< Return to Video

Rotasyonel 1

  • 0:01 - 0:04
    Bir vektör alanının rotasyonelinin nasıl bulunduğunu göstermeden önce, rotasyonel kavramını biraz anlamaya çalışalım.
  • 0:06 - 0:06
    -
  • 0:07 - 0:08
    -
  • 0:09 - 0:11
    Buraya iki boyutlu bir vektör alanı çiziyorum.
  • 0:11 - 0:12
    -
  • 0:13 - 0:14
    3 boyuta da çıkabiliriz, ama kavramı oluşturmaya çalışırken iki boyutta çalışmak daha iyi olacaktır.
  • 0:15 - 0:16
    -
  • 0:16 - 0:17
    Şimdi bakalım.
  • 0:18 - 0:19
    x ve y eksenlerini daha işaretlemedim.
  • 0:21 - 0:22
    Burası x, burası y.
  • 0:24 - 0:25
    y küçük iken, vektörümüz x yönünde gidiyor, y biraz artınca, vektör de biraz uzuyor.
  • 0:27 - 0:28
    -
  • 0:29 - 0:29
    -
  • 0:31 - 0:33
    Gördüğümüz üzere, y yönünde gittikçe, vektörlerimizin x bileşeni büyüyor.
  • 0:35 - 0:36
    -
  • 0:37 - 0:38
    -
  • 0:40 - 0:41
    Ve belki de, x yönünde vektörler sabit, x değeri ne olursa olsun, uzunluk değişmiyor.
  • 0:44 - 0:46
    -
  • 0:50 - 0:53
    Buna göre, bir y değeri için, x bileşen vektörünün uzunluğu aynı kalabilir.
  • 0:54 - 0:54
    -
  • 0:55 - 0:56
    Demek istiyorum ki, vektör alanı şuna benzeyebilir.
  • 0:56 - 0:57
    Sayıları uyduruyorum.
  • 1:00 - 1:03
    Belki denklemi, y kare i olabilir..
  • 1:04 - 1:06
    Böylece x yönündeki uzunluk, y değeri cinsinden bir fonksiyon olacaktır.
  • 1:07 - 1:08
    -
  • 1:09 - 1:11
    Ve, y değerleri arttıkça, x yönündeki uzunluk, y yönündeki uzunluğun karesiyle orantılı olarak artacaktır.
  • 1:12 - 1:14
    -
  • 1:15 - 1:17
    -
  • 1:19 - 1:21
    Ama bir x değeri için, x yönündeki uzunluk aynı kalacaktır.
  • 1:21 - 1:22
    Çünkü bu uzunluk y'ye bağımlıdır.
  • 1:24 - 1:25
    Dolayısıyla, x'i büyütsek bile, uzunluğumuz değişmez.
  • 1:25 - 1:26
    -
  • 1:29 - 1:30
    Unutmayın ki, bunlar vektör alanımızda örnek olarak alınan bazı noktalar.
  • 1:30 - 1:31
    -
  • 1:31 - 1:32
    Neyse, bu vektör alanını anlamak için bu kadar yeter.
  • 1:33 - 1:34
    -
  • 1:34 - 1:35
    -
  • 1:36 - 1:37
    Size şimdi bir soru sorayım.
  • 1:38 - 1:40
    Diyelim ki, bu vektör alanı bir sıvının farklı noktalardaki hızını gösteriyor.
  • 1:42 - 1:44
    -
  • 1:46 - 1:48
    Mesela, bir nehire bakıyoruz, gibi düşünebiliriz.
  • 1:49 - 1:51
    Küçük bir dal parçası alıp, sıvının içinde, mesela şöyle yerleştirsem,
  • 1:54 - 1:58
    -
  • 1:59 - 2:01
    Dal parçamı çizeyim.
  • 2:02 - 2:04
    -
  • 2:06 - 2:07
    -
  • 2:07 - 2:08
    Tam şuraya koydum diyelim.
  • 2:09 - 2:10
    Dal parçasına ne olacak?
  • 2:12 - 2:13
    Bu noktada, su sağa doğru hareket ediyor, dolayısıyla dal parçasının bu kısmını sağa itecek.
  • 2:15 - 2:17
    -
  • 2:19 - 2:21
    Dal parçasının üst kısmında, su yine sağa doğru, ama daha hızlı olarak akıyor. Dolayısıyla, dal parçasının üstünü de sağa itecek.
  • 2:22 - 2:23
    -
  • 2:24 - 2:25
    -
  • 2:26 - 2:27
    Ancak, üst kısım alttan daha hızlı itilecek, öyle değil mi?
  • 2:29 - 2:31
    -
  • 2:32 - 2:32
    Peki o zaman ne olacak?
  • 2:33 - 2:34
    Dal parçası dönecek, öyle değil mi?
  • 2:35 - 2:37
    Bir süre sonra, dal parçası şöyle görünecek.
  • 2:38 - 2:39
    -
  • 2:40 - 2:41
    Alt kısım birazcık sağa hareket edecek, ama üst kısım sağa çok hareket etmiş olacak.
  • 2:43 - 2:45
    -
  • 2:45 - 2:45
    -
  • 2:46 - 2:47
    Dal parçasının tamamını sağa kaymış ama biraz da dönmüş olacak.
  • 2:47 - 2:48
    -
  • 2:49 - 2:50
    Biraz daha zaman sonra, belki de böyle görünecek.
  • 2:52 - 2:53
    -
  • 2:56 - 3:00
    Bunun sebebi vektörlerin hareket yönümüze dik bir yönde artıyor olması, anladınız mı?
  • 3:01 - 3:03
    -
  • 3:04 - 3:05
    -
  • 3:07 - 3:09
    Bu basit örnekte, tüm vektörler x yönünde uzanıyor.
  • 3:09 - 3:10
    -
  • 3:13 - 3:15
    Ama, vektörlerin uzunluğu y yönünde artıyor, öyle değil mi?
  • 3:17 - 3:18
    -
  • 3:20 - 3:22
    Akış aynı yönde ama farklı büyüklükte olunca, her obje döner, değil mi?
  • 3:23 - 3:25
    -
  • 3:26 - 3:27
    -
  • 3:28 - 3:28
    Şimdi bunu düşünelim.
  • 3:30 - 3:32
    Eğer, bu vektör alanının y'ye göre kısmi türevi değişiyorsa, bu, y değerimiz değiştikçe, vektörlerimizin x bileşeninin uzunluğu da değişiyor, demektir.
  • 3:34 - 3:36
    -
  • 3:38 - 3:40
    -
  • 3:42 - 3:44
    -
  • 3:46 - 3:47
    -
  • 3:48 - 3:49
    Dolayısıyla, değişik y düzeyleri için farklı hızlar varsa, x yönünde hareket eden bir obje dönecektir, öyle değil mi?
  • 3:51 - 3:53
    -
  • 3:54 - 3:56
    -
  • 3:58 - 4:00
    Suda duran objenin üzerinde bir tork etkisi gibi de düşünebiliriz.
  • 4:01 - 4:03
    -
  • 4:05 - 4:06
    En çarpıcı örnek şu olurdu.
  • 4:09 - 4:12
    -
  • 4:13 - 4:15
    Başka bir vektör alanı çizeyim.
  • 4:18 - 4:21
    Eğer durum şöyle olsaydı, aşağıda böyle, ve böyle, ve sonra, daha da küçülüyor.
  • 4:23 - 4:24
    -
  • 4:26 - 4:27
    Belki yön değiştiriyor, şurada, ve vektör alanı böyle devam ediyor.
  • 4:28 - 4:29
    -
  • 4:30 - 4:32
    Buna göre, şu yukarıdaki kısım, hızla sola gidiyor.
  • 4:33 - 4:33
    -
  • 4:35 - 4:36
    Eğer buraya bir dal parçası koyarsanız, sağa doğru hareket etmekle birlikte, şu kısmının sola, şu kısmının da sağa çekileceğini de görebilirsiniz.
  • 4:38 - 4:39
    -
  • 4:41 - 4:42
    -
  • 4:43 - 4:43
    Dal parçası dönecektir.
  • 4:45 - 4:47
    Ve, dal parçası üzerinde etki eden torku göreceksiniz.
  • 4:48 - 4:49
    Buradaki kavram nedir?
  • 4:51 - 4:53
    Bir anda, bir vektörün uzunluğunun hareket yönünde değil de, hareket yönüne dik yönde nasıl değiştiğiyle ilgilenir olduk.
  • 4:55 - 4:57
    -
  • 4:59 - 5:01
    -
  • 5:02 - 5:04
    -
  • 5:05 - 5:06
    -
  • 5:07 - 5:08
    Skaler ve vektör çarpımı nasıl öğrenmiştik?
  • 5:08 - 5:08
    -
  • 5:10 - 5:11
    İki vektörün skaler çarpımı, iki vektörün bir arada ne kadar hareket ettiğini söyler, vektör çarpımı ise, iki vektörün dik bileşenlerinin çarpımı gibidir.
  • 5:14 - 5:16
    -
  • 5:18 - 5:19
    -
  • 5:21 - 5:22
    -
  • 5:24 - 5:26
    Bu, rotasyoneli anlamanizda yardımcı olmuştur.
  • 5:29 - 5:32
    Çünkü rotasyonel, dönme etkisini ölçer. Şöyle sorabiliriz: Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli nedir?
  • 5:34 - 5:36
    -
  • 5:37 - 5:37
    -
  • 5:38 - 5:39
    Ve, bunu görselleyebilirsiniz.
  • 5:40 - 5:41
    Bir dal parçasını şuraya koyarsaniz, dal parçasına ne olur?
  • 5:43 - 5:44
    Dal dönerse ve rotasyonel varsa, dönme miktarı ne kadar fazlaysa, rotasyonel de o kadar fazladır.
  • 5:46 - 5:47
    -
  • 5:48 - 5:49
    Diğer yönde dönerse, rotasyonelin yönü eksidir.
  • 5:49 - 5:50
    -
  • 5:52 - 5:54
    Torkta olduğu gibi, şimdi yön bizim için önemli.
  • 5:54 - 5:54
    -
  • 5:55 - 5:56
    Saat yönü veya saat yönü tersi önemli olduğu için, sonuçta vektörel bir miktar elde edeceğiz, değil mi?
  • 5:58 - 5:59
    -
  • 5:59 - 6:00
    -
  • 6:02 - 6:05
    Bunlar artık sizin için bir bütünün parçaları haline gelmeye başlamalı.
  • 6:06 - 6:07
    -
  • 6:09 - 6:10
    Bu del işlemcisini daha evvel de kullanmıştık.
  • 6:12 - 6:13
    -
  • 6:15 - 6:17
    -
  • 6:18 - 6:19
    -
  • 6:20 - 6:22
    Bunu bir vektör işlemcisi olarak düşünüyoruz.
  • 6:22 - 6:23
    -
  • 6:23 - 6:24
    -
  • 6:25 - 6:26
    -
  • 6:28 - 6:30
    i yönünde bir şeyin kısmi türevi artı j yönünde bir şeyin y'ye göre kısmi türevi artı, üç boyut varsa, k yönünde z'ye göre kısmi türev.
  • 6:32 - 6:34
    -
  • 6:36 - 6:37
    -
  • 6:39 - 6:40
    -
  • 6:42 - 6:43
    -
  • 6:45 - 6:47
    Bu işlemi skaler veya vektör alana, üç boyutlu bir fonksiyon gibi, uyguladığımızda, bunu skaler fonksiyonla çarpıp gradyanı elde etmiştik. Vektör alanıyla iç çarpımını aldığımızda, vektör alanının diverjansını elde etmiştik.
  • 6:48 - 6:50
    -
  • 6:50 - 6:52
    -
  • 6:52 - 7:01
    -
  • 7:01 - 7:06
    -
  • 7:06 - 7:07
    Bunu biraz anlamış olmanız lazım.
  • 7:07 - 7:08
    -
  • 7:08 - 7:11
    Önceki videoları tekrar izleyip, skaler çarpım ile vektör çarpımının karşılaştırmasını hatırlamak isteyebilirsiniz.
  • 7:11 - 7:16
    -
  • 7:16 - 7:19
    Skaler çarpım, iki vektörün birarada ne kadar hareket ettiğini ölçüyordu.
  • 7:19 - 7:21
    -
  • 7:21 - 7:26
    Del işlemcisinin vektör alanıyla iç çarpımını aldığınızda, vektör alanının ne kadar değiştiğini buluyordunuz, öyle değil mi?
  • 7:26 - 7:29
    -
  • 7:29 - 7:30
    -
  • 7:30 - 7:32
    Türev, zaten, kısmi de olsa, normal de olsa, değişim hızını belirtir.
  • 7:32 - 7:34
    -
  • 7:34 - 7:36
    x'e göre kısmi türev, x yönünde değişim hızıdır.
  • 7:36 - 7:37
    -
  • 7:37 - 7:40
    Skaler çarpım aldığınızda, hareket yönünde değişim hızının ne kadar arttığını bulmuş olursunuz.
  • 7:40 - 7:44
    -
  • 7:44 - 7:46
    -
  • 7:46 - 7:49
    y yönündeki değişim hızım, y yönünde ne kadar artıyor?
  • 7:49 - 7:50
    -
  • 7:50 - 7:52
    Diverjansı ölçmemize yardımcı olması gayet mantıklı.
  • 7:52 - 7:57
    Hatırlarsanız, bu vektör ise, x yönünde arttığında, vektörler artar.
  • 7:57 - 8:00
    Bir nokta alıp, bu noktadan çıkanlar girenlerden fazla, ve, buna göre, pozitif diverjans var, diyorduk.
  • 8:00 - 8:04
    -
  • 8:04 - 8:06
    -
  • 8:06 - 8:08
    -
  • 8:08 - 8:10
    Bu mantığa uygun bir durum, çünkü x yönünde gittiğinizde, vektör uzunlukları da artar.
  • 8:10 - 8:13
    -
  • 8:13 - 8:14
    Neyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.
  • 8:14 - 8:17
    Şimdi, vektör yönündeki değişim hızıyla ilgilenmiyoruz.
  • 8:17 - 8:20
    -
  • 8:20 - 8:22
    Vektöre dik yöndeki vektörlerin uzunluklarındaki değişim hızını bulmaya çalışıyoruz.
  • 8:22 - 8:26
    -
  • 8:26 - 8:34
    Buna göre, rotasyonelin del işlemcisi ile vektör alanının vektör çarpımı olduğunu tahmin edersiniz.
  • 8:34 - 8:40
    -
  • 8:40 - 8:43
    Eğer tahmininiz bu yönde ise, doğru bildiniz.
  • 8:43 - 8:46
    -
  • 8:46 - 8:50
    Vektör alanının rotasyoneli böyle bulunur.
  • 8:50 - 8:56
    Ve, rotasyonel, alanın ne kadar döndüğünü, veya alanda bir obje varsa, alanın tork uygulayarak o objeyi ne kadar döndürdüğünü ölçer.
  • 8:56 - 8:59
    -
  • 8:59 - 9:02
    -
  • 9:02 - 9:03
    -
  • 9:03 - 9:08
    Çünkü, objenin farklı noktalarında, aynı yönde farklı büyüklüklerde vektörler var.
  • 9:08 - 9:13
    -
  • 9:13 - 9:14
    Herneyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.
  • 9:14 - 9:16
    Umarım, gösterdiğim örnek, mantıklı gelmiştir.
  • 9:16 - 9:18
    -
  • 9:18 - 9:21
    Neyse, 9 dakikayı doldurdum.
  • 9:21 - 9:25
    Bir sonraki videoda, rotasyoneli hesaplayacağım ve birkaç örnek daha çizeceğim.
  • 9:25 - 9:28
    -
  • 9:28 - 9:29
    -
  • 9:29 - 9:31
    Bir sonraki videoda görüşürüz.
  • Not Synced
    -
  • Not Synced
    -
  • Not Synced
    -
Title:
Rotasyonel 1
Description:

Bir vektör alanının rotasyoneline başlangıç.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:32
EbruOzbay edited Turkish subtitles for Curl 1
EbruOzbay added a translation

Turkish subtitles

Incomplete

Revisions