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Antes de que en les muestre la mecánica de lo que el rotacional de un
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campo vectorial en realidad es, vamos a tratar de tener un poco
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de intuición.
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Así que aquí he dibujado, voy sólo a dibujar un campo vectorial
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de dos dimensiones.
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Puedes extrapolar a 3, pero cuando estamos tomandolo
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por intuicion, esta bien hacerlo en 2.
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Y asi, veamos.
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Yo no rotule los ejes de x y y.
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Este es x, este es y.
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Asi que cuando y es relativamente bajo, nuestra magnitud del vector va en
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la direccion de x, cuando este aumenta un poquito, este
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se hace un poquito mas largo.
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Como podemos ver, mientras nuestro cambio en la direccion-y, mientras nos vamos
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en la direccion-y, el componente-x de nuestros vectores
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se hace mas grande y grande.
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Y quizas en la direccion-x son constantes, independientemente
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de tu nivel de x, la magnitud permanece.
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Asi que para una y dada, la magnitud de tu vector componente-x
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puede parmanecer igual.
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Lo que estoy diciendo es, el campo del vector se debe ver algo asi.
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Yo solo estoy inventando numeros.
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Quiza es solo, no se, y cuadrado i.
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Asi que la magnitud de la direccion-x es solo una
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funcion de tu valor-y.
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Muentras tus valores-y se hacen mas y mas grandes, la magnitud en
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tu direccion-x se hara grande y grande, proporcional
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al cuadrado de la magnitud en la direccion de y.
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Pero para cada dada x, siempre va a ser lo mismo.
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Solo depende le la y.
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Aqui, aunque hagamos a x mas grande, todavia tendremos
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la misma magnitud.
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Y recuerda, estos son solo puntos de muestra
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en nuestro campo vectorial.
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Sin embargo.
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Es suficiente de solo obtener la intuicion detras
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del campo vectorial.
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Pero dejame hacerte esta pregunta.
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Si yo fuera a, digamos, que este campo vectorial muestra la
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velocidad de un fluido a varios puntos.
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Y para que lo puedas ver, estamos viendo un rio, quizas.
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Si tomamos una ramita o algo, y yo fuera a
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colocarla en este fluido, asi que dejame poner la ramita aqui.
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Dejame dibujar la ramita.
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Digamos que pongo la ramita, es una ramita que se ve graciosa,
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pero eso ne es suficiente.
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Digamos que coloco la ramita aqui.
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Que le va a pasar a la ramita?
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Bueno, a este punto en la ramita, el agua se esta moviendo a la
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derecha, asi que empujare esta parte de la ramita a la derecha.
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A la parte de arriba de la ramita, el agua tambien se esta moviendo a la
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derecha, quiza con una velocidad mas rapida, pero tambien esta yendo
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a empujar la parte de arriba de la ramita hacia la derecha.
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Pero la parte de arriba de la ramita va a ser empujada para
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la derecha mas rapido que la parte de abajo de la ramita, cierto?
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Asi que que es lo que va a pasar?
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La ramita va a rotar, cierto?
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Despues de, no se, algun periodo de tiempo, la
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ramita se va a ver algo asi.
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La parte de abajo se movera u poquito a la derecha, pero la
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parte de arriba se movera mucho mas a la derecha.
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Cierto?
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Y todo se moveria hacia la derecha.
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Pero va a rotar un poco.
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Y quiza despues de un poquito, quiza se vea
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algo asi.
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Asi que puedes ver que porque los vectores aumentan en su
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direccion que es perpendicular a nuestra direccion
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de movimento, cierto?
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Esto es un ejemplo simple, todos los vectores apuntan
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en la direccion-x.
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Pero la magnitud de los vectores aumenta, estos aumentan
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perpendicularmente, ellos aumenta en la dimension-y, cierto?
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Y cuando esto ocurre, cuando el flujo se esta moviendo el la misma
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direccion, pero esta llendo a una magnificacion diferente, puedes ver
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que cualquier objeto en el puede rotar, cierto?
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Asi que pensemos en esto.
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Si el derivado, el derivativo parcial, de este
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campo vectorail con respecto a y esta aumentando o reduciendo, si
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esta solo cambiando, esto significa que mientras aumenta en y, o tanto como nosotros
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disminuimos en y, la magnitud del componente-x de nuestros vectores,
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cierto, la direccion-x de nuestros cambios vectoriales.
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Y tienes diferentes velocidades para diferentes niveles de
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y, mientras algo se mueve en la direccion-x, va a estar siendo
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rotado, cierto?
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Puedea casi verlo como si este tubiera un torque neto en un
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objeto que se sienta en el agua aqui.
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Y la ultima puede ser, dejame dibujar otro vector
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la ultima puede ser si yo tengo esta situacion.
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Dejame dibujar otro campo vectorial.
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Si tibiera esta situacion, donde quiza aqui abajo es asi,
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luego quizas es asi, y luego quizas se hace bien
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pequeno, luego quiza cambia direcciones, aqui arriba, y luego
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el campo vectorial es el siguiente.
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Asi que te puedes imaginar aqui arriba que se esta yendo a la izquierda con
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una magnitud bastante grande.
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Asi que si ponemos una ramita aqui, espero puedas definitivamente ver
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que la ramita, no solo no se va a mover a la derecha,
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este lado se va a mover a la izquierda, este lado se va a
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la derecha, este va a ser rotado.
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Y puedes ver que ahi un torque neto en la ramita.
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Asi que cual es la intuicion aqui?
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De momento, nos preocupa cuanto mas es la magnitud de un
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vector cambiante, no su direccion de moviviento, como en
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el ejemplo de divergencia, pero nos preocupa cuanto es la magnitud
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de un vectro cambiante mientras nos vamos perpendicular a su
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direccion de su movimiento.
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Asi que cuando aprendimos sobre el producto de punto y cruz,
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que aprendimos?
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Aprendimos que el priducto de punto de 2 vectores te dice cuanto mas
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2 vectores se mueven juntos, y el producto de cruz dice cuanto
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mas perpendicular, es como la multiplicacion
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de componentes perpendiculares de un vector.
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Asi que esto de debe dar u poco de intuicion sobre cual es el rizo.
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Purque el rizo esencialmente mide que es el efecto
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racional, o podria adivinar, cual es el rizo de un
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campo vectorial a un punto dado?
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Y puedes visualizarlo.
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Puedes poner una ramita, que le pasara a la ramita?
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La ramita rota y hay un poco de rizo, si la magnitud
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de rotacion es mayor, entinces el rizo es mayor.
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Rota en la otra direccion, tendras la
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direccion negativa de rizo.
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Y como hicimos con torque, ahora nos compete
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la direccion.
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Porque nos importa si va contra las manecillas del reloj o
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en favor a las manecillas del reloj, asi que vamos a terminar con un vector
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de cantidad, cierto?
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Asi, y espero que todo esto enpieze a encajar
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a este punto.
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Hemos estado trabajando con este vector Dell
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o esto, sabes, podriamos llamar a este notacion abusiva,
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pero es intuitiva, a pesar de que en realidad
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no hace ningun sentido cuando lo describe asi.
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Tu puedes escribirlo como un vector operador, y luego
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tiene un poquito de mas reunion.
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Pero este operador Dell
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lo usamos muchas veces.
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Sabes, si la derivatiba parcial de algo en la
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dirreccion-i, mas la derivativa parcial, algo con
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respecto a y en la direccion - j, ademas de la derrivativa percial,
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bueno, si hacemos esto en tres dimensiones
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con respencto a z y la direccion de.
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Cuando aplicamos esto justo al escalar o vector, tu
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sabes, como una funcion tri-dimensional , la podemos multiplicar
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estas veces la funcion escalar, tenemos el gradiente.
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Cuando tomamos el producto de punto de esto con un campo vectorial,
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tenemos la divergencia del campo vectorial.
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Y esto debe ser un poquito mas intituitivo
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a este punto
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Porque cuando, queremos revizar nuestros videos originales
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estariamos comparado por el producto de punto al producto de cruz.
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Porque el prunto producto pueda, cuanto mas dos
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vectores movemos juntos
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Asi que cuando hables de este operador del Dell y se salpica con
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el campo vectorial, dices, cuanto mucho es el vector
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Cambio de la luz, cierto?
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Todo lo que una derivada es, una derivativa parcial o una derivativa
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normal, es solo la razon de cambio.
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La derivativa parcial con respecto a x es la razon de cambio
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en la dirraccion -x.
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Asi que todo lo que dices es, cuando estas hablando de,
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cuanto mas es la razon de cambio
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de direccion de movimiento?
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Cuanto mas es la razon de cambio en la dirreccion-y aumentando
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en la dirreccion-y?
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Y hazi hace sentifo que nos aude con la divergencia.
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Porque recuerda, si esto es un vector, y luego mientras aumentamos
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esta en la direccion-x, los vectores aumentan, miramos a
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el punto pequeno, o, a este punto vamos a
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tener mas saliendo que entrando, asi que tenemos
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una divergencia positiva.
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Pero eso hace sentido, y, porque mientras vays en la
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direccion-x, las magnitudes de los vectores aumentan.
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Sin embargo, yo no quiero confundirte mucho.
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Asi que, la intuicion, porque no nos importa la
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razon de cambio junto con la dirreccion del vector.
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Nos importa la razon de cambio de las magnitudes de
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los vectores perpendiculares a la dirreccion del vector.
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Asi que el rizo, puedes adivinar, es igual que el producto cruz
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de nuestro operador Dell y el campo vectorial.
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Y si esto fue donde tu intuicion te llevo, y que
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es lo que adivinaste, estarias correcto.
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Este es el rizo del campo vectorial.
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Y este es una medica de cuanto mas el campo esta rotando o
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quiza si imaginas u objeto en el campo, cuanto mas es que
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el campo causa algo rotar porque esta
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ejerciendo torque neto?
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Porque a diferentes puntos en el objeto, puedes tener
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una magnitud diferente de un campo en la misma direccion.
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Sin embargo no te quiero confundir mucho.
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Espero que el ejempli que te mostre te haga un
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poquito de sentido.
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Sin embargo me doy cuenta que ya llemo mas de 9 minutos.
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En el proximo video, yo computare el rizo y
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quiza intente dibujar un par mas para darle
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la intuicion hogar.
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Nos vemos en el proximo video.
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Not Synced
(pausa)
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Not Synced
Comienzo del video
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Not Synced
Fin del video
