Rotacional 1

Introdução ao rotacional de um campo vetorial

Antes de mostrar a mecânica do que um rotacional de

campo vetorial é, vamos tentar obter um

pouco de intuição.

Aqui eu desenhei, eu vou desenhar um

campo vetorial bi-dimensional.

Você pode extrapolar para 3, mas como estamos

na intuição, é melhor fazer com 2.

Então, vejamos.

Eu nem identifiquei os eixos x e y.

Este é o x, este é o y.

Então quando o y é relativamente baixo, a magnitude do vetor vai

na direção x, quando y aumenta um pouco,

o vetor fica um pouco maior.

podemos notar que, conforme incrementos na direção y,

a componente x do vetor

fica cada vez maior.

E talvez, na direção x a magnitude é constante

independente do x, a magnitude se mantém.

Então, para um dado y, a magnitude da componente x do vetor

se mantém a mesma.

Isso significa que, este campo vetorial deve se parecer com algo assim.

Eu vou fazer com alguns números.

Talvez seja só, sei lá, y ao quadrado î.

Então a magnitude na direção x é apenas uma

função dos valores de y.

Conforme os valores em y aumentam, a magnitude na

direção x também aumenta, na proporção

do quadrado da magnitude da direção y.

Mas para um dado x, a magnitude será sempre a mesma.

é dependente apenas de y.

Aqui, mesmo que façamos x maior, continuamos com

a mesma magnitude.

Lembre-se, estas são apenas algumas amostras de pontos

em nosso campo vetorial.

De qualquer forma.

É o suficiente para dar uma intuição sobre

esse campo vetorial.

Deixe-me fazer uma pergunta.

Se eu fosse, digamos que este vetor representa a

velocidade de um fluido em diversos pontos.

Então você pode ver isso, estamos observando um rio, talvez.

Se eu pegasse um graveto ou algo assim, e o colocasse

nesse fluido, deixe-me colocar um graveto bem aqui.

vou desenhar um graveto aqui.

Digamos que eu tenha um graveto, esse é bem esquisito,

mas serve.

Digamos que eu colloque o graveto aqui.

O que acontecerá com o graveto?

Bem, nesse ponto, a água move-se para a

direita, então vai empurrar essa parte para a direita.

Na ponta do graveto, a água também move-se para a

direita, talvez com uma velocidade maior, mas também vai

empurrar a ponta do graveto para a direita.

Mas a ponta do graveto será empurrada para

a direita mais rápido do que na base do graveto, certo?

Então, o que vai acontecer?

O graveto vai rotacionar, certo?

Depois, sei lá, um tempo depois, o

graveto se parecerá com algo assim.

a base se moverá um pouco para a direita, mas a

ponta se deslocará muito mais para a direita.

Certo?

E ele todo será deslocado para a direita.

Mas rotacionando um pouco.

Talvez lá na frente, talvez se pareça

com algo assim.

Então você pode perceber que por conta do incremento do vetor

na direção que é perpendicular à direção

do movimento, certo?

Neste simples exemplo, todos os vetores apontam

na direção de x.

Mas a magnitude dos vetores aumenta, eles aumentam

perpendicularmente, eles aumentam na dimensão y, certo

quando isso acontece, quando o fluxo segue a mesma

direção, mas está seguindo em uma magnitude diferente, você percebe

que qualquer objeto nele irá rotacionar, certo?

Vamos pensar um pouco.

Se a derivada, a derivada parcial, deste

campo vetorial em relação a y é crescente ou decrescente, se

está apenas variando, isso significa que ao incrementarmos y, ou

decrementarmos y, a magnitude da componente x de nossos vetores,

certo, na direção x de nossos vetores varia.

Então se temos velocidades diferentes para diferentes y,

conforme algo se move na direção x, ele será

rotacionado, certo?

Você poderia ver isso como se houvesse um torque no

objeto que está aqui na água.

Exemplificando melhor, deixe-me desenhar outro campo vetorial,

melhor seria se eu tivesse a seguinte situação.

Deixe-me desenhar outro campo vetorial.

Se eu tivesse essa situação, onde talvez aqui seja assim,

aqui seja assim, e então pode ficar bem pequeno aqui

e então muda de direção, por aqui e então

o campo vetorial fica assim.

Você poderia pensar, aqui está indo para a esquerda com

uma magnitude consideravelmente grande.

Se colocarmos um graveto aqui, definitivamente veríamos

que o graveto, não só não será deslocado para a direita,

este lado se moverá para a esquerda, este lado vai

se mover para a direita, ele está sendo rotacionado.

E você perceberá que há um torque no graveto.

Então o que é intuição aqui?

De repente, queremos saber qual é a magnitude

de um vetor variando, não em sua direção de movimento, como no

exemplo de divergente, mas desejamos saber qual é a magnitude

do vetor variando conforme seguimos na perpendicular à

sua direção de movimento.

Então, como vimos nos produtos escalares e vetoriais,

o que aprendemos?

Nós vimos que o produto escalar de 2 vetores nos diz o quanto

os 2 vetores se movem juntos, enquanto o produto vetorial nos diz o quanto

está na perpendicular, é um tipo de multiplicação

das componentes perpendiculares de um vetor.

Isso deve dar uma pequena ideia do que seja um rotacional.

O rotacional essencialmente mede o efeito rotacional,

você também pode perguntar, qual é o rotacional de um

vetor em um dado ponto?

E você pode visualizar isso.

Basta colocar um graveto aqui, o que acontecerá com o graveto?

Se o graveto rotacionar e há um rotacional, quanto maior

a magnitude da rotação, maior será o rotacional.

Se rotacionar na direção oposta, você terá

a direção negativa do rotacional.

E assim como fizemos com o torque, agora fazemos

com a direção.

Porque queremos saber se está no sentido anti-horário ou

horário, então acabamos com uma

quantificação do vetor, certo?

Então, a essa altura as peças devem

estar se encaixando.

Estivemos usando esse Nabla,

esse vetor, tipo, poderíamos abusar da notação,

mas é meio intuitivo, na verdade

não tem um sentido quando descrevo assim.

Você pode escrevê-lo como um operador vetorial, então

assim passa a fazer mais sentido.

Mas esse operador

Nabla, usamos algumas vezes.

Tipo, se a derivada parcial de alguma coisa

na direção i, mais a derivada parcial, algo com

relação a y na direção j, mais a derivada

parcial, bem, isto se fizermos nas 3 dimensões

com relação a z na direção k.

Quando aplicamos isso a um escalar ou um campo vetorial,

como uma função tridimensional, nós apenas multiplicamos

isso por uma função escalar, nós obtemos o gradiente.

Quando pegamos o produto vetorial disso com um campo vetorial,

nós obtemos o divergente do campo vetorial.

e isso deveria ser um pouco intuitivo

par você a essa altura.

Porque quando nós, você deve rever nossos vídeos originais

onde comparamos o produto escalar com o produto vetorial.

Porque o produto escalar representa o quanto

2 vetores se movem juntos.

Então quando você está usando este operador Nabla e multiplicando

por um campo vetorial, você está obtendo o quanto o

campo vetorial está variando, certo?

Uma derivada é, uma derivada parcial ou

derivada normal, é apenas uma taxa de variação.

Derivada parcial com relação a x é a taxa de variação

na direção x.

Resumindo, quando você faz um produto escalar, você está perguntando,

quanto a minha taxa de variação está incrementando

em minha direção de movimento?

Quanto minha taxa de variação na direção y está incrementando

na direção y?

E faz sentido que isso nos ajude com o divergente.

Porque lembre-se, se isso é um vetor, e conforme incrementamos

isso na direção x, o vetor aumenta, pegamos um

pequeno ponto, e dizemos, olha, nesse ponto, nós vamos

ter mais saindo do que entrando, assim nós temos

um divergente positivo.

Mas isso faz sentido também, porque se você seguir na

direção x, a magnitude do vetor aumenta.

De qualquer forma, não quero complicar muito.

Agora por intuição, porque nós não nos importamos com

a taxa de variação na direção do vetor.

Estamos interessados na taxa de variação da magnitude

do vetor perpendicular à direção do vetor.

Então o rotacional, você deve supor, é igual ao produto vetorial

de nosso operador Nabla com o campo vetorial.

E se isso foi onde sua intuição o levou,

e se esse é seu palpite, você está correto.

Esse é o rotacional de um campo vetorial.

E isso é a medida de quanto o campo está rotacionando

ou talvez, se imaginar um objeto nesse campo, quanto de

rotação o campo está causando nesse objeto

com imposição de torque?

Porque em diferentes pontos do objeto, você tem

diferentes magnitudes de campo na mesma direção.

OK, não quero complicar demais.

Espero que esse exemplo que mostrei a você,

faça um pouco de sentido.

De qualquer forma, percebi que levei 9 minutos.

No próximo vídeo, vou na verdade calcular o rotacional

e talvez tentar desenhar um pouco mais para

fixar mais o conceito.

Até o próximo vídeo.