CA Geometry: Proof by Contradiction

...

Nous en sommes au problème numéro 4, et ils nous donnent un théorème.

Il nous dit qu'un triangle a, au maximum, un angle obtus.

Très bien.

Eduardo prouve ce théorème par contradiction.

...

Pour prouver quelque chose par contradiction,

on se demande ce que ça ferait si ce n'était pas vrai.

Laissez-moi prouver que ça ne peut pas arriver.

Voyons comment il a fait.

Il a commencé par supposer que, dans le triangle ABC,

les angles A et B soient tous les deux obtus.

Quel théorème Eduardo va-t-il utiliser pour arriver à une contradiction?

Ok, je vais dessiner ce qu'Eduardo essaie de faire.

En fait c'est très difficile vu la façon dont je dessine.

Donc ce n'est pas du tout dessiné à l'échelle.

Donc il dit que l'angle A et l'angle B sont tous les deux obtus.

Cela veut dire que cet angle est plus grand que 90°.

Disons que c'est l'angle A.

Et là c'est l'angle B.

Et il est aussi supérieur à 90°.

C'est ce que veut dire "obtus".

Quel théorème Eduardo va-t-il utiliser pour arriver à une contradiction?

Avant de lire les choix, réfléchissez-y.

Que savons-nous à propos des triangles?

Que tous les angles additionnés font 180 degrés, n'est-ce pas?

Donc si c'est l'angle A, ça c'est l'angle B et maintenant

appelons cet angle C.

Nous savons que A plus B plus C doivent être égal

à 180 degrés, n'est-ce pas?

Ou une autre manière de le voir c'est que C est égal à 180

moins A moins B.

Ou une autre façon d'y penser, je l'écris juste

de plusieurs façons différentes.

C est égal à 180 moins A plus B, on est d'accord?

Maintenant, laissez-moi vous poser une question.

Si nous partons du principe dès le début, comme l'a fait Eduardo,

que A et B sont tous les deux plus grands que 90 degrés,

à quoi le résultat de A plus B va-t-il au moins être supérieur?

Si ceci est plus grand que 90 et cela est plus grand que 90, alors A

plus B va être plus grand que 90 plus 90.

Donc ça va être supérieur à 180.

Si c'est supérieur à 180, and que nous le soustrayons

de 180, ça veut dire que si l'angle A est plus grand

que 90, et que l'angle B est plus grand que 90, alors ce que nous

pouvons déduire c'est que, à partir de cette expression ici,

A partir de cette équation juste ici.

Si ceci et ceci est plus grand que 90, alors cette expression

est plus grande que 180.

Donc ce qu'on peut en déduire c'est que C doit être plus petit

que zéro, et nous ne pouvons pas avoir d'angles négatifs.

Voilà, c'est ici que se trouve la contradiction.

Et ensuite vous diriez, OK, donc on ne peut pas avoir deux

angles de plus de 90 degrés ou deux

angles obtus.

Et ce serait votre preuve par contradiction.

Voyons si ce que nous avons fait peut être exprimé

par l'un de ces choix.

Si deux angles d'un triangle sont égaux, les côtés opposés

aux angles sont égaux.

Non.

Si deux angles supplémentaires sont égaux, chaque angle

mesure 90°.

Nous n'avons pas utilisé ça.

L'angle le plus grand d'un triangle est celui qui se trouve à l'opposé

du côté le plus long.

Non.

La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180.

C'est la première chose que nous avons écrite là.

Donc c'est le choix D.

Voilà le théorème qu'Eduardo a utilisé pour arriver à une contradiction.

Question suivante.

Problème 5.

...

OK, celui-ci.

...

OK, c'est une longue question.

Voyons si j'arrive à copier et coller le tout.

Je l'ai copié.

...

Très bien.

...

Je crois que tout rentre dans la fenêtre.

Voyons, il dit d'utiliser la preuve pour répondre

à la question en-dessous.

Sachant que le côté AB est identique au côté BC.

Donc nous pourrions dire que ce côté est égal à ce côté.

C'est donné.

D est le point médian de AC.

Ce qui veut dire que D est équidistant de A et C.

Ce qui veut dire que AD et DC font la même longueur.

Je vais l'écrire.

...

Prouvez que le triangle ABD et le triangle CBD sont isométriques.

...

Pour votre information, des triangles isométriques sont

des triangles qui sont exactement pareils, à part qu'ils peuvent

avoir été tournés.

Ils peuvent avoir subi une rotation.

Si vous aviez des triangles semblables, alors ils pourraient aussi avoir

une taille différente.

Ils ont la même forme, mais il peuvent être

plus grands ou plus petits.

Les triangles isométriques sont des triangles semblables

qui ont aussi la même taille.

Mais même si leurs côtés sont de la même longueur, ils pourraient

être retournés.

Par exemple, regardez celui-ci.

ABD semble être le miroir de DBC.

Juste à vue d'oeil, on dirait déjà qu'ils sont

des triangles isométriques.

Voyons comment ils le prouvent.

La première affirmation, AB et BC sont isométriques,

ils nous la donnent.

D est le point central de AC.

Ça nous était donné, pas de problème.

AD et CD sont isométriques.

...

C'est parce que D est le point médian de AC.

Nous avons fait cette partie-là, la définition du point médian.

Très bien.

BD est isométrique à BD, évidemment.

Tout est isométrique à soi-même.

Ça veut juste dire que le BD de ce triangle est de la même

longueur que le BD de ce triangle.

Très bien, propriété réflexive.

Un mot sophistiqué pour une idée très simple.

Et finalement, ils disent que le triangle ABD est

isométrique au triangle CBD.

Dès le début, en utilisant ces affirmations, nous avons

déjà montré que la longueur des trois côtés

est exactement la même.

Les deux triangles ont un côté de longueur BD.

Les deux triangles ont un côté de longueur AD ou DC.

Et les deux triangles ont un côté de longueur BA.

Donc tous leurs côtés ont la même longueur.

C'est ce que nous savons après les trois premières étapes.

Alors quelle raison peut être utilisée pour prouver que les

triangles sont isométriques?

Comme nous venons de le dire, ces trois étapes ont montré que tous les

côtés sont les mêmes.

Ce SSS que vous voyez.

Quelle raison?

Ça veut dire côté, côté, côté.

...

Et c'est l'argument que vous utilisez en classe

de géométrie pour dire que les trois côtés des deux

triangles sont isométriques.

Ça veut dire que vous avez un angle, un angle, et un côté.

Ça veut dire que vous avez un angle, et ensuite le côté

entre les deux angles

et l'angle suivant qui sont isométriques.

Et ça veut dire que l'un des côtés et l'angle, et

l'autre côté sont isométriques.

Nous allons probablement les retrouver dans les

prochaines questions.

Quoi qu'il en soit, ça montre que les trois côtés des deux

triangles sont égaux.

Et ainsi, on pourrait dire grâce au raisonnement côté, côté, côté,

je ne suis pas si doué avec la terminologie.

Par le raisonnement côté, côté, côté, ces deux

triangles sont isométriques.

Et comme je l'ai dit, une des façons de concevoir les

triangles isométriques, c'est que tous leurs côtés vont avoir

la même longueur.

Question suivante.

...

Très bien.

...

Sur la figure ci-dessous, AB est plus grand que BC.

OK, donc ce côté est plus grand que ce côté.

Même s'ils ont tous l'air pareils comme je les ai dessinés.

Voyons ce que nous pouvons faire.

Si nous partons du principe que la mesure de l'angle A est égale à la mesure de

l'angle C, alors AB est égal à BC.

AB est égal à BC.

Et je ne sais pas si vous l'avez déjà rencontré, mais vous

l'avez appris si deux angles sont isométriques, ou

si les mesures sont les mêmes.

Pour faire simple, ça veut dire que l'angle A est

isométrique avec l'angle C.

Ils ont juste écrit que les mesures des

angles sont égales.

C'est la définition de l'isométrie, que les

mesures des angles sont égales.

On aurait pu écrire que l'angle A et l'angle C sont isométriques.

Si vous avez deux angles égaux, alors

les côtés opposés à ces angles vont

aussi être égaux.

Donc ce côté ici va être

égal à ce côté-là.

Et c'est ce qu'ils ont écrit ici.

Ça implique que AB est égal à BC.

Très bien.

Ensuite ils disent que ça contredit l'affirmation donnée que AB

est plus grand que BC.

On nous dit que AB est égal à BC et ça

contredit cette affirmation.

Où est-ce que nous allons avec ça?

Quelle conclusion peut être tirée de cette contradiction?

...

Voyons, la mesure de l'angle A est égale à

la mesure de l'angle B.

...

Non, ce n'est pas le cas.

Voilà un exemple.

Ces deux angles pourraient être de 30 degrés.

Si ces deux angles font 30 degrés, en les additionnant ça fait 60,

il faudrait que celui-ci mesure 120 degrés pour que le total soit égal à 180.

Et ça ne collerait pas du tout avec

tout ce que nous avons appris.

Donc A n'est définitivement pas juste.

A ne doit pas être égal à B.

La mesure de A n'est pas égale à la mesure de B.

...

Ce serait possible, non?

Tous ces angles pourraient mesurer 60 degrés.

Nous n'avons pas dit que B n'était pas égal à A.

Ça pourrait être 60, ça pourrait être 60, et

ça aussi.

Et nous aurions un triangle équilatéral.

Donc je ne crois pas que ce soit juste non plus.

La mesure de l'angle A est égale à la mesure de l'angle C.

...

Je vois ce qu'ils veulent dire.

Désolé, c'est de ma faute.

Ils disent que AB est plus grand que BC.

...

Ils ont dit que si nous supposons que la mesure de l'angle A est

égale à la mesure de l'angle C, alors

AB est égal à BC.

Ils n'ont pas dit que c'était vrai.

Ils ont juste dit si nous supposons que c'est vrai.

Ils n'ont pas dit que c'était certain.

Et c'est là qu'est arrivée la contradiction.

Parce que si nous avions supposé ça, alors AB n'aurait pas pu

être plus grand que BC.

Parce que AB aurait été égal à BC.

Maintenant je comprends ce qu'ils demandent.

Donc c'est une hypothèse.

Il n'y a pas de preuves que c'est vrai.

Donc ça contredit l'affirmation qui nous est donnée que AB est

plus grand que BC.

C'est vrai.

Quelle conclusion peut être tirée de cette contradiction?

Donc nous avons fait l'hypothèse que la mesure de l'angle A est

égale à la mesure de l'angle C.

Cela signifie que ces deux côtés sont égaux, ce qui

contredit l'affirmation donnée.

C'est pourquoi nous savons que les mesures de ces deux angles

ne peuvent pas être égales.

Parce que si elles l'étaient, alors nous contredirions

l'affirmation donnée.

Donc nous savons grâce à la contradiction que la mesure

de l'angle A ne peut pas être égale à la mesure de l'angle C.

Et nous ne pouvons pas faire cette hypothèse parce que cela mène à

une contradiction.

Donc la réponse correcte est D.

Voilà, je vous revois dans la prochaine vidéo.