CA Geometry: Proof by Contradiction

На задача номер четири сме,
дадена е теорема.

Според теоремата в триъгълника
може да има най-много един тъп ъгъл.

Така.

Едуардо доказва теоремата по-горе
чрез отхвърляне на обратното твърдение.

При доказателство чрез отхвърляне
на обратното твърдение ти всъщност

се питаш дали това не е вярно.

Ще докажа, че това
не може да се случи.

Да видим как го е решил той все пак.

Той започва с допускането,
че в триъгълник АВС ъглите А и В

са тъпи.

Коя теорема ще използва Едуардо,
за да отхвърли допуснатото?

ОК, ще начертая това, което
Едуардо се опитва да направи.

Начинът, по който го чертая,
е доста труден.

Това всъщност не е
нарисувано в мащаб.

Той казва, че този ъгъл А
и ъгъл В са тъпи.

Това означава, че този ъгъл
е по-голям от 90.

Да кажем, че това е ъгъл А.

А този ъгъл е В.

И той е по-голям от 90.

Ето това означава тъпи ъгли.

Коя теорема ще използва Едуардо,
за да отхвърли допускането?

Добре, преди да прочета отговорите,
ще си помисля.

Какво знаем за триъгълниците?

Че сборът от всички ъгли е равен
на 180 градуса, нали?

Ако това е ъгъл А, това е
ъгъл В, и после да наречем

този ъгъл С.

Знаем, че сборът А плюс В плюс С
трябва да бъде равен на

180 градуса, нали?

Друг начин да кажем това е,
че С е равно на 180

минус А минус В.

Или друг начин да разгледаме това е...
просто записвам

няколко различни начина.

С е равно на 180 минус (А + В), нали?

Сега ще ти задам един въпрос.

Ако приемем, както Едуардо
е направил, ако приемем,

че и А, и В са по-големи от 90 градуса,
от какво е по-голямо А плюс В?

Ако това е по-голямо от 90
и това е по-голямо от 90,

то А + В ще бъде по-голямо
от 90 + 90.

Значи това ще бъде
по-голямо от 180.

Ако това е по-голямо от 180
и го изваждаме от 180...

това по същество показва,
че ако ъгъл А е по-голям от 90,

и ъгъл В е по-голям от 90,
тогава можем да заключим,

че от това твърдение тук,

от това уравнение тук...

Ако това и това е по-голямо от 90,
то целият този член

е по-голям от 180.

Тогава изводът е, че
С е по-малко от нула.

Но не можем да имаме
отрицателни ъгли.

Значи тук достигаме
до противоречие.

После ще кажеш:
ОК, следователно не може да има

два ъгъла, които са по-големи
от 90 градуса или

два ъгъла, които са тъпи.

И това ще бъде твоето доказателство
с отхвърляне на противното допускане.

Да видим дали това, което направихме,
може да бъде изразено

с един от отговорите.

Ако два ъгъла на даден триъгълник са равни,
страните срещу тези ъгли са равни.

Не.

Ако два ъгъла, допълващи се до 180 градуса,
са равни, всеки от тях е 90 градуса.

Добре, не ползвахме това.

Най-големият ъгъл в триъгълника
е срещу най-дългата страна. Не.

Сумата от мерките на ъглите
в един триъгълник е 180.

Това е първото, което записахме тук.

Значи отговор D.

Това е теоремата, която Едуардо ползва,
за да отхвърли допускането си.

Следващият въпрос.

Задача пет.

Задача пет.

ОК, ето тази.

Използвай доказателство...

ОК, това е голям въпрос.

Да видим дали мога да копирам
и поставя цялото това.

Копирах го.

Добре.

Мисля, че се вижда добре.

Да видим, трябва да ползваме
доказателството, за да отговорим

на въпроса по-долу.

Дадено е, че страна АВ
е равна на страна ВС.

Можем да кажем, че
тази страна е равна на тази.

Това е дадено.

D е средата на АС.

Това означава, че D
е на равни разстояния между АС.

Това значи, че АD и DС
имат равни дължини.

Ще запиша това.

АD и DС
имат равни дължини.

Докажи, че триъгълник АВD
е еднакъв с триъгълник СВD.

Само да си припомним, че
еднакви триъгълници са тези,

които са напълно еднакви,
може само да за завъртяни.

Може да са завъртяни
по някакъв начин.

Ако имаме подобни триъгълници,
то тогава може да има

различни дължини
на страните.

Те са просто еднакви по форма,
но могат да

бъдат уголемени или намалени
по някакъв начин.

Еднаквите триъгълници са
един вид подобни триъгълници, но

те имат и равни
дължини на страните.

Но дори да имат еднакви дължини
на страните, те могат да

бъдат обърнати.

Например погледни тук.

АВD изглежда като
огледален образ на DBC.

Значи дори на око
вече изглежда, че те са

еднакви триъгълници.

Да видим как доказват това.

Твърдение първо:
АВ е равна на ВС,

това е дадено.

D е средата на АС.

Това е дадено в условието.

АD е равна на CD.

Това е, защото D е среда на АС.

Направихме тази част тук по
определението за средна точка.

Така.

ВD е равна на ВD,
разбира се.

Всичко е равно
само на себе си.

Това показва, че ВD
за този триъгълник е

същата дължина като ВD
за този триъгълник.

Така, по свойството за симетрия.

Хубава дума
за една много проста идея.

И накрая казват,
че триъгълник АВD е

еднакъв с триъгълник CВD.

ОК, от самото начало,
с помощта на твърденията

вече е показано, че те
имат дължини

на три от страните.

И двата триъгълника имат
страни с дължина ВD.

Двата триъгълника имат страни
с дължина АD или DС.

И двата триъгълника имат
страни с дължина ВА.

Значи всички техни страни
имат съответно равни дължини.

Това е, което знаем след
първите три стъпки.

Кое доказателство може
да се използва, за да се докаже,

че триъгълниците са еднакви.

Добре, казахме току-що, че тези
трите стъпки показват, че

всички страни са съответно равни.

Значи това е трети признак
за еднаквост, което виждаме.

Кое е доказателството?

Това означава страна, страна, страна.

Това означава три съответно
равни страни.

И това е аргумента,
който ползваме в часовете

по геометрия, за да докажем,
че трите страни на

триъгълник са съответно равни.

Това означава, че има
равни ъгъл, ъгъл и страна.

Това значи, че има ъгъл и после страна

между двата ъгъла.

След това, следващият ъгъл,
за който всички тези са равни.

Това казва, че тази страна
и този ъгъл, и другата

страна са еднакви.

Ние вероятно ще попаднем на

такива в следващите няколко въпроса.

Но така или иначе, показва,
че трите страни на

двата триъгълника са
съответно равни.

И после, можем да кажем ,
че имаме трети признак за еднаквост.

Не съм толкова добър
в терминологията.

При три съответно равни страни

това са еднакви триъгълници.

Казах, че единият начин
да разглеждаме

еднакви триъгълници е, че
всички страни ще бъдат

с еднаква дължина.

Следващата задача.

Следващата задача.

Добре.

Добре.

На чертежа по-долу
страната АВ е по-дълга от ВС.

ОК, значи тази страна
е по-голяма от тази.

Макар че така, както са го начертали,
те изглеждат еднакви.

Да видим какво можем да направим.

Ако допуснем, че мярката на ъгъл А
е равна на мярката на ъгъл С,

следва, че АВ е равно на ВС.

АВ е равно на ВС.

Не знам дали си попадал/а
на това преди,

но сте учили, че ако има два ъгъла,
които са равни, или

ако размерите им са еднакви,

това означава да кажем, че ъгъл А е

равен на ъгъл С.

Вместо това просто написах,
че големините

на ъглите са равни.

По дефиницията за
еднакви триъгълници

мерките на ъглите са равни.

Можеш да запишеш, че
ъгъл А е равен на ъгъл С.

Но така или иначе, ако имаме
два ъгъла, които са равни, то

страните, които са срещу тези ъгли

също ще са равни.

Тази страна тук ще бъде

равна на тази.

Това е, което е написано тук.

Следва, че АВ е равно на ВС.

Така.

След това е дадено , че това противоречи
на даденото твърдение, че АВ

е по-дълга от ВС.

Следва, че АВ е равно на ВС и

противоречи на това твърдение.

Накъде отива това?

Какъв извод можем да си направим
от това противоречие?

Какъв извод можем да си направим
от това отрицание?

Да видим, мярката на ъгъл А
е равна на мярката на ъгъл В.

Не, това не е нашият случай.

Мога да измисля пример.

Тези двете могат да бъдат
30-градусови ъгли.

Ако това са два 30-градусови ъгъла,
събираме ги до 60, тогава

това ще даде 120 за всички тях общо до 180.

Това пасва идеално на всичко, което

сме учили.

Значи, А определено не е вярно.

Че А не трябва да е равно на В.

Мярката на ъгъл А не е
равна на мярката на ъгъл В.

Мярката на А не е равна
на мярката на В.

Добре, можеше и да са, нали?

Всички тези ъгли
можеше да са 60 градуса.

Не сме казали, че В
определено не е равно на А.

Това може да е 60, това може да е 60 и

това може да е 60.

Ще имаме равностранен триъгълник.

Не мисля, че това е вярно.

Мярката на ъгъл А е равна на
мярката на ъгъл С.

Мярката на ъгъл А е равна на
мярката на ъгъл С.

Виждам какво имат предвид тук.

Извинявам се.

Дадено е, че АВ е определено
по-голямо от ВС.

Сега, казано е, че ако допуснем,
че мярката на ъгъл А е

равна на мярката
на ъгъл С, следва, че

АВ е равно на ВС.

Не е казано, че това
определено е вярно.

Казано е, че ако допуснем,
че това е вярно.

Но те не казват, че това
определено е случая.

И ето къде е противоречието.

Понеже ако допуснем това,
АВ не може да бъде

по-голямо от ВС.

Понеже тогава АВ
ще бъде равно на ВС.

Сега разбирам какво се търси.

Това е допускане.

Това всъщност не е доказано,
че е вярно.

Това противоречи
на даденото в условието, че АВ е

по-голямо от ВС.

Така, това е вярно.

Какъв извод можем да си направим
от това противоречие?

Допуснахме, че мярката
на ъгъл А е

равна на мярката на ъгъл С.

Следва, че тези двете страни
са равни, което

противоречи на условието.

Следователно знаем, че
мерките на тези два ъгъла

не могат да бъдат равни.

Понеже ако бяха, това противоречи
на даденото твърдение.

От противоречието следва,
че мярката на ъгъл А

не може да бъде равна
на мярката на ъгъл С.

И не можем да направим това
допускане, защото то води до

противоречие.

Значи верният отговор е D.

Добре, ще се видим в следващото видео.