we een hoek hebben en een kant.

tussen de twee hoeken.

En dan de volgende hoek dat al die congruent zijn.

En dit zegt dat een van de zijden en de hoek, en de

andere kant, dat die congruent zijn.

We zullen die waarschijnlijk tegenkomen in de

volgende paar vragen.

Maar hoe dan ook, laat dit zien dat alle drie kanten van beide

driehoeken gelijk zijn.

En dan kunnen we dus, zeggen door de kant, de kant, de kant

redeneren, ben ik niet zo goed met terminologie.

Door de kant, kant, kant redenering, zijn dit de beide

congruent driehoeken.

En ik zei, dat is een van de manieren van denken over een

congruent driehoek, is dat alle kanten

dezelfde lengte hebben.

Volgende vraag.

.

OK.

.

In de onderstaande afbeelding is AB groter dan BC.

OK, dus deze kant is groter dan die kant.

Hoewel de manier waarop ze getekend zijn, zien ze er allemaal hetzelfde uit.

Laten we eens kijken wat we kunnen doen.

Als we aannemen die grootte van hoek A gelijk is aan de grootte van

hoek C, het betekend dat AB gelijk is aan BC.

AB is gelijk aan BC.

En ik weet niet of je dit al bent tegengekomen, maar

je hebt geleerd dat als twee hoeken congruent zijn, of

als de afmetingen hetzelfde zijn.

Dit is in wezen zeggen die hoek A

congruent is aan hoek C.

Zij hebben in plaats daarvan gewoon geschreven, dat de grootte van de

hoeken gelijk zijn.

Dat is wat de definitie van congruentie is, is dat de

grootte van de hoeken gelijk zijn.

U zou kunnen hebben geschreven, hoek A is congruent aan hoek C.

Maar hoe dan ook, als je twee hoeken hebt die gelijk zijn, dan

zullen de kanten tegenover de hoeken

ook gelijk zijn.

Dus zal deze kant hier

gelijk zijn aan die kant.

En dat is wat ze hier schreven.

Hieruit volgt dat AB gelijk is aan BC.

OK

Dan zeggen ze dit in tegenspraak is met het gegeven dat AB

groter is dan BC.

Het zegt, het volgt dat AB gelijk is aan BC en dat

in tegenspraak met deze verklaring.

Waar gaan ze naar toe met dit?

Welke conclusies kan worden getrokken uit deze tegenstrijdigheid?

.

Laten we eens kijken, grootte van hoek A is gelijk aan

de grootte van hoek B.

.

Nee, dat is niet het geval.

Ik kan wel een voorbeeld bedenken.

Dit kunnen beide een hoek van 30 graden zijn.

Als deze beide 30 graden zijn, geeft 60, vervolgens

zou dit 120 moeten worden om tot 180 te komen

En het zou volledig tegenstrijdig zijn met

alles wat we hebben geleerd.

A is dus zeker niet juiste.

A hoeft niet gelijk te zijn aan B.

Grootte van A is niet gelijk aan de grootte van hoek B.

.

Nou, dat kan.

Al deze hoeken kunnen 60 graden zijn.

We hebben niet gezegd dat de B zeker niet gelijk is aan A

Dit zou 60 kunnen worden, en die zou 60 kunnen worden, en dus

zou dit 60 zijn.

En we zouden een gelijkzijdige driehoek hebben.

Dus ik denk niet dat dat klopt.

grootte van hoek A is gelijk aan de grootte van hoek C.

.

Ik zie wat ze hier zeggen.

Sorry, en dit is mijn fout.

Ze zeggen, AB is zeker groter dan BC.

.

Nu, ze zeggen, dat als we ervan uitgaan dat de grootte van hoek A

gelijk is aan de grootte van hoek C, volgt hieruit dat

AB gelijk is aan BC.

Ze zeggen niet dat dit zeker waar is.

Ze zeggen dat als we ervan uitgaan dat dit waar is.

Maar zij niet zeggen dat dit een duidelijke zaak is.

En dat is waar de tegenstelling vandaan kwam.

Omdat als we er van uitgegaan, dan kan AB niet

groter zijn dan BC.

Omdat dan AB en BC gelijk zouden zijn.

Nu begrijp ik wat ze vragen.

Dus dit is een veronderstelling.

Dit is niet echt bewezen.

Dit is in tegenspraak met de gegeven uitgangspunt dat AB

groter is dan BC.

Dat is waar.

Welke conclusie kan worden getrokken uit deze tegenstrijdigheid?

Dus hebben we de aanname dat de grootte van hoek A

gelijk is aan de grootte van hoek C.

Daaruit volgt at deze twee kanten gelijk zijn,

wat de gegeven aanname tegenspreekt.

Daarom weten wij dat de grootte van deze twee hoeken

niet gelijk aan elkaar kunnen zijn.

Omdat als ze dat waren, dan zou dat strijdig zijn met de bepaalde

veronderstelling.

Dus, we weten uit de tegenstrijdigheid dat de grootte

van hoek A niet gelijk kan zijn aan de grootte van hoek C.

En we kunnen die aanname niet doen omdat het leidt tot

een tegenstrijdigheid.

Dus het juiste antwoord is D

Oke, zie ik je in de volgende video.