CA Geometry: Proof by Contradiction

Estámos en el probléma número 4, y nos dán un teorema.Este teorema dice que, un triangulo tiene no más de un angulo obtuso.

.Este teorema dice que, un triangulo tiene no más de un angulo obtuso.

Eso es todo.

.Eduardo esta comprobando el teorema expuesto arriba, utilizando la tecnica de contradiccion

Por lo tanto, la forma en que tu puedes comprobar un teorema utilizando la tecnica de contradiccion es como si tu estuvieras diciendo

Bueno, que pasaria si esto no fuera cierto.

Dejame probar que esto no puede pasar

Veamos que fue lo que el hizo

El empezo por asumir que en el triangulo ABC, los angulos A y B son obtusos,como parecen ser a simple vista (menores de 90 grados)

Ambos son obtusos (menores de 90 grados)Cual Teorema usará Eduardo para

Cual Teorema usará Eduardo para encontrar una contradiccion?

Muy bien, dejame dibujar esto, lo que Eduardo está tratando de hacer

. La forma en la que yo estoy dibujando es muy dificil

Podemos decir que no es exactamente un dibujo a escala Entonces,

él esta diciendo que los angulos A y B son ambos obtusos

Por lo tanto, esto significa que este angulo es mayor a 90 grados Digamos que este es el angulo A

Digamos que este es el angulo A

y digamos que este es el angulo BY este es tambien mayor a 90 grados

Y este es tambien mayor a 90 grados

Esto es lo que significa Obtuso

Cual teorema utilizara Eduardo para encontrar su contradiccion?

Bueno, aun antes de empezar a leer las posibles respuestas, piensa en esto

Que es lo que sabemos acerca de los triangulos?

Que la suma de todos los angulos internos de un triangulo es igual a 180 grados, Cierto?

Por lo tanto, este es el angulo A y este es el angulo B,

Entonces llamemos a este angulo, el angulo C

Sabemos que la suma de A más B más C = 180
A + B + C = 180 grados......

correcto?

O bien, otra forma de decir esto seria de la siguiente manera Angulo C es igual a 180 menos A menos B

C = 180 - A - B

es decir, podemos expresar nuestra ecuacion de muchas maneras diferentes

C = 180 - (A + B)

C es igual a 180 menos la suma de los angulos (A + B)

Ahora, dejame hacerte una pregunta?

Si nosotros asumimos, como lo hizo Eduardo,

que ambos angulos A y B son mayores que 90 grados

la suma de: angulo A, más angulo B; va a ser mayor que ?

Si este angulo es mayor que 90 y aquel angulo es mayor que 90 grados

entonces A + B va a ser mayor que 180

por lo tanto si esta suma es mayor que 180

y nosotros estamos restando a 180

esto escencialmente dice que el angulo A es mayor de 90 grados

y que el angulo B es mayor de 90 grados

lo que podemos duducir de este enunciado y de esta ecuacion

De esta ecuacion, justo aqui

Si este y este son mayores de 180 entonces el termino completo

es mayor que 180

Por lo tanto la deduccion sería que el angulo C tendría que ser menor que cero,

y nosotros no podemos tener angulos con un valor negativo

Entonces justo aqui, tenemos la contradiccion

Y entonces podemos decir, Esta Bien, por lo tanto no podemos tener dos

angulosque sean mayores a 90 grados, dentro del mismo triangulo

ó lo que es lo mismo, no podemos tener 2 angulos obtusos en un triangulo

Y esta seria tu forma de probar por contradiccion

Veamos si lo que hicimos, lo podemos poner en palabras

en alguna de las siguientes opciones

Si dos angulos de un triangulo son iguales, los lados son opuesto

sLos angulos son iguales

No

Sí dos angulos sulementarios son iguales, cada angulo

mide 90 grados

Bien, nosotros no hicimos eso.

El angulo mayor de un triangulo es opuesto

a el lado mas grande (más largo)

No

La suma de la medida de los angulos de un triangulo es igual a 180 grados

Esa fue la primera cosa que nosotros escribimos aqui

Por lo tanto; la respuesta correcta es D

Este es el teorema que Eduardo utilizó para demostrar su contradiccion

Siguiente pregunta

Problema numero 5

Muy bien, este es el problema

Es una pregunta dificil

Dejame ver si puedo copiar y pegar el problema completo

Ya lo he copiado

Muy bien

Yo pienso que todo aparece en la pantalla

Veamos, dice que usemos la prueba para contestar

la pregunta que esta abajo

Dado que el lado AB es congruente con el lado BC

Entonces podemos decir que este lado es igual a este lado

dado que

D es el punto medio del segmento AC

Esto significa que D es equidistante (esta a la misma distancia) entre AC

Esto significa que AD y DC son de igual longuitud

Dejame escribir esto

Probar que el triangulo ABD es congruente a el triangulo CBD

Muy bien, y como ustedes saben, triangulos congruentes son aquellos

triangulos que son iguales en todo (forma y medida) excepto que tal vez

han sido rotados

Ellos pudieron haber sido rotados en alguna forma

Si tu tienes triangulos similares, entonces tu puedes tener

diferentes medidas en sus lados

Ellos pudes ser de la misma figura, pero pueden haber sido

expandidos o contraidos en alguna forma

Si tu tienes triangulos congruentes, estos seran similares en la figura

ellos tambien tendran las mismas medidas

Pero aun y cuando tienen la misma figura y las mismas medidas ellos pudieron haber

sido girados o rotados

como tu puedes ver en este triangulo

triangulo ABD se mira como si se reflejara en un espejo formando el triangulo DBC

echale una mirada cuidadosa, y veras que parecen ser

triangulos congruentes

Veamos como lo vamos a probar

por la oracion numero 1,segmento AB es congruente al segmento BC.

ellos nos dieron esto

D es el punto medio del segmento AC

Esto nos fue dado como tal

Segmento AD es congruente a el segmento CD

Esto es porque D es el punto medio de AC

Nosotros hicimos esta parte aqui, por deefinicion de punto medio

solo por eso

BD is congruente a BD por supuesto

Cualquier cosa es congruente asi mismo

por lo tanto, esto dice que BD para este triangulo es la misma

longuitud que BD para este otro triangulo

tal cual, estamos usando la propiedad de reflexion

una palabra muy elegante, para una idea muy simple

Y entonces finalmente, nos dicen que el triangulo ABD es

congruente a el triangulo CBD

Muy bien, como vamos, usando este enunciado, hemos

demostrado que ellos son lo mismo

los tres lados tienen exactamente las mismas medidas

Ambos triangulos tienen un lado de longuitud BD

Ambos triangulos tienen un lado de longuitud AD ó DC

Y ambos triangulos tienen un lado de longuitud BA

Por lo tanto, todos sus lados tienen la misma longuitud

Esto es lo que sabemos despues de los tres primeros pasos

que razon podemos usar para probar que

los triangulos son congruentes?

Bueno como dijimos, estos tres pasos demuestran que

todos los lados son iguales

por lo tanto es lo que tu puedes ver

Que razon?

SSS significa lado, lado, lado

y este es el argumento que usamos en la clase de Geometría

que todos los lados son iguales

entonces los triangulos son congruentes

esto significa que tu tienes un angulo, un angulo y un lado

Esto quiere decir que tu tienes un angulo y entonces el lado

entre los dos angulos

y entonces el siguiente angulo, hasta ver que todos ellos son congruente

Y esto dice que uno de los lados y el angulo y el

otro lado, que estos son congruentes

probablemente veremos mas de esto en

el siguiente par de preguntas

Pero de cualquier forma, esto demuestra que todos los lados

de un triangulo son iguales a los lados del otro triangulo

y por lo tanto podemos decir, por el razonamiento de lado, lado, lado

No so mu bueno con la terminologia

por el razonamiento lado, lado, lado decimos que ambos

son triangulos congruentes

y como yo digo, esta es una de las formas de pensar acerca de

triangulos congruentes, es que los lados van a ser

de la misma longuitud

Siguiente pregunta.

Muy bien.

En la figura, AB es mayor que el BC.

OK, así que este lado es superior a ese lado.

Aunque la forma lo llamaron, todos miran el mismo.

Así que vamos a ver qué podemos hacer.

Si suponemos que esa medida de un ángulo es iguales a la medida de

ángulo C, se deduce que AB es igual a BC.

AB es igual a BC.

Y no sé si has corre en esto ya, pero usted

aprendí que si tienes dos ángulos que son congruentes, o

Si las medidas son las mismas.

Esto está diciendo esencialmente ese ángulo a es

congruente con el ángulo C.

En su lugar simplemente escribieron lo que las medidas de la

ángulos son iguales.

Que es lo que es la definición de congruencia, es que el

medidas de los ángulos son iguales.

Podría haber escrito el ángulo a es congruente con el ángulo C.

Pero de todas formas, si tienes dos ángulos que son iguales, entonces

los lados que están frente a esos ángulos son

también va a ser igual.

Así que este lado derecho aquí va a ser

igual a ese lado.

Y eso es lo que escribieron aquí.

Se deduce que AB es igual a BC.

Bastante justo.

Luego dicen que esto contradice la afirmación dada que AB es

mayor de BC.

A la derecha, dice, se deduce que AB es igual a BC y

contradice esta afirmación.

¿Adónde van con esto?

¿Qué conclusión de esta contradicción?

Vamos a ver, medida del ángulo a es igual a

medida del ángulo B.

No, eso no es el caso.

Puedo pensar en un ejemplo.

Ambos pueden ser ángulos de 30 grados.

Si se trata de dos ángulos de 30 grados, añadir hasta 60, entonces

Esto tendría que ser de 120 que suman hasta 180.

Y sería completamente gel con

todo lo que hemos aprendido.

Así, A definitivamente no es correcta.

Que no tiene que ser igual a B.

Medida de la a no es igual a la medida del ángulo B.

¿Bueno, ellos podrían, derecho?

Todos estos ángulos podrían ser de 60 grados.

Nosotros no hemos dicho que b definitivamente no es igual A.

Esto podría ser de 60, que podría ser de 60, y así

podría tratarse de 60.

Y nos estaría tratando con un triángulo equilátero.

Así que no creo sea correcto.

Medida del ángulo a es igual a la medida de ángulo C.

Veo lo que están diciendo aquí.

Lo siento, y este es mi mal.

Dicen, AB es definitivamente mayor que BC.

Ahora, dijeron si asumimos esa medida de ángulo a es

igual a la medida del ángulo C, se deduce que

AB es igual a BC.

No dicen que esto es sin duda cierto.

Sólo dijeron si suponemos que esto es cierto.

Pero no dicen que este es un caso claro.

Y esa es la procedencia de la contradicción.

Porque si lo asumimos, entonces AB no podría ser

mayor de BC.

Porque entonces sería igual a AB BC.

Ahora veo lo que están pidiendo.

Así que esto es una suposición.

Esto realmente no está probado para ser verdad.

Así que esto contradice la declaración dada que AB es

mayor de BC.

Derecho, eso es cierto.

¿Qué conclusión de esta contradicción?

Así que hicimos la suposición de que la medida del ángulo a es

igual a la medida del ángulo C.

Que sigue que estos dos lados son iguales, que

contradice la instrucción dada.

Por lo tanto, sabemos que las medidas de estos dos ángulos

no pueden ser iguales entre sí.

Porque si fueran, entonces sería contradecir el dado

Asunción.

Así, sabemos de la contradicción que la medida

de ángulo a no pueden igualar la medida del ángulo C.

Y no podemos hacer esa suposición porque lleva a

una contradicción.

Por lo tanto la respuesta correcta es D.

Bien, nos vemos en el siguiente vídeo.