Rotasyonel 1

Bir vektör alanının rotasyoneline başlangıç.

Bir vektör alanının rotasyonelinin nasıl bulunduğunu göstermeden önce, rotasyonel kavramını biraz anlamaya çalışalım.

-

-

Buraya iki boyutlu bir vektör alanı çiziyorum.

-

3 boyuta da çıkabiliriz, ama kavramı oluşturmaya çalışırken iki boyutta çalışmak daha iyi olacaktır.

-

Şimdi bakalım.

x ve y eksenlerini daha işaretlemedim.

Burası x, burası y.

y küçük iken, vektörümüz x yönünde gidiyor, y biraz artınca, vektör de biraz uzuyor.

-

-

Gördüğümüz üzere, y yönünde gittikçe, vektörlerimizin x bileşeni büyüyor.

-

-

Ve belki de, x yönünde vektörler sabit, x değeri ne olursa olsun, uzunluk değişmiyor.

-

Buna göre, bir y değeri için, x bileşen vektörünün uzunluğu aynı kalabilir.

-

Demek istiyorum ki, vektör alanı şuna benzeyebilir.

Sayıları uyduruyorum.

Belki denklemi, y kare i olabilir..

Böylece x yönündeki uzunluk, y değeri cinsinden bir fonksiyon olacaktır.

-

Ve, y değerleri arttıkça, x yönündeki uzunluk, y yönündeki uzunluğun karesiyle orantılı olarak artacaktır.

-

-

Ama bir x değeri için, x yönündeki uzunluk aynı kalacaktır.

Çünkü bu uzunluk y'ye bağımlıdır.

Dolayısıyla, x'i büyütsek bile, uzunluğumuz değişmez.

-

Unutmayın ki, bunlar vektör alanımızda örnek olarak alınan bazı noktalar.

-

Neyse, bu vektör alanını anlamak için bu kadar yeter.

-

-

Size şimdi bir soru sorayım.

Diyelim ki, bu vektör alanı bir sıvının farklı noktalardaki hızını gösteriyor.

-

Mesela, bir nehire bakıyoruz, gibi düşünebiliriz.

Küçük bir dal parçası alıp, sıvının içinde, mesela şöyle yerleştirsem,

-

Dal parçamı çizeyim.

-

-

Tam şuraya koydum diyelim.

Dal parçasına ne olacak?

Bu noktada, su sağa doğru hareket ediyor, dolayısıyla dal parçasının bu kısmını sağa itecek.

-

Dal parçasının üst kısmında, su yine sağa doğru, ama daha hızlı olarak akıyor. Dolayısıyla, dal parçasının üstünü de sağa itecek.

-

-

Ancak, üst kısım alttan daha hızlı itilecek, öyle değil mi?

-

Peki o zaman ne olacak?

Dal parçası dönecek, öyle değil mi?

Bir süre sonra, dal parçası şöyle görünecek.

-

Alt kısım birazcık sağa hareket edecek, ama üst kısım sağa çok hareket etmiş olacak.

-

-

Dal parçasının tamamını sağa kaymış ama biraz da dönmüş olacak.

-

Biraz daha zaman sonra, belki de böyle görünecek.

-

Bunun sebebi vektörlerin hareket yönümüze dik bir yönde artıyor olması, anladınız mı?

-

-

Bu basit örnekte, tüm vektörler x yönünde uzanıyor.

-

Ama, vektörlerin uzunluğu y yönünde artıyor, öyle değil mi?

-

Akış aynı yönde ama farklı büyüklükte olunca, her obje döner, değil mi?

-

-

Şimdi bunu düşünelim.

Eğer, bu vektör alanının y'ye göre kısmi türevi değişiyorsa, bu, y değerimiz değiştikçe, vektörlerimizin x bileşeninin uzunluğu da değişiyor, demektir.

-

-

-

-

Dolayısıyla, değişik y düzeyleri için farklı hızlar varsa, x yönünde hareket eden bir obje dönecektir, öyle değil mi?

-

-

Suda duran objenin üzerinde bir tork etkisi gibi de düşünebiliriz.

-

En çarpıcı örnek şu olurdu.

-

Başka bir vektör alanı çizeyim.

Eğer durum şöyle olsaydı, aşağıda böyle, ve böyle, ve sonra, daha da küçülüyor.

-

Belki yön değiştiriyor, şurada, ve vektör alanı böyle devam ediyor.

-

Buna göre, şu yukarıdaki kısım, hızla sola gidiyor.

-

Eğer buraya bir dal parçası koyarsanız, sağa doğru hareket etmekle birlikte, şu kısmının sola, şu kısmının da sağa çekileceğini de görebilirsiniz.

-

-

Dal parçası dönecektir.

Ve, dal parçası üzerinde etki eden torku göreceksiniz.

Buradaki kavram nedir?

Bir anda, bir vektörün uzunluğunun hareket yönünde değil de, hareket yönüne dik yönde nasıl değiştiğiyle ilgilenir olduk.

-

-

-

-

Skaler ve vektör çarpımı nasıl öğrenmiştik?

-

İki vektörün skaler çarpımı, iki vektörün bir arada ne kadar hareket ettiğini söyler, vektör çarpımı ise, iki vektörün dik bileşenlerinin çarpımı gibidir.

-

-

-

Bu, rotasyoneli anlamanizda yardımcı olmuştur.

Çünkü rotasyonel, dönme etkisini ölçer. Şöyle sorabiliriz: Bir vektör alanının bir noktadaki rotasyoneli nedir?

-

-

Ve, bunu görselleyebilirsiniz.

Bir dal parçasını şuraya koyarsaniz, dal parçasına ne olur?

Dal dönerse ve rotasyonel varsa, dönme miktarı ne kadar fazlaysa, rotasyonel de o kadar fazladır.

-

Diğer yönde dönerse, rotasyonelin yönü eksidir.

-

Torkta olduğu gibi, şimdi yön bizim için önemli.

-

Saat yönü veya saat yönü tersi önemli olduğu için, sonuçta vektörel bir miktar elde edeceğiz, değil mi?

-

-

Bunlar artık sizin için bir bütünün parçaları haline gelmeye başlamalı.

-

Bu del işlemcisini daha evvel de kullanmıştık.

-

-

-

Bunu bir vektör işlemcisi olarak düşünüyoruz.

-

-

-

i yönünde bir şeyin kısmi türevi artı j yönünde bir şeyin y'ye göre kısmi türevi artı, üç boyut varsa, k yönünde z'ye göre kısmi türev.

-

-

-

-

Bu işlemi skaler veya vektör alana, üç boyutlu bir fonksiyon gibi, uyguladığımızda, bunu skaler fonksiyonla çarpıp gradyanı elde etmiştik. Vektör alanıyla iç çarpımını aldığımızda, vektör alanının diverjansını elde etmiştik.

-

-

-

-

Bunu biraz anlamış olmanız lazım.

-

Önceki videoları tekrar izleyip, skaler çarpım ile vektör çarpımının karşılaştırmasını hatırlamak isteyebilirsiniz.

-

Skaler çarpım, iki vektörün birarada ne kadar hareket ettiğini ölçüyordu.

-

Del işlemcisinin vektör alanıyla iç çarpımını aldığınızda, vektör alanının ne kadar değiştiğini buluyordunuz, öyle değil mi?

-

-

Türev, zaten, kısmi de olsa, normal de olsa, değişim hızını belirtir.

-

x'e göre kısmi türev, x yönünde değişim hızıdır.

-

Skaler çarpım aldığınızda, hareket yönünde değişim hızının ne kadar arttığını bulmuş olursunuz.

-

-

y yönündeki değişim hızım, y yönünde ne kadar artıyor?

-

Diverjansı ölçmemize yardımcı olması gayet mantıklı.

Hatırlarsanız, bu vektör ise, x yönünde arttığında, vektörler artar.

Bir nokta alıp, bu noktadan çıkanlar girenlerden fazla, ve, buna göre, pozitif diverjans var, diyorduk.

-

-

-

Bu mantığa uygun bir durum, çünkü x yönünde gittiğinizde, vektör uzunlukları da artar.

-

Neyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.

Şimdi, vektör yönündeki değişim hızıyla ilgilenmiyoruz.

-

Vektöre dik yöndeki vektörlerin uzunluklarındaki değişim hızını bulmaya çalışıyoruz.

-

Buna göre, rotasyonelin del işlemcisi ile vektör alanının vektör çarpımı olduğunu tahmin edersiniz.

-

Eğer tahmininiz bu yönde ise, doğru bildiniz.

-

Vektör alanının rotasyoneli böyle bulunur.

Ve, rotasyonel, alanın ne kadar döndüğünü, veya alanda bir obje varsa, alanın tork uygulayarak o objeyi ne kadar döndürdüğünü ölçer.

-

-

-

Çünkü, objenin farklı noktalarında, aynı yönde farklı büyüklüklerde vektörler var.

-

Herneyse, kafanızı fazla karıştırmak istemiyorum.

Umarım, gösterdiğim örnek, mantıklı gelmiştir.

-

Neyse, 9 dakikayı doldurdum.

Bir sonraki videoda, rotasyoneli hesaplayacağım ve birkaç örnek daha çizeceğim.

-

-

Bir sonraki videoda görüşürüz.

-

-

-