-
Bir vektör alanının rotasyonelinin nasıl bulunduğunu göstermeden önce, rotasyonel kavramını biraz anlamaya çalışalım.
-
-
-
-
-
Buraya iki boyutlu bir vektör alanı çiziyorum.
-
-
-
3 boyuta da çıkabiliriz, ama kavramı oluşturmaya çalışırken iki boyutta çalışmak daha iyi olacaktır.
-
-
-
Şimdi bakalım.
-
x ve y eksenlerini daha işaretlemedim.
-
Burası x, burası y.
-
y küçük iken, vektörümüz x yönünde gidiyor, y biraz artınca, vektör de biraz uzuyor.
-
-
-
-
-
Gördüğümüz üzere, y yönünde gittikçe, vektörlerimizin x bileşeni büyüyor.
-
-
-
-
-
Ve belki de, x yönünde vektörler sabit, x değeri ne olursa olsun, uzunluk değişmiyor.
-
-
-
Buna göre, bir y değeri için, x bileşen vektörünün uzunluğu aynı kalabilir.
-
-
-
Demek istiyorum ki, vektör alanı şuna benzeyebilir.
-
Sayıları uyduruyorum.
-
Belki denklemi, y kare i olabilir..
-
Böylece x yönündeki uzunluk, y değeri cinsinden bir fonksiyon olacaktır.
-
-
-
Ve, y değerleri arttıkça, x yönündeki uzunluk, y yönündeki uzunluğun karesiyle orantılı olarak artacaktır.
-
-
-
-
-
Ama bir x değeri için, x yönündeki uzunluk aynı kalacaktır.
-
Çünkü bu uzunluk y'ye bağımlıdır.
-
Dolayısıyla, x'i büyütsek bile, uzunluğumuz değişmez.
-
-
-
Unutmayın ki, bunlar vektör alanımızda örnek olarak alınan bazı noktalar.
-
-
-
Neyse, bu vektör alanını anlamak için bu kadar yeter.
-
-
-
-
-
Size şimdi bir soru sorayım.
-
Diyelim ki, bu vektör alanı bir sıvının farklı noktalardaki hızını gösteriyor.
-
-
-
Mesela, bir nehire bakıyoruz, gibi düşünebiliriz.
-
Küçük bir dal parçası alıp, sıvının içinde, mesela şöyle yerleştirsem,
-
-
-
Dal parçamı çizeyim.
-
-
-
-
-
Tam şuraya koydum diyelim.
-
Dal parçasına ne olacak?
-
Bu noktada, su sağa doğru hareket ediyor, dolayısıyla dal parçasının bu kısmını sağa itecek.
-
-
-
Dal parçasının üst kısmında, su yine sağa doğru, ama daha hızlı olarak akıyor. Dolayısıyla, dal parçasının üstünü de sağa itecek.
-
-
-
-
-
Ancak, üst kısım alttan daha hızlı itilecek, öyle değil mi?
-
-
-
Peki o zaman ne olacak?
-
Dal parçası dönecek, öyle değil mi?
-
Bir süre sonra, dal parçası şöyle görünecek.
-
-
-
Alt kısım birazcık sağa hareket edecek, ama üst kısım sağa çok hareket etmiş olacak.
-
-
-
-
-
Dal parçasının tamamını sağa kaymış ama biraz da dönmüş olacak.
-
-
-
Biraz daha zaman sonra, belki de böyle görünecek.
-
-
-
Bunun sebebi vektörlerin hareket yönümüze dik bir yönde artıyor olması, anladınız mı?
-
-
-
-
-
Bu basit örnekte, tüm vektörler x yönünde uzanıyor.
-
-
-
Ama, vektörlerin uzunluğu y yönünde artıyor, öyle değil mi?
-
-
-
Akış aynı yönde ama farklı büyüklükte olunca, her obje döner, değil mi?
-
-
-
-
-
Şimdi bunu düşünelim.
-
Eğer, bu vektör alanının y'ye göre kısmi türevi değişiyorsa, bu, y değerimiz değiştikçe, vektörlerimizin x bileşeninin uzunluğu da değişiyor, demektir.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Dolayısıyla, değişik y düzeyleri için farklı hızlar varsa, x yönünde hareket eden bir obje dönecektir, öyle değil mi?
-
-
-
-
-
Suda duran objenin üzerinde bir tork etkisi gibi de düşünebiliriz.
-
-
-
En çarpıcı örnek şu olurdu.
-
-
-
Başka bir vektör alanı çizeyim.
-
Eğer durum şöyle olsaydı, aşağıda böyle, ve böyle, ve sonra, daha da küçülüyor.
-
-
-
Belki yön değiştiriyor, şurada, ve vektör alanı böyle devam ediyor.
-
-
-
Buna göre, şu yukarıdaki kısım, hızla sola gidiyor.
-
-
-
Eğer buraya bir dal parçası koyarsanız, sağa doğru hareket etmekle birlikte, şu kısmının sola, şu kısmının da sağa çekileceğini de görebilirsiniz.
-
-
-
-
-
Dal parçası dönecektir.
-
Ve, dal parçası üzerinde etki eden torku göreceksiniz.
-
Buradaki kavram nedir?
-
Bir anda, bir vektörün uzunluğunun hareket yönünde değil de, hareket yönüne dik yönde nasıl değiştiğiyle ilgilenir olduk.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Skaler ve vektör çarpımı nasıl öğrenmiştik?
-
-
-
İki vektörün skaler çarpımı, iki vektörün bir arada ne kadar hareket ettiğini söyler, vektör çarpımı ise, iki vektörün dik bileşenlerinin çarpımı gibidir.
-
-
-
-
-
-
-
Bu, rotasyoneli anlamanizda yardımcı olmuştur.
-
Çünkü rotasyonel, dönme etkisini ölçer. Şöyle sorabiliriz: Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli nedir?
-
-
-
-
-
Ve, bunu görselleyebilirsiniz.
-
Bir dal parçasını şuraya koyarsaniz, dal parçasına ne olur?
-
Dal dönerse ve rotasyonel varsa, dönme miktarı ne kadar fazlaysa, rotasyonel de o kadar fazladır.
-
-
-
Diğer yönde dönerse, rotasyonelin yönü eksidir.
-
-
-
Torkta olduğu gibi, şimdi yön bizim için önemli.
-
-
-
Saat yönü veya saat yönü tersi önemli olduğu için, sonuçta vektörel bir miktar elde edeceğiz, değil mi?
-
-
-
-
-
Bunlar artık sizin için bir bütünün parçaları haline gelmeye başlamalı.
-
-
-
Bu del işlemcisini daha evvel de kullanmıştık.
-
-
-
-
-
-
-
Bunu bir vektör işlemcisi olarak düşünüyoruz.
-
-
-
-
-
-
-
i yönünde bir şeyin kısmi türevi artı j yönünde bir şeyin y'ye göre kısmi türevi artı, üç boyut varsa, k yönünde z'ye göre kısmi türev.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bu işlemi skaler veya vektör alana, üç boyutlu bir fonksiyon gibi, uyguladığımızda, bunu skaler fonksiyonla çarpıp gradyanı elde etmiştik. Vektör alanıyla iç çarpımını aldığımızda, vektör alanının diverjansını elde etmiştik.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Bunu biraz anlamış olmanız lazım.
-
-
-
Önceki videoları tekrar izleyip, skaler çarpım ile vektör çarpımının karşılaştırmasını hatırlamak isteyebilirsiniz.
-
-
-
Skaler çarpım, iki vektörün birarada ne kadar hareket ettiğini ölçüyordu.
-
-
-
Del işlemcisinin vektör alanıyla iç çarpımını aldığınızda, vektör alanının ne kadar değiştiğini buluyordunuz, öyle değil mi?
-
-
-
-
-
Türev, zaten, kısmi de olsa, normal de olsa, değişim hızını belirtir.
-
-
-
x'e göre kısmi türev, x yönünde değişim hızıdır.
-
-
-
Skaler çarpım aldığınızda, hareket yönünde değişim hızının ne kadar arttığını bulmuş olursunuz.
-
-
-
-
-
y yönündeki değişim hızım, y yönünde ne kadar artıyor?
-
-
-
Diverjansı ölçmemize yardımcı olması gayet mantıklı.
-
Hatırlarsanız, bu vektör ise, x yönünde arttığında, vektörler artar.
-
Bir nokta alıp, bu noktadan çıkanlar girenlerden fazla, ve, buna göre, pozitif diverjans var, diyorduk.
-
-
-
-
-
-
-
Bu mantığa uygun bir durum, çünkü x yönünde gittiğinizde, vektör uzunlukları da artar.
-
-
-
Neyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.
-
Şimdi, vektör yönündeki değişim hızıyla ilgilenmiyoruz.
-
-
-
Vektöre dik yöndeki vektörlerin uzunluklarındaki değişim hızını bulmaya çalışıyoruz.
-
-
-
Buna göre, rotasyonelin del işlemcisi ile vektör alanının vektör çarpımı olduğunu tahmin edersiniz.
-
-
-
Eğer tahmininiz bu yönde ise, doğru bildiniz.
-
-
-
Vektör alanının rotasyoneli böyle bulunur.
-
Ve, rotasyonel, alanın ne kadar döndüğünü, veya alanda bir obje varsa, alanın tork uygulayarak o objeyi ne kadar döndürdüğünü ölçer.
-
-
-
-
-
-
-
Çünkü, objenin farklı noktalarında, aynı yönde farklı büyüklüklerde vektörler var.
-
-
-
Herneyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.
-
Umarım, gösterdiğim örnek, mantıklı gelmiştir.
-
-
-
Neyse, 9 dakikayı doldurdum.
-
Bir sonraki videoda, rotasyoneli hesaplayacağım ve birkaç örnek daha çizeceğim.
-
-
-
-
-
Bir sonraki videoda görüşürüz.
-
Not Synced
-
-
Not Synced
-
-
Not Synced
-