CA Geometry: Proof by Contradiction

Wir sind bei Problem Nummer 4 und wir haben hier ein Theorem.

Es besagt,dass ein Dreieck höchstens einen Stumpfen Winkel hat.

So weit, so gut

Eduardo beweist das Theorem durch Widerspruch.

Wenn man etwas durch Widerspruch beweist fragt man sich:

Was wäre, wenn es nicht so wäre?

Ich belege, dass das nicht passieren kann.

Naja, schauen wir mal, weas er gemacht hat.

Zuerst hat er angenommen, dass im Dreieck ABC die Winkel bei A und B

beide stumpfwinkelig sind.

Welches Theorem wird Eduardo nutzen um dem Widerspruch zu erreichen?

Ok, ich skizziere mal, was Eduardo zu tun versucht.

Der Weg, wie ich es zeichne ist eigentlich sehr schwer

Also das ist eigentlich nicht maßstabsgerecht gezeichnet.

Er behauptet jetzt, dass die Winkel A und B beide stumpf sind.

Das bedeutet, dass diese Winkel größer als 90° sind.

Sagen wir, das ist Winkel A.

Und das Winkel B.

Und er ist ist außerdem größer als 90.

Das bedeutet stumpfwinkelig.

Welches Theorem wird Eduardo benutzen, um den Widerspruch zu erreichen?

Gut, bevor wir die Auswahlmöglichkeiten lesen, lass uns drüber nachdenken.

Was wissen wir über Dreiecke?

Das alle Winkel zusammen 180 Grad ergeben, richtig?

Also wenn das Winkel A ist und das Winkel B

nennen wir diesen Winkel C.

Wir wissen, dass A plus B plus C

180 Grad ergeben müssen, richtig?

Oder, eine andere Sichtweise, C ist gleich 180 Grad

minus A und minus B.

Oder ein anderer Weg drüber zu denken, Ich schreib es mal

in verschiedenen Wegen

C gleicht 180 minus A plus B, richtig?

Also, lass mich dir eine Frage stellen.

Wenn wir, wie Eduardo, von Beginn an annehmen

dass A und B größer als 90 Grad sind, als was werden A plus

B mindestens größer sein?

Wenn das größer als 90 Grad ist, und das ist größer als 90 Grad, dann werden A

plus B größer sein als 90 plus 90.

Also muss das größer als 180 sein.

Also wenn das größer als 180 ist, und wir das

von 180 subtrahieren, das heißt, wenn Winkel A größer als 90° ist

und Winkel B größer als 90° ist,

dann können wir aus dem, was hier steht schließen:

Aus der Gleichung hier,

Wenn das und das größer als 90° ist,

dann ist der ganze Term größer als 180.

Daraus würden wir herleiten, dass C weniger also 0° sein müsste

und wir können keine negativen WInkel haben.

Und genau das hier ist der Widerspruch.

Dann kannst du sagen, ok, folglich kann man keine zwei Winkel haben,

die größer als 90° sind,

oder 2 stumpfe Winkel.

Und das wäre dein Beweis durch Widerspruch.

Schauen wir mal, ob das, was wir gemacht haben

durch eine dieser Möglichkeiten beschrieben werden kann.

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich sind,

sind die Seiten gegenüber diesen WInkeln gleich.

Nein.

Wenn zwei unterschiedliche Winkel gleich sind,

sind beide Winkel gleich 90°.

Das haben wir nicht verwendet.

Der größte Winkel eines Dreiecks

ist gegenüber der längsten Seite.

Nein.

Dies Summe der Winkel eines Dreiecks ist 180°.

Das ist das Erst, was wir hier aufgeschrieben haben.

also ist es Möglichkeit D.

Das ist das Theorem, das Eduardo durch Widerspruch erreicht hat.

Nächste Frage.

Problem 5.

Alles klar, das hier.

Ok, das ist eine große Frage

Ich schau mal, ob ich das kopieren kann.

Ich hab's kopiert.

Alles klar.

Ich glaube es passt in das Fenster.

Schauen wir mal, da steht: Benutze den Beweis,

um die Frage unten zu beantworten.

Es ist gegeben, dass die Seite AB kongruent zu der Seite BC ist.

Also könnten wir sagen, diese Seite ist gleich dieser Seite.

Das ist vorgegeben.

D ist der Mittelpunkt von AC.

Das heißt, D ist in der Mitte zwischen AC.

Das heißt, dass AD un DC gleichlang sind.

Das schreibe ich mal auf.

Beweise, dass das Dreieck ABD kongruent mit dem Dreieck CBD ist.

In Ordnung, und nur, damit du es weißt, kongruente Dreiecke sind Dreiecke,

die sich in allen Belangen gleichen,

außer, dass sie gedreht sein können.

Sie könnten irgendwie gedreht sein.

Wenn du ähnliche Dreiecke hättest, da könntest du

auch unterschiedliche Seitenlängen haben.

Sie haben zwar die gleiche Form,

aber sie könnten irgendwie gestaucht oder gedehnt sein.

Wenn sie kongruent sind, hast du ähnliche Dreiecke,

aber sie haben die gleichen Seitenlängen.

Aber obwohl sie die gleichen Seitenlängen haben,

könnten sie gedreht sein.

Nun kannst du dir das hier ansehen.

Sieht so aus, als wäre ABD ein Spiegelbild von DBC.

Also nach Augenmaß scheinen sie

kongruente Dreiecke zu sein.

Schauen wir, wie sie das beweisen.

Behauptung eins, AB ist kongruent zu BC,

das geben sie uns vor.

D ist der Mittelpunkt von AC.

Das war gegeben, so weit, so gut.

AD ist kongruent zu CD.

Das liegt daran, dass D der Mittelpunkt von AC ist.

Wir haben das hier, Definition des Mittelpunkts.

Alles klar.

BD ist kongruent zu BD, natürlich.

Alles ist kongruent zu sich selbst.

Also das besagt, dass BD für dieses Dreieck

die gleiche Länge hat iwe BD für dieses Dreieck.

So weit, so gut, reflexiver Besitz.

Schicker Begriff dür eine sehr einfache Idee.

Und dann am Ende sagen sie, Dreieck ABD ist

kongruent zu CBD.

Ok, von Anfang an: Anhand dieser Beispiele

haben wir bereits gezeigt,

dass sie genau die gleichen drei Seitenlängen haben.

Beide Dreiecke haben eine Seite der Länge BD.

Beide Dreiecke haben eine Seite der Länge AD oder DC.

und beide Dreiecke haben eine Seite der Länge BA.

Folglich haben alle ihre Seiten die gleiche Länge.

Das haben wir in den ersten drei Schritten herausgefunden.

Also welches Argument könnte genutzt werden um zu beweisen,

dass die Dreiecke kongruent sind?

Gut, wir sagten, dass diese 3 Schritte zeigen,dass

alle Seiten gleich sind.

Also ist das SSS, was du siehst

Welches Argument gibt es?

Das bedeutet Seite, Seite,Seite

Das ist das Argument, was du im Geometriekurs benutzt

um zu sagen, dass alle 3 Seiten von beiden

Dreiecken kongruent sind.

Das bedeutet, dass du einen Winkel hast, ein Winkel und eine Seite.

Das bedeutet, dass du ein Winkel hast, ein Winkel und eine Seite.

zwischen den 2 Winkeln

Und dann der nächste Winkel und die sind alle kongruent.

Und das besagt, dass eine der Seiten und der Winkel und die andere Seite,

und, dass sie kongruent sind.

Wir werden wahrscheinlich

auf die nächsten Fragen treffen.

Auf jeden Fall zeigt das, dass alle drei Seiten

von beiden Dreiecken gleich sind.

Und somit könnten wir sagen, durch Seite-Seite-Seite-Satz

Ich bin nicht sio gut in Terminologie.

Also nach dem Seite-Seite-Seite-Satz-Satz

sind sie beide kongruente Dreiecke.

Und ich habe gesagt, eine der Möglichkeiten über kongruente Dreiecke zu denken ist es,

dass alle Seiten

gleichlang sind.

Nächste Frage.

Alles klar.

In der Figur unten ist AB größer als BC.

Also ist diese Seite größer als diese.

Obwohl sie, so wie sie gezeichnet sind alle gleich aussehen.

Schauen wir mal was wir machen können.

Wenn wir annehmen, dass Winkel A gleich

Winkel C ist, folgt daraus, dass AB gleich BC.

AB ist gleich BC.

Und ich weiß nicht, ob du sowas schonmal hattest,

aber du hast gelernt, dass wenn du zwei Seiten hast, die gleich sind,

oder die Längen gleich sind.

Das sagt im Grunde, dass Winkel A

kongruent zu Winkel C ist.

Stattdessen haben sie geschrieben, dass die Größe

der Winkel gleich ist.

Das besagt die Definition von Kongruenz,

die Größe von Winkeln ist gleich.

Man hätte schreiben können, Winkel A ist kongruent zu Winkel C.

Auf jeden Fall, wenn du zwei Winkel hast, die gleich sind,

dann sind die Seiten gegenüber diesen Winkeln

ebenfalls gleich.

Demnach ist diese Seite hier

gleich dieser Seite.

Und das ist es, was sie hier geschrieben haben.

Daraus folgt, dass AB gleich BC ist.

Alles klar.

Dann sagen sie, das widerspricht der Gegebenheit, dass AB

größer als BC ist.

Gut.Das heißt, dass demnach AB gleich BC und es

widerspricht der Aussage.

Was haben sie davon?

Welcher Schluss kann aus dem Widerspruch gezogen werden.

Lass uns sehen, ob die Größe von Winkel A und

Winkel B gleich sind

Nein , dass ist nicht der Fall

Ich kann mir ein Bespiel ausdenken

Diese beiden können 30 Grad Winkel sein

Wenn diese beiden Winkel30 Grad groß sind, zusammen 60 Grad, dann

müsste das 120 sein damit alle zusammen 180 ergeben.

Und das würde komplett Sinn ergeben,

nach allem was wir gelernt haben.

Also ist A definitiv nicht richtig

Dieses A muss nicht gleich B sein.

Die Größe von A ist nicht gleich der Größe von Winkel B.

Könnte sein, oder?

Alle diese Winkel könnten 60 Grad groß sein.

Wir haben nie gesagt, dass B nicht gleich A sein darf.

Das könnte 60° sein, das könnte 60° sein und so

könnte das 60° sein.

Und wir haben es mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun.

ich glaube auch nicht, dass das richtig ist.

Die Größe von Winkel A ist gleich der von Winkel C.

Ich verstehe, was sie hier sagen.

Sorry, das ist mein Fehler.

Sie sagen Ab ist defintiv größer als BC.

Jetzt sagen sie, wenn wir annehmen, dass Winkel A

genauso groß ist wie Winkel C, folgt daraus,

dass AB gleich BC ist.

Sie haben nicht gesagt, dass das nicht stimmt.

Sie haben nur gesagt, dass, wenn wir annehmen, dass das wahr ist.

Aber sie haben nicht gesagt, dass das ein bestimmter Fall ist.

Da haben wir den Widerspruch gefunden.

Denn wenn wir das annehmen, dann könnte AB

nicht größer als BC sein.

Weil AB dann gleich Bc wäre.

Aha, jetzt versteh ich wonach sie fragen.

Das ist dann eine Annahme.

Das ist eigentlich nicht bewiesen.

Das widerspricht also der gegebenen Aussage,

dass AB größer als BC.

Richtig, das stimmt.

Welcher Schluss kann aus diesem Widerspruch gezogen werden?

Wir haben die Annahme gemacht, dass Winkel A

gleichgroß ist wie Winkel C.

Danach sind diese Karten gleich,

was der gegebenen Aussage widerspricht.

Demzufolge wissen wir, dass diese zwei Winkel

nicht gleich sein können.

Wären sie gleich, würden wir

der vorgegebenen Annahme widersprechen.

Also wissen wir aufgrund des Widerspruchs,

dass Winkel A nicht gleich Winkel C sein kann.

Und wir können diese Annahme nicht machen,

weil sie zu einem Widerspruch führt.

Also ist die korrekte Antwort D.

In Ordnung, wir sehen uns im nächsten Video