Curl 1

Antes de vermos o que é de fato
o rotacional de um campo vetorial,

vamos ver intuitivamente.

Desenhei aqui um campo vetorial
bidimensional.

Poderíamos fazer em um tridimensional
mas pra termos a intuição é melhor assim.

Vejamos...ainda não fiz os eixos.

Aqui estão eles.

Quando y é relativamente baixo,
nosso vetor vai na direção x.

Quando cresce um pouco, fica mais longo.

Como podemos ver, à medida que avançamos
na direção y

nossa componente x fica cada vez maior.

Talvez na direção x eles sejam constantes,

independente de x, a magnitude é a mesma.

Para um y dado, a magnitude da componente
x do vetor permanece igual.

Esse campo vetorial será mais ou menos
assim.

Estou chutando números.

Talvez seja apenas y ao quadrado i.

A magnitude na direção x é a função
do seu valor y.

Quanto maior for o valor de y,
a magnitude na direção x aumentará.

Proporcionalmente ao quadrado da magnitude
da direção y.

Mas pra qualquer x dado será sempre igual,
depende apenas de y.

Mesmo aumentando x
ainda obtemos a mesma magnitude.

Lembre-se, estes são apenas pontos
aleatórios.

Mas enfim, é o suficiente para termos
uma intuição.

Deixe-me te perguntar uma coisa.

Digamos que esse campo vetorial

mostre a velocidade de um fluido
em vários pontos.

Podemos ver isso como se estivéssemos
olhando para um rio.

Se pegasse um galho ou algo assim

e colocasse nesse fluido--
deixe-me colocá-lo aqui.

Deixe-me desenhá-lo.

É um galho estranho mas vai servir.

Colocamos ele aqui.

O que acontecerá a ele?

Neste ponto dele
a água se move pra direita.

Logo, empurrará essa parte pra direita.

Na parte de cima do galho
a água também vai pra direita.

Talvez com uma velocidade maior
mas também empurrará o galho pra direita.

Mas neste caso a parte de cima se moveria
mais rapidamente que a parte de baixo.

O que acontecerá?

Ele girará, certo?

Depois de um tempo ele estará
mais ou menos acima.

A parte de baixo irá pra direita.

Mas a parte de cima estará muito mais
pra direita.

Tudo se deslocará pra direita
mas girando um pouco.

Talvez um pouco depois fique assim.

Porque o vetor cresce na direção
perpendicular à do movimento.

Certo?

É um exemplo bem simples.
Todos os vetores apontam na direção x.

Mas a magnitude dos vetores aumenta
perpendicularmente, na direção y.

Quando o fluxo vai na mesma direção
mas com uma magnitude diferente,

você vê que qualquer objeto girará.

Vamos pensar nisso.

Se a derivada parcial deste campo vetorial
em relação a y cresce ou decresce.

Se ela varia, a magnitude da componente x
muda.

Se tivermos velocidades diferentes
pra diferentes y's.

Quando algo se mover na direção x,
fatalmente girará.

Podemos ver isso como um torque de rede
no objeto sobre a água.

O último seria--deixe-me desenhar
outro campo vetorial--

se eu tivesse essa situação.

Deixe-me desenhar outro campo vetorial.

Talvez aqui embaixo fosse assim.

Aqui assim. Ficando menor.

Ou trocando de direção.

Assim.

Indo pra esquerda.
É uma magnitude bem grande.

Se você colocar um galho aqui, verá que
ele não só não girará pra direita--

este lado irá pra esquerda,
esse pra direita. Ele será rotacionado.

Verá que há uma rede torque no galho.

Qual a intuição aqui?

De repente nos importamos
com quanto é a magnitude

de uma variação do vetor,
não na direção do movimento

como no exemplo da divergência,
mas perpendicularmente ao movimento.

O que aprendemos sobre produto escalar
e vetorial?

O escalar nos diz quão junto
vão os vetores.

E o vetorial é como se fosse
a multiplicação

das componentes perpendiculares do vetor.

Isso pode te dar uma intuição
do que é o rotacional.

Ele mede qual a rotação
de um campo vetorial num ponto qualquer.

Você pode visualizar.

Colocando um galho lá
o que acontece a ele?

Se o galho gira e há alguma ondulação,
quanto maior for a magnitude da rotação

maior será a ondulação.

Se girar na direção contrária,
a ondulação será negativa.

Como fizemos com o torque,
agora nos importamos com a direção.

Se gira no sentido horário ou não,

pois acabaremos com uma quantidade
de vetores, certo?

Espero que as coisas estejam
fazendo sentido até aqui.

Temos lidado com esse vetor Dell.

É um abuso de notação, apesar de ser
intuitivo.

Não tem muito sentido escrevendo assim.

Podemos reescrever como um operador
vetorial, assim faz mais sentido.

Mas usamos esse operador Dell
em muitas oportunidades.

É a derivada parcial de alguma coisa.

Direção i mais a derivada parcial
de alguma coisa em relação a y

na direção j

mais a derivada parcial--isso se fizermos
em três dimensões--

em relação a z na direção k.

Quando aplicávamos a um escalar
ou um campo vetorial--

uma função tridimensional, apenas
multiplicamos isso pela função escalar

e obtemos o gradiente.

Quando fazemos o produto escalar
disso com um campo vetorial

obtemos a divergência do campo.

Isso deve ser intuitivo pra você aqui.

Quando comparamos o produto escalar
com o vetorial,

o escalar é o quão junto se movem
dois vetores.

Ao calcular o produto escalar
desse operador Dell com o campo vetorial,

isso nos dirá o quanto esse campo
vetorial está variando.

Qualquer derivada, parcial ou não,
é uma taxa de variação.

Derivada parcial em relação a x
é a variação na direção x.

Calcular o produto escalar nos diz
o quanto a taxa de variação aumenta

na direção do meu movimento.

Quanto a taxa de variação em relação a y
aumenta na direção de y.

Faz sentido nos ajudar com divergência.

Se temos um vetor e ao aumentarmos
na direção x, o vetor aumenta.

Se olharmos em um ponto específico
e tivermos mais saída que entrada

temos uma divergência positiva.

Isso faz sentido também pois na direção x
a magnitude do vetor aumenta.

Enfim, não quero confundi-lo.

Agora não nos importamos com
a taxa de variação na direção do vetor.

E sim com a taxa de variação de magnitudes
perpendiculares à direção do vetor.

O rotacional é igual ao produto vetorial

do operador Dell com o campo vetorial.

Se essa era sua intuição
você estava certo.

Esse é o rotacional do campo vetorial.

Ele mede o quanto o campo está girando,

ou imaginando um objeto no campo,

o quanto o campo causa a rotação
por exercer torque de rede.

Em diferentes pontos do objeto,

tem-se diferentes magnitudes do campo
na mesma direção.

Enfim, não quero confundi-lo.
Espero que o exemplo tenha sido claro.

Agora que vi que já passei
de nove minutos.

No próximo vídeo vou calcular o rotacional

e talvez farei mais desenhos pra ajudar
sua intuição.

Até lá.

[legendado por: Vitor Tocci]