-
ก่อนที่ผมจะบอกคุณถึงกลไกว่าเคิร์ลของ
-
สนามเวกเตอร์คืออะไร ลองมาดู
-
สัญชาตญาณสักหน่อย
-
ตอนนี้ ผมวาด, ผมจะวาดแค่สนามเวกเตอร์
-
ในสองมิตินะ
-
คุณสามารถขยายเป็น 3, แต่ตอนเราหาสัญชาตญาณ
-
แค่ 2 ก็ดีแล้ว
-
งั้นลองดูกัน
-
ผมไม่อยากแม้แต่จะเขียนแกน x กับ y
-
นี่คือ x, นี่คือ y
-
แล้วตอนที่ y นั้นน้อย, ขนาดของเวกเตอร์เราที่ไป
-
ในทิศ x, เมื่อมันเพิ่มขึ้นหน่อย ๆ, มัน
-
จะยาวขึ้นอีกหน่อย
-
ดังนั้นอย่างที่เราเห็น, เมื่อเราเปลี่ยนในทิศ y, เมื่อเราไป
-
ในทิศ y, องค์ประกอบ x ของเวกเตอร์เรา
-
ยาวขึ้นและยาวขึ้น
-
และบางทีในทิศ x มันคงที่, ไม่ว่า
-
ระดับของ x เป็ฯอย่างไร, ขนาดยังเหมือนเดิม
-
สำหรับ y ที่กำหนดค่านึง, ขนาดของเวกเตอร์ตามแกน x
-
จะยังคงเดิม
-
ผมหมายถึง, สนามเวกเตอร์นี้มันอาจหน้าตาเป็นแบบนี้
-
ผมแค่ตั้งเลขขึ้นมา
-
บางทีมันอาจเป็นแค่, ไม่รู้สิ, y กำลังสอง i
-
ดังนั้นขนาดตามทิศ x ก็แค่
-
ฟังก์ชันของค่า y คุณ
-
และเมื่อค่า y เพิ่มขึ้นและเพิ่มขึ้น, ขนาดใน
-
ทิศ x คุณจะยิ่งโตขึ้นโตขึ้น เป็น
-
สัดส่วนกับกำลังสองของขนาดในทิศ y
-
แต่สำหรับ x ที่กำหนดใด ๆ, มันจะเท่าเดิมเสมอ
-
มันขึ้นอยู่กับ y เท่านั้น
-
ดังนั้นตรงนี้, แมว่าเราจะทำให้ x โตขึ้น, เราก็ยัง
-
ได้ขนาดเท่าเดิม
-
และจำไว้ พวกนี่เป็นแค่จุดตัวอย่าง
-
ในสนามเวกเตอร์ของเรา
-
แต่ช่างเถอะ
-
นั่นพอแล้วสำหรับการหาสัญชาตญาณ
-
เบื้องหลังสนามเวกเตอร์
-
แต่ขอผมถามคุณอย่างนึง
-
หากผม สมมุติว่าสนามเวกเตอร์นี้แสดง
-
ความเร็วของของไหล ณ จุดต่าง ๆ
-
และคุณอาจมองนี้, เรากำลังมองแม่น้ำก็ได้
-
หากผมเอากิ่งไม้น้อย ๆ หรืออะไรสักอย่าง, ผมวางมัน
-
ลงไปในของไหลนี้ งั้นขอผมวางกิ่งไม้ตรงนี้นะ
-
ขอผมวาดกิ่งไม้หน่อย
-
งั้นสมมุติว่าผมวางกิ่งไม้ลงไป, มันเป็นกิ่งไม้ขำ ๆ
-
แต่ก็ดีพอแหละ
-
สมมุติว่าผมวางกิ่งไม้อันนึงตรงนี้
-
จะเกิดอะไรขึ้นกับกิ่งไม้นั่น?
-
ณ จุดนี้ตรงกิ่งไม้, น้ำกำลังไหล
-
ไปทางขวา, ดังนั้นมันจะผลักกิ่งไม้ไปทางขวา
-
และส่วนบนกิ่งไม้, น้ำก็เคลื่อนไปทาง
-
ขวาเหมือนกัน, ด้วยความเร็วที่มากกว่า, แต่มันจะ
-
ยังคงผลักด้านบนของกิ่งไปทางขวา
-
แต่ด้านบนกิ่งจะถูกผลักไปทางขวา
-
เร็วกว่าด้านล่างของกิ่ง จริงไหม?
-
งั้นมันจะเกิดอะไรขึ้น?
-
กิ่งไม้จะหมุ่น, จริงไหม?
-
หลังจาก, ไม่รู้สิ, สักพักนึง,
-
กิ่งไม้จะมีหน้าตาแบบนี้
-
ส่วนล่างจะเคลื่อนที่ไปทางขวาหน่อย, แต่
-
ส่วนบนจะเคลื่อนไปทางขวามากกว่า
-
จริงไหม?
-
และทั้งหมดนั้นจะเลื่อนไปทางขวา
-
แต่มันจะหมุนนิดหน่อย
-
และบางทีหลังจากนั้นไป, บางทีมันอาจ
-
เป็นแบบนี้
-
ดังนั้นคุณเห็นเป็นแบบนี้เพราะเวกเตอร์เพิ่มขึ้น
-
ในทิศที่ตั้งฉากกับทิศของการ
-
เคลื่อนที่, จริงไหม?
-
ในตัวอย่างง่าย ๆ นี้, เวกเตอร์ทั้งหมด
-
ชี้ไปตามแกน x
-
แต่ขนาดของเวกเตอร์เพิ่มขึ้น, มัน
-
เพิ่มขึ้นในแนวฉาก, มันเพิ่มขึ้นในทิศ y, จริงไหม?
-
และเมื่อมันเกิดขึ้น, เมื่อการไหลไปในทิศเดียวกัน
-
แต่มันมีขนาดต่างกัน, คุณจะเห็น
-
ว่าวัตถุในนั้นเริ่มหมุน, จริงไหม?
-
ลองคิดดู
-
หากอนุพันธ์, อนุพันธ์ย่อย, ของสนาม
-
เวกเตอร์นี่เทียบกับ y เพิ่มขึ้นหรือลดลง, หาก
-
มันกำลังเปลี่ยน, นั่นหมายความว่า เมื่อเราเพิ่มค่า y, หรือลด
-
ค่า y, ขนาดขององค์ประกอบ x ของเวกเตอร์เรา,
-
ใช่, ทิศ x ของเวกเตอร์เราจะเปลี่ยน
-
และดังนั้น หากคุณมีความเร็วในแต่ละชั้นของ y
-
ต่างกัน, เมื่ออะไรสักอย่างเคลื่อนที่ในทิศ x, มันจะ
-
หมุน, จริงไหม?
-
คุณอาจมองมันราวกับว่ามันมีทอร์กกระทำ
-
กับวัตถุที่อยู่ในน้ำตรงนี้
-
และที่สุดจะเป็น, ขอผมวาดสนามเวกเตอร์อีกอัน
-
สุดท้ายจะเป็นว่า หากผมมีสถานการณ์นี้
-
ขอผมวาดสนามเวกเตอร์อีกอัน
-
หากผมมีสถานการณ์นี้, ตรงที่บางทีตรงนี้ มันเป็นอย่างนี้,
-
บางทีมันจะเป็นแบบนี้, แล้วก็เล็กมาก
-
,แล้วก็เปลี่ยนทิศ, ตรงนี้, แล้วก็
-
สนามเวกเตอร์ไปแบบนี้
-
คุณก็นึกภาพตรงนี้ว่ามันจะไปทางซ้าย,
-
ด้วยขนาดที่ใหญ่ทีเดียว
-
ดังนั้นหากคุณวางกิ่งไม้ตรงนี้, คุณจะเห็น
-
ว่าไม้นั่น, ไม่ใช่แค่เลื่อนไปทางขวา,
-
ด้านนี้จะเลื่อนไปทางซ้าย, ด้านนี้จะ
-
ไปทางขวา, มันก็จะหมุน
-
และคุณจะเห็นว่ามีทอร์กลัพธ์กระทำต่อกิ่งไม้
-
แล้วสัญชาตญาณตรงนี้คืออะไร?
-
ในทันใด, เราสนว่าขนาด
-
ของเวกเตอร์เปลี่ยนไปแค่ไหน, ไม่ใช่ในทิศของการเลื่อนที่, เหมือนกับ
-
ในเรื่องไดเวอร์เจนซ์, แต่เราสนใจว่าขนาดของเวกเตอร์
-
เปลี่ยนไปแค่ไหน เมื่อเราไปตั้งฉากกับ
-
ทิศของการเคลื่อนที่
-
ดังนั้นเมื่อเราเรียนเรื่องดอตกับครอสโปรดัค,
-
เรารู้อะไรมา?
-
เรารู้ว่าดอตโปรดัคของเวกเตอร์ 2 อันบอกเราว่า
-
เวกเตอร์ 2 อันไปด้วยกันแค่ไหน และครอสโปรดัคบอกเราว่า
-
มันตั้งฉากกันแค่ไหน, มันเหมือนกับการคูณ
-
องค์ประกอบตั้งฉากกันของเวกเตอร์
-
ดังนั้นนี่อาจทำให้คุณเข้าใจสัญชาตญาณว่าเคิร์ลคืออะไร
-
เพราะที่สุดแล้ว เคิร์ลเป็นตัววัด
-
ผลการหมุน, หรือผมเดาว่าคุณอาจบอกว่า เคิร์ลของสนาม
-
เวกเตอร์ ณ จุดใด ๆ คืออะไร?
-
และคุณสามารถนึกภาพมันได้
-
คุณวางกิ่งไม้ลงไป, จะเกิดอะไรขึ้นกับมัน?
-
หากกิ่งไม้หมุน มันก็มีเคิร์ล, หากขนาดการหมุน
-
โตขึ้น, เคิร์ลก็โตขึ้นด้วย
-
หากมันหมุนไปอีกทาง, คุณจะได้
-
เคิร์ลเป็นลบ
-
และนั่นก็เหมือนกับตอนเราทำเรื่องทอร์ก, เราสน
-
แค่ทิศเท่านั้น
-
เพราะเราสนว่ามันหมุนทวนเข็มหรือ
-
ตามเข็มนาฬิกา, ดังนั้นเราจะได้เวกเตอร์
-
อันนึง, จริงไหม?
-
และทั้งหมดนั่นหวังว่าจะเริ่มประกอบกัน
-
ในตอนนี้แล้ว
-
เราเคยยุ่งกับเวกเตอร์ เดล
-
หรืออันนี้, คุณก็รู้, เราเรียกมันว่า สัญลักษณ์แบบ
-
ผิด ๆ, แต่มันตรงตามสัญชาตญาณ, แม้ว่ามัน
-
ไม่มีความหมายใด ๆ แบบที่ผมบรรยายมันอย่างนี้
-
คุณอาจเขียนมันเป็นเวกเตอร์โอเปอเรเตอร์, แล้วมันจะ
-
มีความหมายขึ้นหน่อย
-
แต่โอเปอเรเตอร์ เดล
-
นี่, เราใช้หลายครั้งแล้ว
-
คุณก็รู้, หากอนุพันธ์ย่อยของอะไรสักอย่างใน
-
ทิศ i, บวกอนุพันธ์ย่อย, อะไรสักอย่างเทียบกับ
-
y ในทิศ j, บวกอนุพันธ์ย่อย
-
ทีนี้, นี่คือตอนที่เราทำในสามมิติ
-
เทียบกับ z ในทิศ k
-
เมื่อเราใช้มันกับสนามสเกลาร์หรือเวกเตอร์, คุณก็รู้
-
เหมือนกับฟังก์ชันสามมิติ, เราก็แค่คูณ
-
มันกับฟังก์ชันสเกลาร์, เราจะได้เกรเดียน
-
หากเราหาดอตโปรดัคของอันนี้กับสนามเวกเตอร์, เรา
-
จะได้ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์
-
และนี่ควรเป็นไปตามสัญชาตญาณ
-
แล้ว, ณ จุดนี้
-
เพราะตอนเรา, คุณอาจอยากทบทวนวิดีโอเดิม
-
ตอนเราเปรียบเทียบดอตโปรดัคกับครอสโปรดัค
-
เพราะดอตโปรดัค คือ เวกเตอร์สองตัว
-
ไปด้วยกันแค่ไหน?
-
และตอนเราใช้ เดล โอเปอเรเตอร์ และดอตมันกับ
-
สนามเวกเตอร์, คุณก็บอกว่า, สนามเวกเตอร์เปลี่ยนไป
-
แค่ไหน, จริงไหม?
-
อนุพันธ์ทั้งหมดคือ, อนุพันธ์ย่อย หรืออนุพันธ์ทั่วไป,
-
ก็แค่อัตราการเปลี่ยนแปลง
-
อนุพันธ์ย่อเทียบกับ x คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง
-
ในทิศ x
-
ทั้งหมดที่คุณพูดคือ, ตอนคุณหาดอตโปรดัค
-
คุณหาว่าอัตราเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้นเท่าไหร่ใน
-
ทิศการเคลื่อนที่ของผม?
-
อัตราการเปลี่ยนแปลงในทิศ y เมื่อเพิ่มขึ้น
-
ในทิศ y เป็นเท่าไหร่?
-
และความเข้าใจช่วยเราในเรื่องไดเวอร์เจนซ์
-
เพราะจำไว้, หากนี่คือเวกเตอร์, แล้วเมื่อเราเพิ่มขึ้น
-
ในทิศ x, เวกเตอร์ก็เพิ่มขึ้น, เราก็หา
-
จุดเล็ก ๆ, แล้วเราบอกว่า, โอ้, ณ จุดนี้เรากำลัง
-
มีออกมากกว่าเข้า, ดังนั้นเรามี
-
ไดเวอร์เจนซ์เป็นบวก
-
แต่นั่นเข้าใจได้, เช่นกัน, เพราะเมื่อคุณไปในทิศ x,
-
ขนาดของเวกเตอร์เพิ่มขึ้น
-
เอาล่ะ, ผมไม่อยากทำคุณงงเกินไป
-
ดังนั้นตอนนี้, สัญชาตญาณ, เพราะตอนนี้เราไม่สนใจ
-
อัตราการเปลี่ยนตามทิศของเวกเตอร์
-
เราสนใจอัตราการเปลี่ยนแปลงขนาด
-
เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทิศของเวกเตอร์นั้น
-
ดังนั้นเคิร์ล, คุณคงเดาได้, ว่าเท่ากับ ครอส
-
โปรดัคของ เดล โอเปอเรเตอร์ กับสนามเวกเตอร์
-
และหากนั่นคือสิ่งที่สัญชาตญาณพาคุณไป, และนั่น
-
คือการเดาของคุณล่ะก็, คุณถูกแล้ว
-
นี่คือเคิร์ลของสนามเวกเตอร์
-
และมันคือการวัดว่า สนามหมุนไปแค่ไหน,
-
หรือบางทีหากคุณนึกวัตถุในสนามขึ้นมา, มันจะบอกว่า
-
สนามทำให้วัตถุหมุนไปเท่าไหร่ เพราะ
-
มันก่อให้เกิดทอร์ก
-
เพราะ ณ จุดต่าง ๆ ของวัตถุ, คุณมี
-
ขนาดของสนามไม่เท่ากัน แต่ในทิศเดียวกัน
-
เอาล่ะ, ผมไม่อยากทำให้คุณงงเกินไป
-
หวังว่าตัวอย่างนั้นที่ผมแสดงให้ดู จะช่วย
-
ให้เข้าใจมากขึ้นนะ
-
เอาล่ะ, ผมเพิ่งรู้ว่าผมใช้เวลา 9 นาทีแล้ว
-
ในวิดีโอหน้า, ผมจะคำนวณเคิร์ล, และ
-
บางทีเราจะวาดเพิ่มอีกเพื่อ
-
ให้เข้าใจสัญชาตญาณจนสุด
-
แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
-
Not Synced
-
-
Not Synced
-
-
Not Synced
-
